线代习题及答案

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1.

设B A ,均为三阶矩阵,2,3A B =-=,则*2T A B = 、 2.

设A 就是4阶矩阵,伴随矩阵*A 得特征值就是1,2,4,8--,则矩阵A 得全部特征值就是 、 3. 若向量组1(1,3,6,2)T α=,2(2,1,2,1)T α=-,3(1,1,,2)T a α=--得秩为2,则a = 、

4. 若矩阵111111t A t t ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为正定得,则t 满足得条件为 、、

、5 若⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==301020201,2)(B A R ,则=)(AB R

6 设A 就是n 阶方阵,21,x x 均为方程组b AX =得解,且21x x ≠,则=A ___________

7 已知(1,1)T x =就是

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a A 011得一个特征向量,则=a 、 8 设

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=521a A 就是正定矩阵,则a 得取值为_____________、 1写出四阶行列式中含有因子2311a a 得项、

2求 排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 逆序数;

2试计算行列式31

1251

3420

111

533------、 3 设

γβααα,,,,321都就是4维列向量,且4阶行列式a =βααα,,,321, b =321,, ,αααγ,求4阶行列式γβααα+,,,321。

4、设矩阵A=423110123-⎛⎝ ⎫⎭

⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程 1、AB=A+2B 、

2、BA=A+2B 、

5设向量

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42111α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23102α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=1410233a α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=52114a α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10612b β,问:b a ,

取何值时,向量β可由向量组

4321,,,αααα线性表示?并在可以线性表示时求出此线性表

示式

- 7 求下列矩阵得秩,并指出该矩阵得一个最高阶非零子式

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛------1101111110022

2021110 解1011111

00220211

0,4.2----秩为

8、给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭

⎪⎪⎪⎪、 试判断α4就是否为α1,α2,α3得线性组合;若就是,则求出组合系数。

9、设矩阵A=1210

2242662102333334-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪、 求:(1)秩(A );

(2)A 得列向量组得一个最大线性无关组。

10 知向量组()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==13703031111043

214321ααααA 求向量组A 得秩;判断向量组得相关性;求其一个极大无关组;将其余向量用极大无关组线性表示。

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=00002100101000

011370303111104321~A 11.求下列齐次线性方程组得基础解系:

(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-026830542021084321

43214321x x x x x x x x x x x x

12 5分)设非齐次线性方程组 123231

2321 13(1)0x x x ax x x x a x ++=-⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩, 问:a 取何值时,此方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.

13.设四元非齐次线性方程组得系数矩阵得秩为3,已知321,,ηηη就是它 得三个解向量.且 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η,⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+432132ηη 求该方程组得通解.

14、设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭

⎪⎪⎪得全部特征值为1,1与-8、求正交矩阵T 与对角矩阵D ,使T -1

AT=D 、

15试用配方法化下列二次型为标准形

f(x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--, 并写出所用得满秩线性变换。

16 设二次型)0(,222),,(23312221321>-++==b x x bx x ax AX X x x x f T , 其中A 得特征

值之与为1,特征值之积为-12、

(1)求b a ,得值;

(2)利用正交变法将二次型f 化为标准型,并写出正交矩阵、

17、设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且(E -A )-1=E+A+A 2、

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