高阶微分方程

又属于不含 y 型
则一般而言
若两边可消去 p 作为不含 x 型（类型三）
来解较简单
若两边不可消去 p 作为不含 y 型（类型二）
来解较简单
14
例6 解方程 yy 2 解 令 z y z dz 2
dx
z2 4( x c1)
dz2 4 dx
z 2 x c1
y 2 x c1
代入原方程 xP P 0, （P 0）
解线性方程, 得 P C1 x 即 y(4) C1 x,
两端积分,得
y
1 2
C1
x2
C2
,
y
C1 120
x5
C2 6
x3
C3 2
x2
C4 x
C5
,
原方程通解为 y d1 x5 d2 x3 d3 x2 d4 x d5
6
(二) y f ( x, y) 型
第三节 高阶微分方程
一、可降阶的高阶微分方程 前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其
求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥 当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可 用降阶法求解，一般都没有初等解法，
本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共 同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶 的方程来求解。
1
以二阶方程 F ( x, y, y, y) 0 为例展开讨论
重点讨论能将二阶导数解出的情况 y f ( x, y, y)
如果我们设法作变量代换把它从二阶降 至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法 来求解
2
(一) y f ( x) 型 特点： 右端不含 y, y 仅是 x 的函数 解法： 将 y 作为新的未知函数 降阶
解 令 y p (1 x2) p 2xp
分离变量得
dp p
1
2
x x
2
ln p ln(1 x2 ) lnc1
即
p c1(1 x2) y c1(1 x2 )
由 y x0 3得 c1 3
y 3(1 x2 ) y x3 3x c2 由 y x0 1 c2 1
令 z y y z 有 z f ( x) 变量可分离的一阶方程
积分 z f ( x)dx c1 即 y f ( x)dx c1 再积分 y [ f ( x)dx]dx c1x c2
3
同理 对 n 阶方程 y(n) f (x) 令 z y(n1) z f ( x)
积分得 y(n1) f ( x)dx c1
y
4百度文库x 3
3
c1 )2
c2
y
8 (x 15
5
c1 )2
c2 x
c3
15
例 7 求方程 yy y2 0的通解.
解一 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P2 0, 即 P( y dP P) 0,
dy
dy
由 y dP P 0， dy
dp
1
p2
dy
arctan p y c1
dy
即 p tan( y c1)
dx
tan( y c1)
积分得 ln sin( y c1) x c2
即 sin( y c1) c2ex 或 y arcsin(c2ex ) c1
若 p 0 则 y c 包含在通解中
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注 如一方程既属于不含 x 型
特点： 右端不含 x
解法：
降阶
令 y dy p y dp
dx
dx
由复合函数求导法则得
y dp dp dy p dp
dx dy dx dy
代入原方程得
p dp f ( y, p) dy
这是一个关于 y ，p 的一阶方程
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若已求得它的通解为
y p ( y,c1) 变量可分离的一阶方程
求得 z, 将 y(k ) z 连续积分k次,
可得通解.
例1 y(4) sin x
解 y cos x c1
y sin x c1x c2
y
cos
x
1 2
c1
x2
c2
x
c3
y
sin
x
1 6
c1
x3
1 2
c2
x2
c3
x
c4
5
例 2 求方程 xy(5) y(4) 0 的通解.
解 设 y(4) P( x), y(5) P( x)
如此连续积分n 次即得原方程的 含有n个任意常数的通解
一般情况 y(n) f ( x, y(k ) ,, y(n1) )
特点： 不显含未知函数y及 y,, y(k1).
解法： 令 y(k) z
4
则 y(k1) z, y(n) z(nk) .
z 的(n-k)阶方程
z(nk) f ( x, z,, z(nk1) ).
特点： 右端不含 y
解法： 降阶
令 y p y p 代入原方程得
dp f ( x, p) 若已求得其通解为 dx p ( x,c1) 回代 y p 得
dy dx
(
x,
c1
)
变量可分离的一阶方程
积分得
y ( x,c1)dx c2
7
例3 解方程 (1 x2 ) y 2xy, y x0 1, y x0 3
可得 P C1 y,
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2ec1x .
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解二
两端同
乘不
为零
因子
1 y2
,
yy y2
y2
d( dx
y) y
0,
故
y
C1 y,
从而通解为 y C2eC1x .
解三 原方程变为 y y , y y
两边积分,得 ln y ln y ln C1，
故 y x3 3x 1 8
例4 解方程 y 1 ( y)2
解 令y p y p
dp 1 p2
dx
arctan p x c1
即
p tan( x c1)
dp 1 p2 dx
y tan(x c1)dx
ln cos( x c1) c2
9
(三) y f ( y, y) 型
积分得
1
(
dy y, c1 )
x
c2
即得原方程的通解
一般情况 y(n) f ( y, y(k) ,, y(n1) )
特点： 右端不显含自变量 x.
解法： 设 y p( y) 则 y dp dy p dP , dy dx dy
11
y P 2 d 2P P(dP )2 , ,
dy2 dy
代入原方程得到新函数 P( y)的(n 1)阶方程，
求得其解为
dy dx
P( y)
( y,
C1 ,
,
Cn1 ),
原方程通解为
( y,
dy C1, ,
Cn1 )
x Cn,
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例5 解方程 y y ( y)3
解 令 y p y p dp
p dp p(1 p2 ) dy
若
p
0
dy