积分变换第1讲PPT教学课件

方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近 6
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2] 内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函 数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利 克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上 1, 连续或只有有限个第一类间断点 2, 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函
2
a0 2
n1
an
- jbn 2
ejnwt
an
jbn 2
e-jnwt
14
如令wn=nw (n=0,1,2,...)
且令c0
a0 2
,
cn
an
- jbn 2
,n
1,2,3,
c-n
an
jbn 2
,n
1,2,3,
fT (t) c0 cnejwnt c-ne-jwnt cnejwnt
nwt d t
2
11
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即
T
2 -T
fT (t ) sin
nwt d t
2
T 2
a0
sin
nwt d t
2 - T 2
T
am
2 cos
-T
m w t sin
nwt d t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t sin
nwt d t
1 T
T
2 -T
fT (t)e- jnwt
dt
2
16
而
c - n
an
jbn 2
cn
1 T
T
2 -T
fT (t )e jnwt dt
2
因此可以合写成一个式 子
c n
1 T
T
2 -T
fT (t )e - jw nt dt
2
(n 0,1,2, )
fT (t ) cn e jw nt n -
T 2 -T
n- 2
fT(
)e-jwn
d
ejwnt
n
21
令T (wn)
数.
7
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
8
不满足狄氏条件的例: f (t) t ant 存在第二类间断点 f (t) sin(1) t 在靠近0处存在着无限多个极点值.
9
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表 示为三角级数的形式如下:
fT
(t)
a0 2
(an cosnwt bn sinnwt)
n1
(1.1)
为求出a0,计算[ fT,1],即
T 2 -T 2
fT (t)dt
T 2
a0
dt
2 -T 2
(an
n1
T
2 -T
cosnwt
dt
bn
2
T 2
sinnwt
dt)
a0
T
-T 2
2
即
a0
2 T
T 2 -T 2
fT (t)dt
10
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即
T
2 -T
fT (t ) cos
nwt d t
2
T 2
a0
cos
nwt d t
2 - T 2
T
am
2 cos
-T
m w t cos
nwt d t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t cos
nwt d t
m 1
2
an
T
2 -T
cos
2
nwt
d
t
an
2
T 2
即
an
2 T
T
2 -T
fT (t ) cos
T l im fT(t)f(t)
18
f(t)
O
fT1(t)
O
fT2(t)
t t
19
由公式
fT (t)
1 T
n-
T 2 -T 2
fT ( )e- jwn
d
e
jw
n
t
可知
f
(t)
lim 1 T T
n-
T 2 -T 2
fT ( )e- jwn
d
e
jw
n
t
当n取一切整数时 ,w n所对应的点便均匀分
(n 1,2,)
bn
2 T
T 2 -T 2
fT (t)sinnwt dt
(n 1,2,)
13
而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:
由cosj ejj e-jj ,sinj - j ejj -e-jj 得
2
2
fT
(t)
a0 2
an n1
ejnwt
e-jnwt 2
- jbn
ejnwt
-e-jnwt
布在整个数轴上 , 两个相邻的点的距离为
w n
wn
- w n-1
2p
T
,或T
p w n
,
20
如图
2p 2p 2p
2p
TTT
T
{
{ { {
O w1 w2 w3
wn-1wn
w
f(t)又可写为
f(t)Tl im T1n --T2T2 fT( )e-jwnd ejwnt
1
w lim p 2 wn0
积分变换
第1讲
1
积分变换
2
傅里叶(Fourier)级数展开
3
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要 和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重 复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
4
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合
Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
5
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可 以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.
1 T
n -
T 2 -T 2
fT ( )e - jw n
d
e
jw
nt
17
对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某 个周期函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内 等于f(t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个 数轴上, 则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数fT(t)便可转化为 f(t), 即有
m 1
2
bn
T
2 sin 2 nw t d t
-T 2
bn
T 2
即
bn
2 T
T
2 -T
fT (t ) sin
nwt d t
2
12
最后可得:
fT
(t)
a0 2
n1
(an
cosnwt
bn
sinnwt)
(1.1)
其中
a0
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2 T
T 2 -T 2
fT (t)dt
an
2 T
T 2 -T 2
fT (t)cosnwt dt
n1
n-
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给定fT(t), cn的计算如下:
c0
a0 2
1 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
当n
1时cn
an
2
jbn
1 T
T 2 -T 2
fT (t) cosnwt dt -
- j 1 T
T 2 -T 2
fT (t)sin nwt d t
1 T
T 2 -T 2
fT (t)[cosnwt - j sin nwt]dt