高等代数教案第二章多项式

2）典型分解式的应用 A）若有典型分解式 （）,则是的因式的充要条件是：有以下典型分 解式,其中为的首项系数,（注可为0,此时,即不一定全含的不可约因式）. B）求（） 若,
,其中 与互不相同,令；则 （.
2.5 重因式
一 教学思考
1. 本节引入重因式的概念,讨论重因式的有关问题. 2. 当知道多项式的典型分解式（建立一般分解式基础之上的）时,很 容易观察到有那些重因式.且几重,以及有无重因式.但由于1中所述原因, 需另辟道路来解决此问题,为此形式地引入了多项式的导数的概念（与 分析中定义不同,结果一致）,且通过典型分解式,很容易得到的重因式与 的重因式之间的关系,由此得到没有重因式的充要条件. 3. 本节内容简洁完整,从中注意的是：一是有无重因式与是否互素, 而互素不因数域的扩大而改变,所以在中无重因式,则在中也无重因式； 二是判断有无重因式有规范的方法；三是通过分析与以及,还有除以所 得商间的关系,可得将因式分解的一种思想——分离重因式法,其中把方 法步骤规范化（五步）. 二 内容、要求
1）典型分解式：在多项式的分解式中：a）把每个不可约多项式 （因式）的最高次项系数提出来,使它们成为首项系数为1的多项式； b）再把分解式中相同的不可约多项式合并在一起（写成方幂的形式）. 则的分解式可写为：.其中是的首项系数,是不同的最高次项系数为1的不 可约多项式,.这种分解式叫做的典型分解式（标准分解式）.
2．4 多项式的分解
一 教学思考
1. 多项式的分解是多项式理论的一个核心问题,在前几节的基础上, 本节解决了多项式“不能再分”及“分解唯一性”等理论问题,这对中学相关 内容有直接的指导作用.
2. 从内容上讲本节内容简洁完整（一个概念.两个结论）,但需注意 概念（不可约）与数域有关,其性质与“互素”类似；“唯一分解定理”的理 论证明是运用数学归纳法结合消去律,也不难理解,但需指出的是：
2.1 一元多项式的定义和运算
一 教学思考 1. 本节纯形式地定义了一元多项式的概念及有关运算（加.减.乘）.
从中注意一元多项式的定义与中学数学中多项式的联系与区别,以及多 项式相等的概念分析.另外一个重要的结论是所谓的“次数定理”,其本身 证明易于理解,重要的是应用它证明有关问题.
2. 本节内容较简,注意概念的准确.严密. 二 教学过程 1. 基本概念
1. 在内,除法不是永远可以施行的,因此关于多项式的整除性的研究, 也就是一个多项式能否除尽另一个多项式的研究,在多项式理论中占有 重要地位.本节限于数域上讨论多项式的整除性,其与整数的整除性类似, 注意对照学习.
2. 多项式的整除性是多项式之间的一种关系（等价关系）,为加深对 此概念的理解,需掌握一些特殊多项式（零多项式,零次多项式）间的整 除关系及整除的性质.
1. 内容：重因式.重因式.导数.没有重因式的充要条件. 2. 要求：掌握有关概念及定理1-2,以及分离重因式法. 四 教学过程
1. 概念 定义1. 在的分解式中,若不可约多项式出现且只出现次,则称为的一 个重因式.当时,称为的单因式；当时,称为的重因式；当时,即在的分解式 中不出现,不是的因式,称为的零重因式. 定义1补. 若不可约多项式满足：,而,则称为的一个重因式（其中为 非负整数）.当时,称为的单因式；当时,称为的重因式；当时,即在的分解 式中不出现,不是的因式,称为的零重因式. 定义2. 设,称为的（一阶）导数,记为.即=. 2. 定理 TH2.5.1设不可约,若为的一个重因式,则为的一个重因式；特别的单 因式不是的因式. TH2.5.2 次多项式没有重因式与互素. 最后：讨论因式分解的一种思想方法——分离重因式法 设,有典型分解式若,有且 ,从而（,则可令 ；比较上述有关式子可知. 上述意思是：若用除以,则得商是一个与 具有完全相同的不可约因式而没有重因式的多项式.由此得思想：若将 能分解的话,便知的不可约因式,再确定每个不可约多项式在中的重数 （作带余除法直至不能整除）. 例：在中分解
法的叫做数环上的一元多项式环.
2. 基本定理
多项式的加法和乘法满足如下算律：设,,
A）；（交换律）
B）,
；
（结合律）
C）； （分配律）
TH2.1.1（次数定理）设 ,且,；则
（1）当时,；
（2）.
Cor2.1.2 至少有一个成立.
Cor2.1.3 （乘法消去律）若而,则.
2．2多项式的整除性
一 教学思考
3. 数域上任意两个多项式总有带余除法结论成立,其证法思想是在中 学代数中多项式的长除法的运算表示实质的一般化,唯一性用同一法.
4. 证明的思想可从定义.带余除法得到的充要条件以及将分解成两项 之和而每一项能被整除,或将分离出作为一个因子来考虑.
5. 整除性不随数域扩大而改变是由带余除法得到的一个非显而易见 的结论. 二 内容、重点.要求
2. 要求：掌握数域上的一元多项式的概念.运算.次数定理及应用；理 解多项式的整除概念和性质,理解和掌握带余除法；掌握最大公因式的 概念.性质.求法,以及多项式互素的概念和性质；理解不可约多项式的概 念,掌握多项式的唯一分解定理；理解多项式的导数及重因式的概念,掌 握多项式有无重因式的判别法；掌握多项式函数及多项式的根的概念； 掌握复.实数域上的多项式因式分解定理；熟练掌握有理系数多项式的 有理根的求法.
其中或. （2）满足（）式及条件的只有一对.
Cor1.设, （1）； （2）除的余式为0. Cor2. 设是两个数域,且,若,且在内 ,则在内.（即多项式的整除性不随 数域的扩大而改变.）
2．3 多项式的最大公因式
一 教学思考 1. 本节讨论了最大公因式的概念、性质（包括个数之间关系）及求
法,互素的概念及性质.从内容上看与整数的整除性的有关内容是平行的, 不难理解,但须注意其不同的特征.
,这里时,取.
（2）与的积（记为）指的是多项式：
,
其中,.
（3）由多项式运算的定义,数环上两个多项式的和.差.积的系数可由的
系数的和.差.积表示,由于的系数属于,因而它们的和.差.积也属于,所以数
环上两个多项式的和差积仍是数环上的多项式,故可类于数环的概念：
我们用表示数环上文字的多项式的全体,且把其中如上定义了加法和乘
有零次公因式）,这有利于验证性质；定义本身也包含了证明互素的方
法（求最大公因式）.
4. 由于最大公因式的求法——辗转相除法,实质是重复实施带余除法,
所以由带余除法的特性（唯一性）可证多项式的最大公因式不随数域的
扩大而改变.
二 内容、重点.要求
1. 内容：最大公因式的概念、性质（包括个数.之间关系）及求法,
非平凡因式. 2. 不可约多项式.可约多项式
1）定义2. 设,且；若在中只有平凡因式,则称是数域上的一个不可约 多项式；若除平凡因式外,在中还有其它因式,则称是数域上的一个可约 多项式.
结合定义1及注定义2等价为： 定义. 若的一个次多项式能分解为两个次数都小于的多项式与的乘 积： （1）则称在数域上可约；若在中的任一形如（1）的分解总含有 一个零次因式,则称在数域上不可约. 2）性质 设为数域 （1）若不可约,则对也不可约. （2）设不可约,对,则或者,或者. （3）设不可约,且,则,至少有一个成立. （二）定理
1. 内容：一元多项式整除的定义.性质,带余除法. 2. 重点：整除的定义.带余除法定理（它是判断整除.最大公因式及多 项式的根的基础）. 3. 要求：正确理解掌握整除概念.性质,掌握带余除法定理. 三.教学过程 1. 多项式的整除及性质 定义1. 设若使得 （1） 则称整除（除尽）；用符号表示.用符号表示不整除,（即对都 有）. 当时,称是的一个因式,是的一个倍式. A）若.,则；（传递性） B）若.,则； C）若,则对有；特别 ,； D）由B.C若,则对 ,有； E）零次多项式整除任一多项式； F）对,有；特别； G）若.,则. 2. 带余除法 TH2.2.1（带余除法）设,且,则 （1）使得； （）
1. 内容：不可约多项式的概念及性质.唯一分解定理. 2. 要求：掌握不可约多项式的概念及性质,会用性质推证某些命题； 掌握唯一分解定理,它是多项式整除性理论的一个重要定理,在许多有关
多项式理论的推导中很有作用,会用其推证有关问题. 三 教学过程
（一）概念
1. 多项式的平凡因式.非平凡因式 定义1. 对有；称与为的平凡因式.若除与之外还有其它因式,称为的
3. “唯一分解定理”没有给出因式分解的方法,因而具体对多项式进行 因式分解需具体问题具体分析,需用中学学过的具体方法进行尝试（没 有一般方法）,同时指出的是由“典型分解式”可得求两个多项式的公因 式与最大公因式,而其前提是当知“典型分解式”时,但分解因式没有一般 方法,所以此不能代替前述的具体方法——辗转相除法；而其中蕴涵着 下节得出的一个分解因式的思路——分离重因式法. 二 内容、要求
1. 两个定理 TH2.4.1 中每一个次多项式都能分解为的不可约多项式的乘积. TH2.4.2 令,且可分解为 ,
其中每个,都是中的不可约多项式.则 1）； 2）适当调整的次序后可使.换句话说：若不计零次因式的差异,多项
式分解成不可约因式的乘积的分解式是唯一的. 2. 多项式的典型分解式（标准分解式）及其应用
2. 为理解最大公因式,讨论一下两个零多项式及零多项式与一个非零
多项式的最大公因式的问题、最大公因式的存在性.个数定理包含了最
大公因式理论的所有问题,其中个数及之间关系由定义不难证明,重要的
是存在性,其证明过程实质上是一种求法——辗转相除法.
3. 互素是用最大公因式（为1）来定义的,此可解释其中的含义（仅
互素的概念.性质及判定.
2. 重点：最大公因式的概念、性质及求法.
3. 要求：理解掌握上述有关概念、性质,掌握辗转相除法.
三 教学过程
1. 多项式的最大公因式
（1）定义1. 设,若,则称是与的一个公因式.
定义2. 设,若满足：
A）；（是与的一个公因式）
B）对,若,则有.则称是与的一个最大公因式.
（2）最大公因式的存在性、求法
第二章 多项式
一 综述 1. 多项式是中学代数的主要内容之一.本章从两个不同的角度对一元
多项式进行了讨论；首先用纯代数的观点,从一元多项式的一般形式入 手,在一般数域上讨论了一元多项式,围绕着一元多项式的因式分解这一 中心内容,分别讨论了一元多项式的概念.运算.整除理论.最大公因式和重 因式等内容,从而建立了一元多项式的一般理论；然后用代数的观点进 一步在具体数域（即）上讨论了一元多项式的根与因式分解问题,从而 在具体数域上发展了多项式的因式分解理论.在学习一元多项式的基础 上,鉴于多元多项式的复杂性,仅讨论了多元多项式的基本概念与对称多 项式基本定理及应用.
2. 本章内容学生部分熟悉,但如此严格地系统讨论一元多项式的整除 理论及多项式的因式分解和多项式的根的问题还是初次见到,特别是对 于准确地刻化概念.严谨地推导论述,学生很不习惯,因此在教学中要注意 训练学生正确掌握概念.学会推理有理有据,做好示范. 二 内容、要求
1. 内容：一元多项式的定义和运算.多项式的整除性（整除、带余 除法）.最大公因式（概念.性质.辗转相除法.互素）.唯一分解定理.重因 式.多项式函数与多项式的根.复数.实数.有理数域上的多项式的因式分 解.有理数域上的多项式的可约性及有理根.多元多项式.对称多项式（不 讲）.
2）TH2.3.2. 若是的一个最大公因式,则在里可以求得多项式使得：.
例2. 设,求,且求相应的. 分析：本题不仅求,且求相应的,而由定理2中证知不仅与余式有关, 且与商式有关,因而在辗转相除中不允许系数变化,将所得的等式逐步代 回整理即可.（解略） 2. 多项式的互素及其性质 1）定义. 设,若在内除零次公因式外不再有其它公因式,则称与互素. 2）互素的充要条件 TH2.3.3 与互素. TH2.3.3 设, 与互素使得. 3）性质 （1）若,都与互素,则与互素. （2）若|,而与互素,则|. （3）若与都有：|,|,而与互素,则|. 3. 最大公因式及互素概念的推广 1）个多项式的最大公因式 定义. 设,若 （1）； （2）,有. 则称为的一个最大公因式. 2）个多项式互素 定义. 若,除零次公因式外没有其它公因式,称这一组多项式互素.
定义1. 数环上一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式： （1）其中.
定义2. 若数环上两个一元多项式具有完全相同的项,或者仅差一些系
数为0的项,则称和相等.记作.
定义3. 若 , 叫做的最高次项,非负整数叫做的次数,记作.（即.
定义4. 设,
是数环上两个多项式,且；
（1）与的和（记为）指的是多项式：
TH2.3.1 中任意两个多项式与一定有最大公因式.除一个零次因式外,
不全为0的与的最大公因式是唯一的；即若是与的一个最大公因式,则对
当与不全为0时,也是与的最大公因式,且只有这样的乘积才是与的最大公
因式.
例1. 设求（,）.

解：
||
|
-13
|1
|
|5
.
0
（3）性质：
1）任意两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.