1.5亥姆霍兹定理
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在球坐标系中的表示
1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂u ∇ u= 2 r + 2 sin θ + 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ 2
2
2、矢量拉普拉斯运算
∇ A = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ × (∇ × A)
2
F = ∇× A
的矢量位。 A 称为矢量场 F 的矢量位。
∇ ⋅ ∇u = ∇ u
2
在直角坐标系中的表示
∂u ∂u ∂u ∇ u= 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
2 2 2 2
在圆柱坐标系中的表示
∂u 1 ∂ 2u ∂ 2 Az 1 ∂ 2 + ρ ∇ u= ∂ρ ρ ∂φ 2 + ∂z 2 ρ ∂ρ
§1.5 亥姆霍兹定理
一、两个零恒等式 零恒等式Ⅰ 1、零恒等式Ⅰ 定理：标量场的梯度的旋度为零。 定理：标量场的梯度的旋度为零。
∇ × ∇u = 0
逆定理：若矢量场是一个无旋场， 逆定理：若矢量场是一个无旋场，则该矢量场可表示为一 个标量场的梯度。 个标量场的梯度。
∇× A = 0
2、零恒等式Ⅱ 零恒等式Ⅱ
在角坐标系下： 在角坐标系下：
∇ A = ex∇ Ax + e y ∇ Ay + ez ∇ Az
2 2 2 2
三、亥姆霍兹定理 表述一： 表述一： 由其散度、 在空间有限区域 τ 内的矢量场 A(r ) ，由其散度、旋度 和边界条件唯一确定。 和边界条件唯一确定。 表述二： 表述二： 内有定义的有界、连续矢量函数， 在曲面 S 所围空间 τ 内有定义的有界、连续矢量函数， 可表示为一个标量函数的梯度和一个无源矢量的旋度之和， 可表示为一个标量函数的梯度和一个无源矢量的旋度之和，即
F = ∇ϕ + ∇ × A
ϕ
A
称为 F 的标量位 称为 F 的矢量位
A = −∇u
的标量位。 u 称为矢量场 A的标量位。 定理：矢量场的旋度的散度为零。 定理：矢量场的旋度的散度为零。
Biblioteka Baidu
∇ ⋅∇ × A = 0
逆定理：若一个矢量场是无散场， 逆定理：若一个矢量场是无散场，则该矢量场可表示为另 一个矢量场的旋度。 一个矢量场的旋度。
∇⋅F = 0
二、拉普拉斯运算 1、标量拉普拉斯运算
1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂u ∇ u= 2 r + 2 sin θ + 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ 2
2
2、矢量拉普拉斯运算
∇ A = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ × (∇ × A)
2
F = ∇× A
的矢量位。 A 称为矢量场 F 的矢量位。
∇ ⋅ ∇u = ∇ u
2
在直角坐标系中的表示
∂u ∂u ∂u ∇ u= 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
2 2 2 2
在圆柱坐标系中的表示
∂u 1 ∂ 2u ∂ 2 Az 1 ∂ 2 + ρ ∇ u= ∂ρ ρ ∂φ 2 + ∂z 2 ρ ∂ρ
§1.5 亥姆霍兹定理
一、两个零恒等式 零恒等式Ⅰ 1、零恒等式Ⅰ 定理：标量场的梯度的旋度为零。 定理：标量场的梯度的旋度为零。
∇ × ∇u = 0
逆定理：若矢量场是一个无旋场， 逆定理：若矢量场是一个无旋场，则该矢量场可表示为一 个标量场的梯度。 个标量场的梯度。
∇× A = 0
2、零恒等式Ⅱ 零恒等式Ⅱ
在角坐标系下： 在角坐标系下：
∇ A = ex∇ Ax + e y ∇ Ay + ez ∇ Az
2 2 2 2
三、亥姆霍兹定理 表述一： 表述一： 由其散度、 在空间有限区域 τ 内的矢量场 A(r ) ，由其散度、旋度 和边界条件唯一确定。 和边界条件唯一确定。 表述二： 表述二： 内有定义的有界、连续矢量函数， 在曲面 S 所围空间 τ 内有定义的有界、连续矢量函数， 可表示为一个标量函数的梯度和一个无源矢量的旋度之和， 可表示为一个标量函数的梯度和一个无源矢量的旋度之和，即
F = ∇ϕ + ∇ × A
ϕ
A
称为 F 的标量位 称为 F 的矢量位
A = −∇u
的标量位。 u 称为矢量场 A的标量位。 定理：矢量场的旋度的散度为零。 定理：矢量场的旋度的散度为零。
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∇ ⋅∇ × A = 0
逆定理：若一个矢量场是无散场， 逆定理：若一个矢量场是无散场，则该矢量场可表示为另 一个矢量场的旋度。 一个矢量场的旋度。
∇⋅F = 0
二、拉普拉斯运算 1、标量拉普拉斯运算