因式分解之试根法的经验使用

我们通过举例来完成介绍：

例将代数式x3+3x-4 使用试根法进行因式分解

试根法使用说明:

我们先定义一个函数f(x)= x3+3x-4

式中常数项和最高幂项的系数的整约数相除的正负值，都可能是f(x)=0的根。

例式中x3是最高幂项，系数为1，约数为1。

4是常数项（不考虑正负号），约数为1、2、4。

因此本式的根可能是±1、±2、±4

试验得出1是f(x)=0的一个根，因此例式中必然含有( x-1)这个因式。

因此我们需要计算(x3+3x-4)÷( x-1)得出另外的因式。

计算(x3+3x-4)÷( x-1)使用综合除法。

下面也通过举例的方式介绍综合除法的经验用法：

综合除法的办法:

举例：(3x3-6x2+4x -1)÷(x-1)将x-1的常数项-1做“除数”写在最前面，然后用竖线分割，将被除式的每一项的系数，由高幂到低幂排列在竖线后面，缺项的系数用零代替。

-1︱ 3 -6 4 -1

（-） -3 3 -1

3 -3 1 0

(1)将最高项的系数直接落下来，写在横线下；

(2)用“除数”-1乘以落下的3，得-3，写在第二项-6下，用-6减去-3得数-3写在横线下；

(3)再用-1乘以这个横线下-3的得数3写在第三项4下，用4减去3得数1写在横线下;

(4)再用-1乘以这个横线下1的得数-1写在第四项-1下，用-1减去-1得数0写在横线下;

本例竖式就这样完成了，如果有更多的项，就一直这样下去……直到最后一项。

(5)如果最后一个得数是0，说明能整除，如果不是0，说明有余式。

(6)将横线下的黑色字体数字，分别作为x2、x的系数和常数项，得出以下因式3x2-3x+1

这样我们就得出(3x3-6 x2+4x -1)÷(x-1)=3x2-3x+1

按照这个方法我们来计算上一个例子 (x3+3x-4)÷( x-1)

先列出竖式：

-1︱ 1 0 3 -4

（-） -1 -1 -4

1 1 4 0

因此得出：(x 3+3x-4)/( x-1)= ( x 2+ x+4)

这样x 3+3x-4因式分解的结果是：

x 3+3x-4=( x-1)( x 2+ x+4)

当然我们还要判断x 2+x+4是否能继续分解，如果能还要进一步分解下去。通过观察x2+x+4=0时Δ<0，因此x2+x+4在实数范围内不能再被分解。