高三数学各种不等式的解法

2
不相等的正实数根，求 实数m的取值集合
④若a 1，解关于x的不等式 1 （x a)( x) 0 a
⑤已知不等式ax 5x c 0的解集为
2
1 1 c的值 x x ,求a, 2 3
你知道吗？
1.如何解以下几种无理不等式？
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
2.函数 y a 和 y loga x 且a≠1) 3.指数和对数运算的性质及法则.
x
go go go
的单调性.(a>0,
go
f ( x) g ( x)

以上不等式组中的
可同解变形为
f ( x) 0
g ( x) 0
f ( x) g ( x)
去掉后和原不等式是否同解?
f ( x) 0
2
∴2 loga
x 3或 loga x 3
即:
loga x 1 0 loga x 3
log x 7 loga x 10 0
2 a

a
∴ 当0<a<1时，原不等式的 解区间为 (0, a 2 )
有些不等式可化为以上两种不等式 ,
2
常用换元法来解;注意取舍;注意
真数大于0;
练一练
解不等式
4 (log2 x ) 2 1 4 2 ( 2 log ( ) ( ) 5 5
2
x)
提示
练一练
解不等式
4 (log2 x ) 2 1 4 2 ( 2 log ( ) ( ) 5 5
n
2
x)
loga N logan N n logan N
3 3
例2：
log1 ( x 3x 4) log1 (2 x 10)
2 3 3
解：原不等式等价于不等 式组

x 3x 4 2 x 10
2
x 3x 4 0
2

2 x 7 x 1 或 x 4
x 5
2 x 10 0
解之得 数轴
x 2 x 1,或 4 x 7
x2 ③解不等式： 1 x 3
高次不等式的解法——根轴法
1、分解因式，保证x的系数为正；
2、求零点x；
3、在数轴上按从小到大标出每一个根； 4、画曲线（从右上角开始）； 5、写解集，数轴上方大于0，下方小于0， 数轴上的点使不等式等于0。
例题3、①解不等式x（x 1） （x 3） （x 1） 0
f ( x) g ( x)

以上不等式组中的 f
可同解变形为
g ( x) 0 f ( x) 0
f ( x) g ( x)
2
( x) 0
去掉后和原不等式是否同解?
f ( x) g ( x)

g ( x) 0
f ( x) 0
2
可同解变形为
或
按g(x)分类
f ( x) g ( x)
2
3
5
15
{x | 2 x 3或5 x 15}
③解不等式（x 4x 5)(x 4) 0
2 2
④解不等式（x 4x 5)(x 4) 0
2 2
含绝对值不等式的解法 公式法：(a>0)
|x|=a
|x|>a |x|<a
注意a≤0
x a x a或x -a
∴ ຫໍສະໝຸດ Baidu轴
5 x0
或
1 或 x 4
或
或 2
0 x 5
0 x 5
或
1 x 1
x2
x ( 5,2) (1,0) (0,1) (2, 5)

(5 x ) x 0
2 2
等价吗？
x
1 2 2 x (5 x ) 1 4

5 x2 0
解：由数轴标根法（如图），得 +
-1
-
+
0 1
-
3
+
-1＜x＜0 或 1＜x＜3
x x ② 2 2 x 8x 15
2
1、移项变0；
x 17x 30 2 0 x 8x 15
2
2、变号。
x 17x 30 2 0 x 8x 15
2
(x 15)(x 2) 0 (x 3)(x 5)
loga M loga N loga MN M log a M log a N log a N n
loga ( N ) n loga N n 1 log a N log a N n 1 log a n N log a N n
loga 1 0
loga a 1
a
loga N
通过取交集，得原不等式的 解集为
例2：
log1 ( x 3x 4) log1 (2 x 10)
2 3 3
解：原不等式等价于不等 式组

x 3x 4 2 x 10
2
x 3x 4 0
2

2 x 7 x 1 或 x 4
x 5
2 x 10 0
2 2 2
且
x0
( x ) 5x 4 0
5 x0
2
x 2
-3
5 x0
或
1 或 x 4
或
或 2
0 x 5
0 x 5
或
1 x 1
-1 0
x2
2 5 3
5
-2
1
返回
中级目标小结
A a B a C 0
2x x
A loga x B loga x C 0
怎么解?
• 例1:解不等式
2
x 2 2 x 3
1 3( x 1) ( ) 2
或
1 ( x 2 2 x 3) ( ) 2
2
3( x 1)
解不等式
2
x 2 2 x 3
1 3( x 1) ( ) 2
23( x1)
解:原不等式可化为 2
2
x 2 2 x 3
2 2
(5 x ) x 0
2 2
1 x 2 (5 x 2 ) 1 4
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(5 x ) x 0
2 2
等价吗？
x
1 2 2 x (5 x ) 1 4

5 x2 0
2 2 2
且
x0
( x ) 5x 4 0
5 x0
2
x 2
例4:解不等式：
1 log1 (5 x ) log2 2 2 0 x 2
2
或
1 log 2 2 5 x
公式
log1 x
2
2
1 log1 2 4
log1 1
2
哪一种好?为什么？
想一想，你能不能解出来？
例4:解不等式：
1 log1 (5 x ) log2 2 2 0 x 2
化简得： 22 2 x 26 5 (2 x )2 x (t 0) 令 2 得: 4t 64 5t
所以原不等式的解 集为：
2 t
x
x x 2
16 (舍去) 解得 t 4或 t 5
故
2 42
2
得
x2
2
令 得: 解得 故 得
x4
256 5 2
及
loga f ( x) loga g ( x) 的不等式的解法
f ( x)
当0 当
a 1 时，a
时，
a g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
a 1
a f ( x) a g ( x)
当0 当
a 1 时， loga f ( x) loga g ( x)
-5
通过取交集，得原不等式的 解集为
解之得
-2 -1 0 1 4 7 x
返回
初级目标小结：
可化为:
a
f ( x)
a
g ( x)
及
loga f ( x) loga g ( x) 的不等式的解法
不同底，化同底； 利用函数单调性； 注意真数大于零。
初级目标小结：
可化为:
a
f ( x)
a
g ( x)
a x a
|x|＜a在a≤0时解集是φ，
|x|≥a在a≤0时解集是R
例4：①不等式(1 x )(1 x) 0的解集
②不等式x - x - 2 0的解集
2
指对数不等式： 化为同底、利用单调性
例题5、①2
2 3
x 2 5 x 5
1 2
3
②log1(x 3x 4)log（2x 10） 1
③求a 1 a
2x x 1
a
x 1
（a 0，且a 1）的解集。
含参不等式:
例6：①解关于x的不等式x (m 1)x m 0
2
②关于x的不等式mx (m 3)x 1 0对于
2
任意实数x成立，求实 数m取值的集合
③关于x的方程x (m 3)x m 3 0有两个
(1)
因为以2为底的指数函数单调递增,所以(1)式成立 2 当且仅当 x 2x 3 3( x 1)
整理得:
解这个不等式得:
原不等式的解集是
x 3 x 2
x x6 0
x 3 x 2
怎么解?
例2:解不等式 2 log1 ( x 3x 4) log1 (2 x 10)
2 x2
解法2：原不等式可化为：
23 2x1 256 5 (2x1 )2
所以原不等式的解 集为：
2 t (t 0) 2 8t 256 5t 32
t 8或 t
5
x 1
x x 2
(舍去)
2 x 1 8 23
x 1 3
∴
x2
想一想，你能不能解出来？

g ( x) 0
f ( x) 0
以上不等式组中的 f
( x) 0
去掉后和原不等式是否同解?
你知道吗？
指数的性质： 指数的运算法则：
a 1(a 0)
0
a a a
x y
x
x y
a x y a y a
(a ) a
x y
xy
你知道吗？
对数的性质：
零和负数没有对数
对数的运算法则：
2
loga N logan N n logan N
n
返回
例4:
1 log1 (5 x ) log2 2 2 0 x 2
2
解：原不等式等价于：
1 log1 (5 x ) log1 x log1 0 2 2 2 4
2 2
等价吗？

1 log1 [(5 x ) x ] log1 1 4 2 2
敏于思，慎于行
不等式的解法二
分式、高次、指数、对数、含 参不等式的解法
分式不等式的解法：
x2 例题2、①解不等式： 0 x 3
x2 0 x2 0 方法一、分类讨论：{ 或{ x 3 0 x 3 0
方法二、（x 2） （x 3） 0
x2 ②解不等式： 0 x 3
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上个台阶
例5:解关于x的不等式：
loga x 1 3 loga x
（a>0,且a≠1)
loga x 1 3 loga x
解:
（a>0,且a≠1)

原不等式等价于:
3 loga x 0
或
loga x 1 (3 loga x) ∴ loga x 2 2 3 log x 0 即: loga x loga a
时，
a 1
loga f ( x) loga g ( x)

g ( x) 0 f ( x) g ( x)
f ( x) 0 f ( x) 0
g ( x) 0
f ( x) g ( x)
想一想，怎么解？
•例3：解不等式
8t 2 5t (t 0)
8 2
2 2
3
x 1
2
8
5 (2 )
x 1 2
解法2
2
4
x4
x
256 5 2
2
8
2 x2
2 2
4t 64 5t (t 0)
2
5 2 2
2
2x
解法1
2
x4
256 5 2
2 x2
解法1：原不等式可化为： 2 x 24 28 5 22 22 x
N
以上公式中,底数大于0,且 不为1,分母不为0.
请注意记忆
loga N logan N n logan N
n
1 log a n N log a N n
n的取值应使底数大于0，且不等于1； 真数大于0。
学习目标：
初级目标：掌握可化为 a f ( x ) a g ( x ) 及 可化为 loga f ( x) loga g ( x) （a>0，a≠1)型的不等式的 2x x 解法； A a B a C 0 中级目标：掌握 可化为 2 及 A loga x B loga x C 0 型的 不等式的解法； 高级目标：初步掌握综合有根式、指数、对数 的不等式的解法；用分类讨论思想解指数、对 数不等式；（依时间而定）