数列的极限 PPT课件

取 N [ ln ]1
ln | q |
则当 n N 时, qn 0
即
lim n
nn


00
q1
0
7
例2.5 设
证明 lim n
1
0, N ,当n N 时, n a 1
证明: 0, 要使 n a 1 n a 1
(3) A 0,
取 取
A

0, 则 N , 当
n> N 时,
A 2

2 A

0
0, 则
A 2
N
,
xn
当n
>
3A 2
N 时,
A2
1 例如xn liAm n 12 n n
(4)A0,N则10,N当, 当nn>
320A.1x0n,
只要 n ln(1 )
取N

[ lna
ln(1

)]1
当 n N 时, n a 1
故 lim n
1
例如ln1im
1 1, lim ln(1lim )
n n
n
1
所以
lim 1 1 8
n
例2.6 证明
limn
n
n
1
证 设 xnn n 1,当 n 1时 xn 0. n n 1 xn
10 (或4(取)对3)N于 任0[.何11正]0数,1取 ,N取当N1n105>,[当N1]时n当,1xNn05n>时1N1,时,xxnn110.1
1 xn 1
01.1 可故以小lnim于任xn何正数
•• •

1
43 32
2
单减有界
1 1 正2[整,x32],数为43n,取54,整65[0函,.976数]L,,[0110时01.9,]112n1 ,0Lx0n.[90?n.1n若]1nn0[x[1] ?.则1收]n敛1于x
n
故lni0m,n Nn,当1n

N
时,
n n1
9
复习
lim
n
xn

若
lim
n
xn
A
A
N , 当
0,
n> N 时,
xn

A
(1)取 1 0, 则 N , 当 n> N 时, xn A 1
(2) A 0,
xn A
n
n
1
1
只要
1

取 N [ 1 ]1 当 n> N 时,

1 lnimxn


A

0,
N , 当
故 lim n
n> N 时,
n
n
1

xn A
5
由 xn A f (n) 得到 n > ( )
1 例2.2 证明 lim n
2n 1 9n3 7
取 N [( )]
0
证 0,要使
2n 1
9n3 7
0
2n 1 9n3 7
2n n3
2 n2


只要
2

取 N [ 2 ]1 则当

n N 时,
2n 9n3
17 n0

?
由
将
xn xn
A 故A
lni适m当9不2放nn容3大易17得得到到简0n单>函(数 )
a L , xLN , xnN ,1L,xN 2 , L 收敛于
3
例1 (1) 2 0, 取 N 1, 当 n 1N 时, xn 1 2
取 N 3, 当 n 3N 时,xn 1 2 (2) 1 0, 取 N 110, 当 n1N10时, xn 1 1
n [0.9]1 1时 n 0.9 ? 若n [x]1 则 n 4x
怎样证明
lim
n
xn

由 xn A
A—
想法得到
倒推法
n> ？( )
然后取 N [( )] 或取 N [( )] 10
1 例2.1 证明
lim
n
n1 n

证:
0,要使
(4)
...... 发散无n穷大单减无界
(5)
...... 发散非0,无n非穷单大调无2 界
数列极限的 精确定义 数列 若存在 常数 a
对于任何 0, 一定有 正整数 N,
当 n> N 时, 恒有 xn a
则称数列 的极限为 a
a 或称数列 收敛于 a
记为
则称 则称
时
单调增加 单调减少
为无穷大
当项数 n无限 增加 时， 无限 接近 某一常数a,
则称数列 的极限 为 a, 或称于数列 收敛于 a
即 n 时， xna
记为
lim
n
xn

a
例 (1)
...... 发散 1 非单调有界
(2)
...... 1收敛 1 单增有界
(3)
......发散 无2穷n 大单增无界
lim
n
xn

a
怎即n样表lni示m时 xn
0,
n 时， xn a 一定N ,有当正n>整N数 时N,,当xnnaN
时
xn即aa(对a于xN任1xxn何n与xNaaa2)0的a,距的离邻x域恒n 包有a含xx小Nn右于边a任的何所正有数项
则
f (n) 6
q 例2.4 设 0
1,
证明 lim n
0
证: 0, 要使 qn0 | q |n
取对数
若 1 则 取 N 1 当 n N 时, qn 0
若0 1 n ln | q | ln
ln| q | 0
只要
ln
ln | q |
第二节 数列的极限
数列 就是一个 特殊的函
n xn 数
也是一个数列
L , xn , L 就是一个数列
其中的 每一个数 称为数列的 项 第 项 称为 通项
该数列 可以 缩写成
1
如果存在正数 M , 对一切 正整数 都有 M
如果 数列 满足
则称 数列 有界
若
L xn L 单调增加L且无x界n ,则L称
n(1
xn)n1

nxn
n(
n 2
1)
xn2...

xnn
n(
n 2
1)xn2
即
nwk.baidu.com

n(n 2
1)
xn2
,当
n
1 时有
0

xn

2 n1

0, 要使 n n 1 n n 1
2
n1
只要n
1
2
2
,取
N
1 [22]
limn n 1
当 n N 时, n n1