矩阵分析(1)

W1 V1 V2
W2 V1 V3 0 p 0 0 pR W3 V1 V3 a q e 0 a,q,eR
W4 V1 V2 V1 V2 a b c 0 a,b, c R
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
n维线性空间 有且只有n个线性无关的向量
基 任何一组n个线性无关的向量。可以有无数组基。
基向量通常记作 e1, e2 ,L , en
向量x的基表示
x 1e1 2e2 L nen
i 称为坐标或分量
1 线性空间的概念
有两组基，分别为
e1, e2 ,L , en 和 e1, e2 ,L , en
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 I V ) 若是直和，则有
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
子空间的交集 W V1 V2 是子空间
零向量属于W
任取 x, y W，则 x, y Vi ，所以
零子空间
由单个的零向量组成的子集 零维
平凡子空间 线性空间 V 本身 n 维
子空间之例
W x x y z, 任意, P, 给定y, z V
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
设V1和V2为V的子空间，有以下结果
交集W V1 I V2 x x V1, x V2 , 也是子空间；
x y Vi , i 1,2
又 P, x W
x Vi
x W
3 子空间与维数定理
第一章 线性空间与线性变换
V1 a b 0 0 a,b R V2 0 0 c 0 c R V3 0 d e 0 a,b R
四维空间中 的三个子空 间
线性空间L(V )，在取定V的一组基之下，它与数 域P上
的一切n n矩阵所构成的线性空间 Pnn是同构的。
推论 dim L(V) dim Pnn n2
6 线性变换的矩阵表示
第一章 线性空间与线性变换
定理3 设e ,e , ,e 是数域P上n线性空间V的一组基，
12
n
在这组基下按照式 (3)建立的线性变换同矩阵 的对应
零元素 x x; 负元素 x x x (x) ;
单位元 1x x;
负数负元素 (1)x x; 减法运算 x y x ( y)
交换律 ( x) ()x; 分配律 ( )x x x; 分配律 (x y) x y
n

1
1

2


A1
2

M M

n

n

2 基变换与坐标变换
第一章 线性空间与线性变换
子空间 就是线性空间的子集，但得自成线性空间。
如何判断 W 是 V 的子空间？
准则： x, y W x y W; x W , P x W
5线性变换的概念
第一章 线性空间与线性变换
运算性质
线性变换的运算
（1）T1 T2T3 ＝T1T2 T3
（1
）T1

T2


x


T1

x


T2

x
（ （32））乘加
法 法
满 对
足 加
交 法
换 的
律 分
和 配
结 律
合律
(2) T1T2 x T1 T2 x （4）T O T ,T T O
和集W V1 V2 x y x V1, y V2 , 也是子空间；
直和W V1 V2 z x y x V1, y V2,没有其他的x与y ，
维数公式：
也是子空间，记为W V1 V2
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 I V ) 或
12
n
线性变换T，使得
T (e ) g ,T (e ) g , ,T (e ) g .
1
1
2
2
n
n
为简单起见，以后我们 用Tx代替T (x).
下面我们着手研究线性 变换和矩阵的关系。
设V是数域P上的n维线性空间，T是V的一个线性变换。现取 定
V的一组基e ,e , ,e ，则每个Te 都是V中向量(i 1,2, , n)，故可设：
同构与同构映射
两个线性空间V与V 之间若有一个对应关系记为，使得 (x y)= (x) ( y); (x) (x)
就称为从V到V的同构映射，称线性空间V与V 是同构的。
同构的基本性质 ( ) , (x) (x),
m
m
i xi i (xi )
n
Tei akiek k 1
(i 1,2, , n)(a P). ki
把矩阵

a 11
a 12

A a21
a 22


an1
a n2

a 1n

a 2
n


a nn

称为线性变换T在基e ,e e 下的矩阵.
12
n
定理2 数域P上n维线性空间V的所有线性变换构成的
V 作用在某质点的力
1 线性空间的概念
第一章 线性空间与线性变换
作用在某质点的所有力的集合构成一个线性空间 （向量空间）
xy
xy
x, y, z,z... 力向量
x
R 实数域
z
x
z
满足八条规则
1 线性空间的概念
第一章 线性空间与线性变换
有关定义 线性相关 与 线性无关
x y L z , , ,L , 不全为零 线性相关 L 0 线性无关
其关系为
e1 a11e1 a21e2 L an1en e2 a12e1 a22e2 L an2en
M en a1ne1 a2ne2 L annen
也可写成
n
ei akiek , i 1, 2,L , n k 1
2 基变换与坐标变换
第一章 线性空间与线性变换
2



a21
a22
L
M M M O
n


an1
an 2
L
a1n 1
a2n


2

M M
ann

n

1 1
2


A
2

M M

n


线性变换的性质
(1) T ; T x T x
m
m
（2）y k xk T y kT kT xk .
k 1
k 1
(3)线 性 变 换 把 线 性 相 关 向量 组 变 成 线 性 相 关 向 量组.
如果这两个运算满足如下八条规则，就称集合 V 为数 域 P上的线性空间或向量空间。 元素称为向量。
任意 , P, 任意 x, y, z V , 及零元素 V
1 线性空间的概念
第一章 线性空间与线性变换
八条规则
附带性质
交换律 x y y x;
零与零元素 0x ;
结合律 (x y) z x ( y z); 数与零元素 ;
12
n
i

Te 1
a e a e
11 1
21 2
a e n1 n
Te2
a e a e
12 1
22 2


ae n2 n (3)
Ten
a e a e
1n 1
2n 2
a e nn n
6 线性变换的矩阵表示
第一章 线性空间与线性变换
我们把这n个向量等式缩写为如下 形式：
6 线性变换的矩阵表示
第一章 线性空间与线性变换
定义1 若A, B Pnn ,如果存在可逆矩阵 C Pnn ,使得 B C 1 AC 则称矩阵A相似于矩阵B。 由定义易知，矩阵的相 似关系是等价关系，即 相似具有 下述三个性质： 1）自反性：A相似于A 2）对称性：若 A相似于B，则B相似于A 3）传递性：若 A相似于B，且B相似于C，则A相似于C。
关系，则有：
1）线性变换的乘积对应 于矩阵的乘积；
2）可逆线性变换对应的 矩阵也可逆，且逆变换 对应
于逆矩阵。
定理4 设V是数域P上n维线性空间，e ,e , ,e 及
12
n
e ,e , ,e 是V的两组基，从前一组基 到后一组基的
12
n
过渡矩阵是C。又设T是V的一个线性变换，它在 前后
两组基下的矩阵分别是 A与B，则有B C 1 AC
集合V中元素的运算：我们只考虑加法，加号+
任意 x, y V , 有 x y V , 且若 x u, y v, 则 x y u v
数域 P 中的数与集合 V 中的元素之间的运算： 称为数量乘法，运算结果称为数量乘积，省略乘号
任意数 P 与任意元素 x V , 有 x V
i 1
i 1
线性无关组同构影射到线性无关组 n维空间同构影射到n维空间
4 线性空间的同构
第一章 线性空间与线性变换
线性变换
T 满足 Tx y TxTy; Tx Tx
零变换
V中每个向量 映射 零向量
单位变换 V中每个向量 映射自身
单位变换 V中每个向量 映射自身
矩阵分析
东北大学信息科学与工程学院 石海彬
第一章 线性空间与线性变换 第二章 内积空间 第三章 矩阵的标准形与若干分解形式 第四章 矩阵函数及其应用
第五章 特征值的估计与广义逆矩阵 第六章 非负矩阵
第一章 线性空间与线性变换
第一章 线性空间与线性变换
§1 线性空间的概念 §2 基变换与坐标变换 §3 子空间与维数定理 §4 线性空间的同构 §5 线性变换的概念 §6 线性变换的矩阵表示 §7 不变子空间
核（ker nel） K v V / Tv
维数关系 dim T V dim T 1V n
5 线性变换的概念
第一章 线性空间与线性变换
定理1 设V是数域P上的一个n维线性空间，e ,e , ,e 是它的
12
n
一组基，又g , g , g 是V的任意n个向量。则存在唯一的 一个
基下向量
n
x iei i 1 n
x iei i 1
过渡矩阵或称变换矩阵
a11 a12 L a1n
A a21 a22 L
a2n

M M O M
an1 an2 L
ann

第一章 线性空间与线性变换
坐标之间的关系 坐标变换
1 a11 a12 L
零向量唯一 负元素唯一
1 线性空间的概念
第一章 线性空间与线性变换
线性空间之例
V 1,2,L ,n i P
记为 Pn
V A
A
aij
,
nm
aij
P
记为 Pnm
V f (t) f (t) R, t [a,b] 记为 L[a,b]
第一章 线性空间与线性变换
回顾几个预备概念
集合
数集
Q
有理数集 Q实数集 R 复数集 C
QRC
C
数域
Q
复数集合中的任意非空子集合P含有 非零的数，且其中任意两数的和、差、 积、商仍属于该集合P，则称数集P 为一个数域。（注意0和1）
有理数域 Q 实数域 R 复数域 C
1 线性空间的概念
第一章 线性空间与线性变换
5 线性变换的概念
第一章 线性空间与线性变换
举例
对 每 个x 1,2 ,3,4 R4 ,由 等 式 T x 1 2 33 4 ,31 2 33 44 ,0,0
定 义 的 变 换T是R4的 线 性 变 换.
5 线性变换的概念
第一章 线性空间与线性变换
(3) T x T x
(5) T T
T T T
T1 T2 T1 T2
1T T
5 线性变换的概念
第一章 线性空间与线性变换
逆变换
TS ST I
象子空间 T V Tv / v V
秩
T V 的维数