垂线段与点到直线的距离
七年级数学教案4.5_第2课时_垂线段与点到直线的距离
第2课时垂线段与点到直线的距离1．掌握垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(重点)2．理解垂线段最短的性质及点到直线的距离的概念．(重点、难点)一、情境导入如图，要想从图中的点P处修一条小路与公路相连，应怎样修才能使路程最短？二、合作探究探究点一：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(2015·扶沟县期中)如图，已知ON垂直于直线l，OM垂直于直线l，所以OM与ON重合，其理由是()A．两点确定一条直线B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．在同一平面内，过一点只能作一条直线D．垂线段最短解析：A.点M、N可以确定一条直线，但不可以确定三点O、M、N都在直线l的垂线上，故本选项错误；B.直线OM、ON都经过一个点O，且都垂直于直线l，故本选项正确；C.在同一平面内，过直线外一点只能作一条垂线，但可作无数条直线，故本选项错误；D.此题没涉及线段的长度，故本选项错误．故选B.方法总结：本题考查了垂直的定义、两点确定一条直线、垂线段最短．正确理解它们的含义是解题的关键．探究点二：垂线段【类型一】垂线段的性质A为直线l外一点，B为直线l上一点，点A到l的距离为3cm，则AB________3cm，根据是________________．解析：当AB⊥l时，AB为垂线段，垂线段最短，此时AB＝3cm；当AB与l不垂直时，AB>3cm，故AB≥3cm.故答案为≥，垂线段最短．方法总结：本题是“垂线段最短”的灵活应用题，解答此题时要注意体会从特殊到一般的思维方式的运用．【类型二】有关垂线段的作图B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．解析：连接AB，过点B作BC⊥MN即可．解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短．方法总结：与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”．探究点三：点到直线的距离如图，AC ⊥BC ，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5.(1)试说出点A 到直线BC 的距离；点B 到直线AC 的距离；(2)点C 到直线AB 的距离是多少？解析：(1)点A 到直线BC 的距离就是线段AC 的长；点B 到直线AC 的距离就是线段BC 的长；(2)过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D .点C 到直线AB 的距离就是线段CD 的长，可利用面积法求得．解：(1)点A 到直线BC 的距离是3；点B 到直线AC 的距离是4；(2)过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D .S △ABC ＝12BC ·AC ＝12AB ·CD ，所以5CD ＝3×4，所以CD ＝125，所以点C 到直线AB 的距离为125. 方法总结：垂线段与点到直线的距离是两个不同的概念，垂线段是一条线段，而点到直线的距离是垂线段的长度．三、板书设计1．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2．垂线段最短3．点到直线的距离通过实际生活中的情景引入课题，激发学生的学习兴趣．本节课概念容易混淆，如垂线、垂线段、点到直线的距离等，可结合图形进行说明，帮助学生理解。
点到直线的距离公式
典例导学
即时检测
一
二
三
解：设两平行线 x+y+1=0 和 x+y+6=0 的距离为 d, 则 d=
|6-1 | 2
=
5 2
2.
如图 ,设 ∠PBB'=θ=∠PB'B, 则 sin θ=
∵两平行直线的斜率为-1,故所求直线的斜率不存在或为零,
由于直线过点 P(3,1),故所求直线 l 的方程为 x=3 或 y=1.
典例导学
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一
二
三
二、两平行线间的距离 求直线l1:3x-4y=-1与直线l2: 2 x-2y-1=0间的距离. 思路分析：已知两平行直线的方程,求解本题时可考虑利用等价 转化法和公式法.需注意应用公式法解答本题时应把直线l1,l2的方 程化成一般式,且x,y的系数相同.
3
典例导学
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一
2.1.6 点到直线的距离
学习目标 1.学会点到直线的距离公式. 2.会求两平行线间的距离. 3.进一步学习用解析法证明平面几 何问题.
重点难点 重点:掌握点到直线的距离公 式. 难点:用解析法证明几何问题.
1.点到直线的距离 (1)从直线外一点向该直线引垂线,所得垂线段的长度称为点到直
������2 +������2 线的距离.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为 (2)点到几种特殊直线的距离:点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;点 P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|;点 P(x0,y0)到直线y=b的距离d=|y0-b|. 交流1 点到直线的距离公式对直线方程的形式有何要求? 答案：该公式要求直线方程必须是一般式.
点到直线的距离七年级数学下册
（1）点A到直线BC的距离是线段_______的长度;
（2）点B到直线AC的距离是线段_______的长度;
（3）点D到直线AB的距离是线段_______的长度; （4）线段AD的长度是点____到直线_______的距离。
B E
A
DC
1.直线l外一点P与直线l上两点的连线段长分别为4cm，6cm，则点P到直
理解并掌握垂线的性质---垂线段最短？ 点到直线的距离的定义？灵活运用定义解决问题？
P
此问题就是“直线外一点与已知直线上各点所连的线段中,有没有 最短的线段?”
垂线的性质2: 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 简单说成：垂线段最短。
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 P
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
一个定义
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
一个性质
垂线的性质2: 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 （简单说成：垂线段最短。）
谢谢观看！
B.线段AB的长度叫作点A到直线AC的距离
C.线段BD的长度叫作点D到直线BC的距离
B
C
D.线段BD的长度叫作点B到直线AC的距离
4.如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的有( D )
①点B到AC的垂线段是线段AB；②线段AC是点C到AB的垂线段；③线 段AD是点A到BC的垂线段；④线段BD是点B到AD的垂线段。
例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线段PA的 长度叫做点P到直线l的距离。
例：如图，是一个同学跳远的位置跳远成 绩怎么表示？
解:过Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ作PA⊥l于点A ，垂线段PA的长 度就是该同学的跳远成绩。
点到直线的距离公式是什么
点到直线的距离公式是什么 想要了解点到直线的距离公式的⼩伙伴，赶紧来瞧瞧吧！下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“点到直线的距离公式是什么”，本⽂仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯！ 点到直线的距离公式 点到直线的距离，即过这⼀点做⺫标直线的垂线，由这⼀点⾄垂⾜的距离。
设直线L的⽅程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（x0，y0），则点P到直线L的距离为： 考虑点（x0，y0，z0）与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有s=|（x1-x0，y1-y0，z1-z0）×（l，m，n）|/√（l²+m²+n²）。
d=√（（x1-x0）²+（y1-y0）²+（z1-z0）²-s²）。
拓展阅读：点到直线的距离定义 从直线外⼀点到这条直线的垂线段⻓度，叫点到直线的距离。
点和直线的位置关系 点与直线只有两种位置关系：⼀种是点在直线上，⼀种是点在直线外。
点是最简单的形，是⼏何图形最基本的组成部分。
在空间中作为1个零维的对象。
在其它领域中，点也作为讨论的对象。
直线由⽆数个点构成。
直线是⾯的组成成分，并继⽽组成体。
没有端点，向两端⽆限延⻓，⻓度⽆法度量。
过⼀点可以画⼏条直线 直线由⽆数个点构成。
直线是⾯的组成成分，并继⽽组成体。
没有端点，向两端⽆限延⻓，⻓度⽆法度量。
经过⼀个点可以画⽆数条直线。
经过两个点可以画⼀条直线。
直线与线段和射线的区别 1、直线⽆端点，⻓度⽆限，向两⽅⽆限延伸。
2、射线只有⼀个端点，⻓度⽆限，向⼀⽅⽆限延伸。
3、线段有两个端点，⻓度有限。
理解垂直的定义和性质掌握垂线段、点到直线距离的定义
3、在生动有趣的情境中，激发主动探索知识的热情， 丰富和发展数学活动的经验。
教学重难点
教学重点： 垂直的定义和性质以及通过实验操作、 交流探究来研究垂线性质的方法。
教学难点：垂直的定义和性质的理解与应用。
1、学生的认知水平与活动经验分析
2）两直线相交所构成的四个角相等，则这两直线 互相垂直（ √ ）
3）点到直线的垂线段就是点到直线的距离（
）
4）平×面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂
直（
）
√
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练 总结反思
创设情境 2、如图:∠ACB= 90°,CD ⊥ AB于点D,
观察交流 则点A到线段BC的距离等于_线__段__A_C__的__长__度_;
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练
总结反思 交流话题:从图中能发现直线的哪些位置关系呢？
创设情境 观察交流
活动探究
变式训练 问题1：当两条直线互相垂直时，它们的夹角有何特点？
总结反思
问。题2：如图，如何表示两条直线垂直？并读出来。
问题3：在你身边能找到互相垂直的直线吗？怎样判断？
创设情境 你能用一张纸折出两条互相垂直的直线？
创设情境 探究活动二
如图，点P是直线m外一点，PD⊥m于点D, 点A、B、C
观察交流 在直线上，比较线段PD、PA、PB、PC，你发现了什么？
活动探究 变式训练 总结反思
P
A B CD E F GH m
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练 总结反思
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练
如图，某同学在100米赛跑中已跑到了点O处，最 后他向着终点线AB冲刺，该怎样跑他到AB的距离 最短？并把最短距离表示出来。
点到直线的距离 公式
点到直线的距离 公式
距离是指两点之间的长度，而直线是一条无限延伸的线段。
点到直线的距离是指从给定点到直线上最近的点的距离，这是一个常见的几何问题。
为了计算点到直线的距离，我们可以使用距离公式。
在平面几何中，点到直线的距离公式可以表示为：
d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2)
其中，(x, y) 是表示给定点的坐标，A、B和C是表示直线的一般方程 Ax + By + C = 0 的系数。
这个公式来源于向量的性质。
点到直线的距离等于从该点到垂直于直线的向量的长度。
在直线上任意选取一点，连接给定点与该点形成一向量，然后将该向量与直线的法向量进行垂直投影，即可得到垂线段。
垂线段的长度即为点到直线的距离。
通过使用距离公式，我们可以轻松地计算点到直线的距离。
首先，我们需要确定给定直线的一般方程 Ax + By + C = 0 的系数 A、B和C。
然后，将坐标 (x, y) 替换到公式中，根据公式计算得出点到直线的距离 d。
需要注意的是，如果 A^2 + B^2 的值为0，表示直线不存在，此时无法计算点到直线的距离。
点到直线的距离公式在数学和几何等领域具有广泛的应用。
它可以用于解决线性代数、计算几何和物理等问题。
无论是在学术研究还是实际应用中，点到直线的距离公式都是非常有用的工具。
它帮助我们理解和分析点和直线之间的关系，为解决各种几何问题提供了方便和准确的计算方法。
13.2(2)垂线——点到直线距离导学单+作业单
13.2(2)垂线——点到直线的距离班级姓名操作：如图，已知直线l以及l外一点A，过点A作直线l的垂线，垂足为A1，另外在直线l上任取四个点：A2、A3、A4、A5（与A1不重合），分别联结AA2、AA3、AA4、AA5，量出线段AA1、AA2、AA3、AA4、AA5的长度，这样就相应得到点A到直线l上五个点的距离。
例题2 指出图中线段AC、BC、AD、BD、CD的长分别表示哪个点到哪条直线的距离.在思考2中，小明所走的路线，是从A到河边的垂线段。
如果图中以1毫米表示实际长度20米，(1)小明到河边的最短路程是多少米？(2)如果小明的速度为3000米/时，那么小明到河边需要多少时间？【课堂练习】1、点到直线的距离是（）A、直线外的一点到这条直线的垂线B、直线外的一点到这条直线的垂线段C、直线外的一点到这条直线的垂线的长D、直线外的一点到这条直线的垂线段的长lAC B2、按下列要求画图并填空：如图， （1）过点P 画PD ⊥AB ，垂足为点D ； （2）过点P 画PE ⊥AC ，垂足为点E ；（3）点P 、Q 两点间的距离是线段 的长度， PD 的长度表示 的距离；（4）点P 到直线AC 的距离是线段 的长度； （5）点Q 到直线AB 的距离是3、（1）如果一点在直线上，那么这点到该直线的距离为（2）在图中分别画出表示点C 到直线AB 的距离、点B 到直线AC 的距离的线段，再分别量出这些距离。
4、如图，点A 到直线BC 的距离是线段 的长， 点D 到直线AF 的距离是线段 的长， 线段AF 的长表示点A 到直线 的距离， 线段CE 表示点C 到直线 的距离， 线段BE 表示点 到直线 的距离， 线段CF 表示点 到直线 的距离。
第2题第3（2）题A第4题D13.2垂线(2)巩固练习班级 姓名知 识 梳 理1、联结直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短。
2、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 。
细说垂线、垂线段、点到直线的距离
细说垂线、垂线段、点到直线的距离作者：钱振洪来源：《初中生世界·七年级》2014年第02期关于垂线，同学们在小学里已接触过，但那仅仅停留在感性认识上，没有对垂线进行概念描述. 七年级上册教科书通过图片及“议一议”活动，带大家一起回忆了小学里学过的相关知识，并遵循从感性到理性的认知规律归纳了垂线的定义，进而引出垂线段、点到直线的距离等概念. 由于同学们的认识水平有限，往往会对这三个概念认识模糊，混淆不清，下面我们来一探究竟.一、垂线、垂线段、点到直线的距离的定义1. 垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线就互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.2. 垂线段的定义：垂线上一点到垂足之间的一条线段.3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.二、垂线、垂线段、点到直线的距离的区别1. 垂线是一条直线，可以向两端无限延伸，没有长度，垂线表示的是一个图形.2. 垂线段是垂线上的一条特殊的线段，是有限的一段，有长度，表示的是一个图形.3. 点到直线的距离是垂线上一条特殊的线段的长度，表示的是一个数量，而不是图形.下面我们通过图形来分析这三个概念，如图1所示：直线b叫做直线a的垂线，也可以说直线a叫做直线b的垂线；线段CO叫做垂线段，同样，线段AO、BO、DO都叫做垂线段；线段CO的长度叫做点C到直线a的距离，同样线段AO的长度叫做点A到直线b的距离.三、概念辨析1. 下列判断错误的是（）.A. 一条线段有无数条垂线B. 过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直C. 两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直D. 若两条直线相交，则它们互相垂直【解析】本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.【正确解答】D.2. 下列判断正确的是（）.A. 从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离B. 过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离C. 画出已知直线外一点到已知直线的距离D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短【解析】本题错误原因是没有正确理解垂线段的概念及点到直线的距离的意义.说法A是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的.说法B是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的.说法C是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度.【正确解答】D.四、生活中的应用通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到直线的距离. 经过探究，我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 在日常生活中，解决一些实际问题时我们经常遇到它. 这样可使有些复杂问题变得比较简单，因此其应用较为广泛. 接下来我给同学们举几个例子：1. 如图2，甲、乙两名同学在测量刘佳同学的一次跳远成绩时，分别测量出DA=4.56米，DB=4.15米，AC=4.70米，则刘佳的跳远成绩应该为______米.解：刘佳的跳远成绩应为4.15米.因为实际生活中，测量跳远成绩都是量离踏板最近的落地点到踏板的距离，所以测量AC、DA都是错误的，线段DB的长度才是刘佳跳远的正确成绩. 跳远成绩的测量就是求点到直线的距离.2. 如图3，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M、N分别是位于公路两侧的村庄.①设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q时，距离村庄N 最近. 请在图中的公路AB 上分别画出点P和点Q的位置.②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离M越来越远？解：①过点M、N分别作直线AB的垂线，垂足分别为P、Q.②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的AP段距离M、N两村庄都越来越近，在PQ段距离村庄N越来越近，而离M越来越远.。
垂线段与点到直线的距离-湘教版七年级数学下册优秀学案
4.5 垂 线第2课时垂线段与点到直线的距离学习目标：1.理解垂线的性质并会过一点画已知直线的垂线；2.了解垂线、垂线段、点到直线的距离这几个概念，掌握垂线段的性质.重点：垂线的性质难点：利用垂线段的性质解决相关的问题.预习导学——不看不讲学一学：阅读教材P98-99的内容做一做：经过一点作一条已知直线的垂线。
(用三角板画)（1）点P 在直线AB 上 （2）点P 在直线AB 外议一议：1.过一点P 作已知直线的垂线，可以作几条？是不是一定可以作一条？2.如果有两条直线PC 、PD 与直线AB 垂直，那么PC 、PD 的关系怎样呢？【归纳总结】垂线的性质:在同一平面内，过一点______________________________ 学一学：阅读教材P99-101的内容填一填： 1.如图，设PO 垂直于AB 于O ，线段PO 叫作点P 到直线AB 的________ PA 、PB 、PC 、PD 叫________2.垂线段PO 的长度叫作点P 到直线AB 的________做一做：请同学们测量一下，PO 与PA 、PB 、PD 、PC 的长度，然后猜测一下它们之间的关系如何【归纳总结】直线外一点与直线上各点连续的所有线段中，________简单说成：________【课堂展示】如图1,分别画出点A 、B 、C 到BC 、AC 、AB 所在直线的垂线.C BAC B A合作探究——不议不讲互动探究一：如图,AC⊥BC,C 为垂足,CD⊥AB,D 为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点C 到AB 的距离是___,点A 到BC 的距离是____,点B 到CD 的距离是___,A 、B 两点的距离是______互动探究二：我国“十一五”规划其中一重要目标是，建设社会主义新农村，国家对农村公路建设投资近1000亿人民币．西部的某落后山村准备在M 河上架一座桥梁，如图所示，桥建在何处才能使A ，B 两个村庄的之间修建路面最短？【当堂检测】P101练习1题，2题, 3题。
垂线段法证明点到直线距离
垂线段法证明点到直线距离垂线段法是一种常用的几何定理，用于证明点到直线的距离。
它的原理是通过构造垂线段，将问题转化为计算垂线段的长度。
垂线段法可以分为两种情况：点在直线上方和点在直线下方。
下面将详细介绍垂线段法的原理和证明过程。
首先，我们需要定义一些基本术语。
设直线为L，点为P，L上任意一点为A。
垂线段代表线段PA与直线L垂直相交。
首先，考虑点在直线上方的情况。
点P在直线上方的情况：1.根据定义，直线L的任意两点之间的线段都垂直于直线L，即PA 与PB垂直。
2.设点Q为垂线段PA与直线L的交点。
根据垂直直线的性质，PA与PB的斜率的乘积为-1，即斜率PA*斜率PQ=-13.由于P和Q在直线L上，可以得出PQ的斜率等于L的斜率，即斜率PQ=斜率L。
4.由此可以得出斜率PA*斜率L=-1，即斜率PA=-1/斜率L。
5.利用点斜式的公式y-y1=k(x-x1)，其中k为斜率，(x1,y1)为已知点，可以根据点P和斜率PA得到垂线段的方程。
6.解方程组，即可得到垂线段的方程和交点Q的坐标。
7.最后，计算线段PA的长度，即可得到点P到直线L的距离。
P（3,7）_______L_________A(2,3)B(4,5)我们要证明点P到直线L的距离。
首先，计算直线L的斜率。
斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=(5-3)/(4-2)=1然后，根据垂直直线的性质，我们可以得到PA的斜率为-1/斜率L。
因此，斜率PA=-1/1=-1利用点斜式的公式y-y1=k(x-x1)，其中(x1,y1)=(3,7)，k=-1，可以得到垂线段的方程。
y-7=-1(x-3)=>y-7=-x+3=>y=-x+10解方程组，我们可以得到交点的坐标。
将垂线段的方程和直线L的方程联立，解得y=-x+10和y=x+1，两条直线的交点为(4.5,5.5)。
最后，计算线段PA的长度。
根据两点间距离的公式，我们可以得到PA的长度。
湘教版数学七年级下册 垂线段与点到直线的距离教案与反思
第2课时垂线段与点到直线的距离前事不忘，后事之师。
《战国策·赵策》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！【知识与技能】1.掌握点到直线的距离的有关概念.2.会作出直线外一点到一条直线的垂线.3.理解垂线段最短的性质.【过程与方法】经过观察、分析、抽象、概括、画图等数学活动过程，进一步发展思维能力.【情感态度】体会数学的应用价值.【教学重点】点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质.【教学难点】垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法.一、情景导入，初步认知在灌溉时，要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短?说到最短，上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗?【教学说明】通过实际问题的引入，让学生感受到生活中处处可以遇到垂直问题，体会数学在生活中的应用价值.二、思考探究，获取新知1.学生用三角尺画已知直线l的垂线.(1)画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)如图，过点P画已知直线l的垂线(用三角尺画，语言叙述步骤),这样的垂线能画几条?(3)经过直线l外的一点P画l的垂线,这样的垂线能画几条?由画图可知：(1)可以画无数条；(2)可以画一条；(3)可以画一条.由此你能得到什么结论？【归纳结论】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫做点P到直线l的垂线段，经过点P的其它直线交l于A,B,C……,线段PA,PB,PC……都不是垂线段，称为斜线段.(1)垂线与垂线段有何区别和联系？区别：垂线是直线，垂线段是线段.联系：垂线和垂线段都有垂直关系.(2)用刻度尺量一量PA,PB,PC，PO的长度，你发现了什么？【归纳结论】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简单说成:垂线段最短.我们知道，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.如上图，PO就是点P到直线l的距离.注意：点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值，是一个数量，所以不能画距离，只能量距离.3.完成P100“做一做”.【教学说明】教师分析讲解，引出相关概念，并进行补充.三、运用新知，深化理解.见教材P100例3.2.如图，①过点Q作QD⊥AB，垂足为D，②过点P作PE⊥AB，垂足为E，③过点Q作QF⊥AC，垂足为F，④连P、Q两点，⑤P、Q两点间的距离是线段的长度，⑥点Q到直线AB的距离是线段的长度，⑦点Q到直线AC的距离是线段的长度，⑧点P到直线AB的距离是线段的长度.解：①②③④作图如图所示：⑤PQ⑥QD⑦QF⑧PE3.如图，∠C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，则点A到直线BC的距离为，点B 到直线AC的距离为，A、B间的距离为.答：4，3，54.如图所示，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流.(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.解：如图所示:(1)沿AB走，两点之间线段最短；(2)沿BD走，垂线段最短；(3)沿AC走，垂线段最短.5.如图所示，已知∠AOB=∠CD=90°，(1)若∠BOC=45°，求∠AOC与∠BOD的度数；(2)若∠BOC=25°，求∠AOC与∠BO的度数；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？说说其中的道理.解：(1)∵∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=45°，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=45°，∠BOD=∠COD-∠BOC=45°.(2)∵∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC25°，∴∠AOC∠AOB-∠BOC=65°，∠BOD=∠COD-∠BOC=65°.(3)∠AOC=∠BOD，等角的余角相等.6.如图，OF平分∠AOC，OE⊥OF，AB与CD相交于O，∠BOD=130°，求∠EOB 的度数.解：∵∠AOC=∠BOD，∠BOD=130°，∴∠AOC=130°.∵OF平分∠AOC，∴∠AOF=∠FOC=65°.∵OE⊥OF∴∠EOF=90°.∴∠BOE=180°-∠AOF-∠EOF=180°-65°-90°=25°.【教学说明】学生自己独立完成.使所学知识得到巩固提高.四、师生互动,课堂小结1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识?2.通过本节课的学习，你最大的体验是什么?3.通过本节课的学习，你掌握了哪些学习数学的方法？1.布置作业:教材“习题4.5”中第6、7、8题.2.完成同步练习册中本课时的练习.一节课下来还是会发现自己的教学有很多不如意、有待改进的地方，比如课堂整体氛围的调控，教学内容的突破，对学生个体差异的忽略等等.还需要不断学习、取经、完善课堂.【素材积累】司马迁写《史记》汉朝司马迁继承父业，立志著述史书。
湘教版七下《垂线段与点到直线的距离》教案
第2课时垂线段与点到直线的距离1．掌握垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(重点)2．理解垂线段最短的性质及点到直线的距离的概念．(重点、难点)一、情境导入如图，要想从图中的点P处修一条小路与公路相连，应怎样修才能使路程最短？二、合作探究探究点一：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(2015·扶沟县期中)如图，已知ON垂直于直线l，OM垂直于直线l，所以OM与ON重合，其理由是()A．两点确定一条直线B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．在同一平面内，过一点只能作一条直线D．垂线段最短解析：A.点M、N可以确定一条直线，但不可以确定三点O、M、N都在直线l的垂线上，故本选项错误；B.直线OM、ON都经过一个点O，且都垂直于直线l，故本选项正确；C.在同一平面内，过直线外一点只能作一条垂线，但可作无数条直线，故本选项错误；D.此题没涉及线段的长度，故本选项错误．故选B.方法总结：本题考查了垂直的定义、两点确定一条直线、垂线段最短．正确理解它们的含义是解题的关键．探究点二：垂线段【类型一】垂线段的性质A为直线l外一点，B为直线l上一点，点A到l的距离为3cm，则AB________3cm，根据是________________．解析：当AB⊥l时，AB为垂线段，垂线段最短，此时AB＝3cm；当AB与l不垂直时，AB>3cm，故AB≥3cm.故答案为≥，垂线段最短．方法总结：本题是“垂线段最短”的灵活应用题，解答此题时要注意体会从特殊到一般的思维方式的运用．【类型二】有关垂线段的作图如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．解析：连接AB，过点B作BC⊥MN即可．解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短．方法总结：与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”．探究点三：点到直线的距离如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5.(1)试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；(2)点C到直线AB的距离是多少？解析：(1)点A到直线BC的距离就是线段AC的长；点B到直线AC的距离就是线段BC的长；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.点C到直线AB的距离就是线段CD的长，可利用面积法求得．解：(1)点A到直线BC的距离是3；点B到直线AC的距离是4；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.S△ABC＝12BC·AC＝12AB·CD，所以5CD＝3×4，所以CD＝125，所以点C到直线AB的距离为125.方法总结：垂线段与点到直线的距离是两个不同的概念，垂线段是一条线段，而点到直线的距离是垂线段的长度．三、板书设计1．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2．垂线段最短3．点到直线的距离通过实际生活中的情景引入课题，激发学生的学习兴趣．本节课概念容易混淆，如垂线、垂线段、点到直线的距离等，可结合图形进行说明，帮助学生理解。
高中数学：.3《点到直线的距离》【新人教A版必修2】PPT完美课件
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6.了解和名著有关的作家作品及相关 的诗句 、名言 、成语 和歇后 语等， 能按要 求向他 人推介 某部文 学名著 。
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7.能够根据所提供的有关文学名著的 相关语 言信息 推断作 品的作 者、作 品的名 称和人 物形象 ，分析 人物形 象的性 格和作 品的思 想内容 并进行 简要评 价。
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8．能够由具体的阅读材料进行拓展和 迁移， 联系相 关的文 学名著 展开分 析，提 出自己 的认识 和看法 ，说出 自己阅 读文学 名著的 感受和 体验。
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例6:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求的ABC面积
y
A
h
C O
B
x
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两条平行直线间的距离： 高中数学：.3《点到直线的距离》【新人教A版必修2】PPT完美课件
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
d=
C1 - C2 A2 + B2
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练习4 高中数学：.3《点到直线的距离》【新人教A版必修2】PPT完美课件
1.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
2
2.求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 2 的直线方程 .
湘教版数学七年级下册4.5《垂线段与点到直线的距离》教学设计
湘教版数学七年级下册4.5《垂线段与点到直线的距离》教学设计一. 教材分析《垂线段与点到直线的距离》是湘教版数学七年级下册第四章第五节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了垂线的性质和直线外一点到直线的距离的定义的基础上进行学习的。
本节内容的主要目的是让学生理解垂线段的概念，掌握垂线段的性质，以及学会求点到直线的距离。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了垂线的性质和直线外一点到直线的距离的定义，因此对于垂线段的概念和性质的理解不会太困难。
然而，学生对于实际应用中垂线段和点到直线的距离的求解可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，教师需要通过具体的实例和练习，帮助学生理解和掌握垂线段和点到直线的距离的求解方法。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解垂线段的概念，掌握垂线段的性质，以及学会求点到直线的距离。
2.过程与方法：通过具体的实例和练习，让学生学会使用垂线段和点到直线的距离的概念和性质来解决实际问题。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和热情，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生理解垂线段的概念，掌握垂线段的性质，以及学会求点到直线的距离。
2.教学难点：让学生理解和掌握垂线段和点到直线的距离在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的实例和练习，让学生在实际问题中理解和掌握垂线段和点到直线的距离的概念和性质。
2.问题解决法：引导学生通过问题解决的方式，来理解和掌握垂线段和点到直线的距离的求解方法。
3.小组合作法：通过小组合作的方式，让学生在讨论和交流中，进一步理解和掌握垂线段和点到直线的距离的概念和性质。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备具体的实例和练习题，以便在教学过程中进行讲解和指导。
2.学生准备：学生需要准备好笔记本和文具，以便在课堂上进行记录和练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾垂线的性质和直线外一点到直线的距离的定义。
垂线段法证明点到直线距离
垂线段法证明点到直线距离垂线段法是一种证明点到直线距离的方法。
它基于如下定理：定理：从点A到直线L的距离，等于从点A到直线L上的一点B的连线AB与L的垂线段的长度。
证明：假设A是平面上的一个点，L是平面上的一条直线。
设垂线段交L于点B。
我们可以通过以下步骤来证明该定理：步骤1：假设A到L的距离为d，将A到L的距离记为d(A,L)。
步骤2：假设垂线段的长度为l，将垂线段的长度记为l(AB)。
步骤3：连接A和B，得到线段AB。
步骤4：连接A和L，得到线段AL。
步骤5：根据两条平行线上的垂线段等于长度相等的垂线段的定理，可知l(AB) = l。
步骤6：根据三角形的性质，可知在三角形ABL中，由于AB与L垂直，所以∠ALB = 90°。
步骤7：由于直角三角形ABL，根据勾股定理，有AL² = AB²+ BL²。
步骤8：根据步骤7的结果可知BL = 0，因为BL² = 0，所以BL = 0。
步骤9：根据步骤8的结果可知点B就是点L，因此点B与直线L上任意一点重合。
步骤10：由于l = l(AB)，所以点B就是从点A到直线L的垂线段与直线L的交点。
步骤11：由于点B与直线L上的一点重合，所以垂线段AB 与直线L重合。
步骤12：根据步骤11的结果可知线段AB和线段AL重合。
步骤13：根据线段AB和线段AL重合的结果可知，A到直线L的距离d(A,L)等于垂线段的长度l，即d(A,L) = l。
因此，由定理可得点A到直线L的距离等于从点A到直线L 上的一点B的连线AB与L的垂线段的长度。
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所以点A到直线BC的距离为5.
11
A
2.体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？为什么？ 测量身体的最后着地点到跳板前边缘 所在直线的距离
12
A
3.如图，（比例尺：1：5000），公园里有4条纵横 交错的人行道，P点是一喷泉，量出P点到4条道路的距 离．
a c
d
b P
13
A
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
P' 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短
或者简单地说成： 垂线段最短．
在图中，垂线段PO的长度叫做点P到直线 l 的距离． 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点 到直线的距离。
9
A
当堂训练
1.如图所示，某工厂要在河岸 l 上建一个水泵房引水到C 处，问建在哪个位置上才最节省水管？为什么？ 解：由C点向l作垂线CP，垂足为P，所以建在P点上最节 省水管
6
A
P
如图，设PO垂直于直线l，O为垂足， 线段PO叫作P点到直线l 的垂线段．
通过P点的其他直线交 l 于A、B、
C…，线段PA，PB，PC都不是垂线 段，称为斜线段．
A
B O Cl
7
A
(1) 如图，设P是直线l 外的一点，其细线一根，一端用图 钉固定在P点，将细线拉直使它与l 垂直，在垂足O处作一 标志，然后拉紧细线左右旋转至PA，PB等位置，比较PO， PA，PB的长度，你能从中猜出什么结论？
p
O
根据操作，我们不难猜想，所有这些线段中，垂线段PO最短． 这个猜想对吗？为什么？
(2) 用小纸片剪一个和三角形POB一样的三
P
角形盖在三角形POB上，将纸片沿直线l翻
折过来，得到三角形P'OB，
如图，因为∠POB＝∠P'OB＝90º，所以 B l O POP'成一直线段，于是PO+P'O<PB+P'B， 即2PO<2PB，因此PO<PB.
P Pl
理由：垂线段最短
C
10
A
A
如图，在三角形ABC中∠ABC=90°BD⊥AC， D
垂足为D，AB=5，BC=12，AC=13.
求：（1）点A到BC的距离；
（2）点B到直线AC的距离.
解：（1）因为∠ABC=90°，
B
C
所以AB⊥BC，B为垂足.
所以线段AB即为点A到直线BC的垂线段.
因为AB=5,
作业讲评
A
1.如图，AB⊥BC，DE ⊥BC，∠A=65°。 求∠ADE的度数。 解：因为AB⊥BC，DE ⊥BC，
A D
所以AB∥DE
C
E
B
（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）
所以∠ADE+ ∠A=180° （两直线平行，同旁内角互补）
所以∠ADE= 180°–∠A=180°–65°=115°
4
（1）经过直线l上一点 P画l的垂线a
（2）经过直线l外一点 P画l的垂线b
A
a
P
l
b
P l
5
A
(1) 讨论：平面内过一点P能够有两条或两条以上的直线与直线 l 垂直 吗？
不能，有且只能有一条 (2) 如果直线PC与PD都与l垂直，那么PC与PD的位置关系合怎样？
会重合
P
DC
在平面内，通过一点有一条且只有一条直 线与已知直线垂直．
14
A
1.在平面内，通过一点有一条且只有一条直线与 已知直线垂直。
2.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂 线段最短。简称：垂线段最短。
3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 点到直线的距离。
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A 16
A 17
A 18
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A 20
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A 22
A 23
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A 27
A 28
A 29
A 30
A 31
1
作业讲评
A
C
2.如图，CE∥HG，AB⊥HG， ∠AEF=72°。
F
H
求∠CEF的度数。
解：因为CE∥HG，AB⊥HG， 所以AB⊥CE，
A
E
G
B
（在同一平面内，垂直于两条平行线中
的一条的直线也垂直于另一条）
所以∠AEC=90° （垂直的定义）
解：因为AB⊥HG 所以∠AGH=90° 因为CE∥HG
所以∠AEC =∠AGH=90 °
所以∠CEF= 90°–∠AEF
所以∠CEF= 90°–∠AEF
=90°–72°=18°
=90°–72°=18°
2
A
4.5 垂线
第2课时 垂线段与点到直线的距离
湘教版 七年级下册
3
A
情景导入
思考：在平面内，通过一点能不能画一 条直线与已知直线垂直？如果可能，能够画 几条？