2017年11月浙江省学业水平考试数学试题(含答案)

2017年11月浙江省普通高中学业水平考试数学试题
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。

每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均你不得分。

） 1.已知集合A=｛1,2,3｝，B ｛1,3,4,｝，则A ∪B=
A.｛1,3｝
B.｛1,2,3｝
C.｛1,3,4｝
D.｛1,2,3,4｝ 2.已知向量a=（4,3），则|a|=
A.3
B.4
C.5
D.7 3.设θ为锐角，sin θ=
3
1
，则cos θ= A.32 B.3
2 C.36 D.322
4.log 2
4
1= A.-2 B.-
21 C.2
1
D.2 5.下面函数中，最小正周期为π的是
A.y=sin x
B.y=cos x
C.y=tan x
D.y=sin 2
x
6.函数y=1
1
2++
-x x 的定义域是 A.(-1,2] B.[-1,2] C.(-1,2) D.[-1,2) 7.点（0,0）到直线x +y-1=0的距离是 A.
22 B.2
3 C.1 D.2 8.设不等式组⎩
⎨⎧-+-0＜420＞y x y x ，所表示的平面区域为M ，则点（1,0）（3,2）（-1,1）中在M
内的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3 9.函数f(x )=x ·1n|x |的图像可能是
10.若直线l 不平行于平面a ，且a l ⊄则
A.a 内所有直线与l 异面
B.a 内只存在有限条直线与l 共面
C.a 内存在唯一的直线与l 平行
D.a 内存在无数条直线与l 相交
11.图（1）是棱长为1的正方体ABCD —A1B1C1D1截去三棱锥A1—AB1D1后的几何体，将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图（2）的集合体的正视图为
（1） （2） （第11题图）
2
22
2 2
22
2 2
22
2 2
22
2
12.过圆x 2
=y 2
-2x-8=0的圆心，且与直线x=2y=0垂直的直线方程是 A.2x=y=2=0 B.x=2y-1=0 C.2x=y-2=0 D.2x-y-2=0
13.已知a,b 是实数，则“|a|＜1且|b|＜1”是“a 2
+b 2
＜1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.设A ，B 为椭圆22
22b
y a x +=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的点，直线
PA ，PB 的斜率分别为k 1k 2.若k 1·k 2=-
4
3
，则该椭圆的离心率为 A.
41 B.31 C.2
1
D.23
15.数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =
2
3
a n -n ·n ∈N ﹡,则下列为等比数列的是 A.{a n +1} B.{a n -1} C.{S n +1} D.{S n -1} 16.正实数x ，y 满足x+y=1，则
y
x y 1
1++的最小值是
A.3+2
B.2+22
C.5
D.
2
11 17.已知1是函数f (x )=a x 2
+b x +c(a ＞b ＞c)的一个零点，若存在实数0x ，使得f (0x ) ＜0,则f (x )的另一个零点可能是
A.0x -3
B.0x -21
C.0x +2
3
D.0x +2 18.等腰直角△ABC 斜边BC 上一点P 满足CP ≤4
1
CB ，将△CAP 沿AP 翻折至△C ′AP ，使两面
角C ′—AP —B 为60°记直线C ′A ，C ′B ，C ′P 与平面APB 所成角分别为a ，β，γ，则 A.a ＜β＜γ B.a ＜γ＜β C.β＜a ＜γ D.γ＜a ＜β 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。

）
19.设数列{a n }的前n 项和S n ，若a n =2n-1,n ∈N ﹡,则a 1= ▲ ，S 3= ▲ .
20.双曲线16
92
2y x -=1的渐近线方程是 ▲ . 21.若不等式∣2x -a ∣+∣x +1∣≥1的解集为R ，则实数a 的取值范围是 ▲ .
22.正四面体A —BCD 的棱长为2，空间动点P 满足PC PB +=2，则AP ·AD 的取值范围是 ▲ .
三、解答题（本大题共3小题，共31分。

）
23.（本题10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 已知cos A=2
1
. （1）求角A 的大小；
（2）若b=2，c=3，求a 的值；
（3）求2sinB+cos （
6
π
+B ）的最大值. 24.（本题10分）如图，抛物线x 2
=y 与直线y=1交于M ，N 两点.Q 为抛物线上异于M ，N 的
任意一点，直线MQ 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线NQ 与x 轴、y 轴分别交于C ，D. （1）求M ，N 两点的坐标；
（2）证明：B ，D 两点关于原点O 对称； （3）设△QBD ，△QCA 的面积分别为S 1，S 2， 若点Q 在直线y=1的下方，求S 2-S 1的最小值. 25.（本题11分）已知函数g(x ) =-t ·2
1
+x -3
1
+x ,h(x )=t ·x
x 32-，
其中x ，t ∈R. （第24题图）
（1）求(2)-h(2)的值（用t 表示）； （2）定义[1，+∞）上的函数)(x f 如下：
[)[)⎩
⎨
⎧+∈⋅-∈⋅=12,2)(,
2.12)()(k k x x h k k x x g x f （k ∈N ﹡）. 若)(x f 在[1，m ）上是减函数，当实数m 取最大值时，求t 的取值范围.
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。

每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均你不得分。

）
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。

）
19. 1,9 20.y=x 3
4
±
21.(-∞,-4]∪[0,+∞) 22.[0,4] 三、解答题（本大题共3小题，共31分。

）
23.解：（1）因为cos A-2
1
,且A 是三角形的内角. 因此
A=3
π
（2）由余弦定理知
a 2
=b 2
+c 2
-2bccosA =7. 因此
a=7 （3）因为
2sin B+cos(
6π+B)=2
3
sin B+23cos B
=3sin(B+6
π). 又
0＜B ＜3
2π. 所以，当B-
3π时，2sinB+cos(6
π
+B)取最大值3. 24.解：（1）由⎩⎨⎧==1
2y x y ，解得⎩⎨⎧=-=11y x ，或⎩⎨⎧==11
y x .
因此M ，N 的坐标为M （-1,1），N （1,1）. （2）设点Q 的坐标为Q （0x ，2
0x ），则 直线MQ 的方程为
y=(0x -1)（x +1）+1. 令x =0.得点B 的坐标为B （0，0x ）. 直线NQ 的方程为
y=(0x +1)（x -1）+1. 令x =0.得点D 的坐标为D （0，-0x ）. 综上所述，点B ，D 关于原点O 对称. （3）由（2）得∣BD ∣=2∣0x ∣，因此S 1=2
1.∣BD ∣·∣0x ∣=2
0x . 在直线MQ 的方程中，令y=0，得A （
1x x -，0） 在直线NQ 的方程中，令y=0，得C （
1x x +，0）. 因此
|AC|=|001x x --001x x +|=2
02
12x x -， S 2=21·|AC|·2
0x =2
0401x x -， S 2-S 1=20401x x --2
0x =2
4
012x x -， 令t=1-2
0x ，由题意得-1＜0x ＜1，所以0＜t ≤1， 因此
S 2-S 1=（2t+t
1
)-3≥22-3, 当且仅当t=22，即0x =222-±时取等号.
综上所述，S 2-S 1的最小值是22-3.
25.解：（1）g(2)-h(2)=-12t-18.
（2）由g(2)≥h(2)及h(3)≥g(3),得-4
9
≤t ≤-23，
此时
g(4)-h(4)=-48t-162＜0, 所以
m ≤4.
①任取x 1x 2∈[1，+∞），且x 1＜x 2，那么1
12+x ＞0.
因为 （23)12+x +t ＞(2
3)1
1+x +t ≥49+t ≥0,
所以
21
2+x [(
23)12+x +t]＞21
1+x [(2
3)11+x +t]. 因此
g(1x )-g(2x )=(-t ·21
1+x -3
1
1+x )-(-t2
1
2+x -3
1
2+x )
=21
2+x [(
23)12+x +t]-21
1+x [(2
3)11+x +t]＞0, 即
g(1x )＞g(2x ) .
从而g(x )在[1，+∞]上为减函数，故g(x )在[3,4）上都是减函数，
②因为-4
9≤t ≤-23
，所以h(x )=t ·2x -3x 在[2,3）上为减函数.
综上所述，)(x f 在[1,m)上是减函数，实数m 的最大值为4，此时t 的取 值范围是[-49
，-2
3].。