(完整版)二次函数中的线段问题
2023年中考数学专题复习课件： 二次函数线段问题
典例精析
例 如图，抛物线y＝－ 1 x2＋ 5 x－2与x轴交于A
22
，B两点(点A在点B右侧)，与y轴交于点C.
(1)如图①，点P是线段AC上方抛物线上一动点， 过点P作PG⊥x轴且交x轴于点F，交AC于点G， 当PF＝ 1 FG时，求点P的坐标；
2
例题图①
【思维教练】要求点P的坐标，用含x的函数解析式与点的特征设出点坐
D
第4题图①
∟
(3)如图②，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH－OG＝7. 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)解：存在点M，使得2OH－OG＝7. 如图，过点M作 ME⊥x轴，垂足为点E
∵M(m，－m2＋4)，∴OE＝m，ME＝－m2＋4，∵B(2，0)，∴OB＝2，
∴AF＝3.设点P的坐标为(n，－n2＋4n＋5)， F
则点D的坐标为(n，－n＋2)，∴PD＝－n2＋4n＋5－(－n＋2)＝－n2＋5n＋3 D
PN PD n2 5n 3 1 (n 5 )2 37
AN AF
3
3 2 12
第1题图②
∵－ 1 ＜0，－1＜n＜5，
3
∴当n＝ 5 时，PN 有最大值，最大值为 37 .
将M，F的坐标代入，得
2k 5k
b b
0 3
，解得
k b
1 2
，∴射线MF的解析式为y＝x－2(x≥2)；
第1题图①
(2)在(1)的条件下，当抛物线与折线 EMF有两个交点时，设两个交点的
横坐标是x1，x2(x1＜x2)，求 x1＋x2的值；
(2)如图，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q.
∵抛物线的对称轴为直线x＝－
二次函数中的线段长度问题(解析版)
专题05 二次函数中的线段长度问题类型一、单线段长度问题 例1．综合与探究如图，二次函数239344y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．点D 是射线BC 上的动点，过点D 作DE AC ∥，并且交x 轴于点E ．(1)请直接写出A ，B ，C 三点的坐标及直线BC 的函数表达式； (2)当AD 平分CDE ∠时，求出点D 的坐标；(3)当点D 在线段BC 上运动时，直线DE 与抛物线在第一象限内交于点P ，则线段PD 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()1,0A -，()4,0B ，()0,3C ，334y x =-+；(2)410310D ⎝⎭，410310D ⎛ ⎝⎭ (3)410【解析】(1)解：二次函数239344y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．令0x =，则3y =，即()0,3C ．令0y =，则2393044x x -++=，解得121,4x x =-=，即()1,0A -，()4,0B ，∴()1,0A -，()4,0B ，()0,3C ．设直线BC 的表达式为y kx b =+，则403k b b +=⎧⎨=⎩解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线BC 的表达式是：334y x =-+．(2)∵AC DE ∥，∵ADE CAD ∠=∠． 又∵CDA ADE ∠=∠．∵CAD CDA ∠=∠．∵AC CD =．由勾股定理，得2210AC OA OC =+= 分两种情况．如答图1，当点D 在线段BC 上时．过点D 作DH y ⊥轴，垂足为H ．DH OD ∴∥，则CDH CBO ∽△△．∵DH CD CHOB CB CO==． ∵1043DH CH ==．解得410DH =，310CH =． ∵3103OH =∵点410310D ⎝⎭．如答图2，当点D 在线段BC 的延长线上时．过点D 作DH y ⊥轴，垂足为H ．DH OD ∴∥，则CDH CBO ∽△△．∵DH CD CH OB CB CO ==．∵1043DH CH ==．解得410DH =310CH = ∵3103OH =∵点410310D ⎛ ⎝⎭．(3)如答图3.过点P 作PM y ∥轴，并且交直线BC 于点M ,过点A 作AN BC ∥，并且交y 轴于点N ．则AON BOC ∽△△，∴AC ON BC OC =∴34ON =．∵315344CN =+=． ∵ACN DPM ∠=∠，ANC DMP ∠=∠，∵CAN PDM ∽△△．∵AC CNPD PM=． 设点239P ,344t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，3,34M t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．∵2334PM t t =-+．215104334t t =-+．∵)2210410104102P t D ==-． ∵100<， ∵PD 有最大值．PD 410．【变式训练1】如图，抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -、()10B ,，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 是抛物线对称轴上的动点，求MB MC+的最小值；(3)若点P 是直线AC 下方抛物线上的动点，过点P 作PQ AC ⊥于点Q ，线段PQ 是否存在最大值？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22y x x =+-；(2)22(3)线段PQ 存在最大值，此时点P 坐标为()1,2--【解析】(1)解：把点A 和点B 坐标代入抛物线解析式得()()220222,0112a b a b ⎧=⨯-+⨯--⎪⎨=⨯+⨯-⎪⎩．解得1,1a b =⎧⎨=⎩． 所以抛物线的解析式为22y x x =+-．(2)解：如下图所示，连接MA ，设直线AC 与二次函数的对称轴交于N ．∵()2,0A -、()10B ,，∵点A 和点B 关于二次函数的对称轴对称，OA =2．∵MA =MB ． ∵MB +MC =MA +MC ．∵当点M 与点N 重合时MA +MC 取得最小值，即MB +MC 取得最小值为AC ． ∵抛物线22y x x =+-与y 轴交于点C ，∵()0,2C -．∵OC =2． ∵2222AC OA OC +∵MB +MC 的最小值为22(3)解：如下图所示，过点P 作PD ∵x 轴于D ，交直线AC 于E ，设()2,2P p p p +-，其中20p -<<，设直线AC 解析式为y =kx +d ．∵OA =2，OC =2，∵OA =OC ． ∵180452AOCOAC OCA ︒-∠∠=∠==︒．∵PD ∵x 轴，∵∵ADE =90°．∵∵DEA =180°-∵ADE -∵OAC =45°．∵∵QEP =∵DEA =45°． ∵PQ ∵AC ，∵∵PQE =90°，222EP QE PQ =+．∵∵QPE =180°-∵PQE -∵QEP =45°． ∵∵QPE =∵QEP ．∵QE =PQ ．∵22222EP PQ PQ PQ =+=．∵2PQ =． ∵当EP 取得最大值时，PQ 取得最大值．把点A 和点C 坐标代入直线AC 解析式得02,2k d d =-+⎧⎨-=⎩．解得1,2k d =-⎧⎨=-⎩． ∵直线AC 解析式为2y x =--．∵(),2E p p --．22E P EP y y p p =-=--．∵当()2121p -=-=-⨯-时，EP 取得最大值．∵()1,2P --．∵线段PQ 存在最大值，此时点P 坐标为()1,2--．【变式训练2】如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，点B 的坐标为()3,0，顶点C 的坐标为()1,4．(1)求二次函数的解析式和直线BD 的解析式；(2)点P 是直线BD 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，当点P 在第一象限时，求线段PM 长度的最大值．【答案】(1)2y x 2x 3=-++，3y x =-+；(2)线段PM 长度有最大值为94【解析】(1)设二次函数的解析式为：2(1)4y a x =-+，将B 的坐标()3,0代入得：1a =- ∵二次函数的解析式为：2(1)4y x =--+即：2y x 2x 3=-++， ∵点D 是二次函数与y 轴的交点，∵D 点坐标为：()0,3设直线BD 的解析式为：3y kx =+将B 的坐标()3,0代入得：1k =- ∵直线BD 的解析式为：3y x =-+；(2)解：设P 点的横坐标为(30)m m >>，则(,3)m P m -+，()2,23m m M m -++∵22239233324M P y y m m m m m m PM ⎛⎫-=-+++-=-+=--+ ⎪⎝⎭=，∵10-<，∵当32m =时，线段PM 长度有最大值为94． 类型二、双线段长度问题例1．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）的顶点()1,4D ，抛物线与x 交于点()1,0A -和B ，与y 轴交于点C ．平面直角坐标系内有点()2,0G 和点170,4H ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求抛物线的解析式及点B 坐标；(2)在抛物线的对称轴上找一点E ，使HE AE +的值最小，求点E 的坐标； (3)若F 为抛物线对称轴上的一个定点，①过点H 作y 轴的垂线l ，若对于抛物线上任意一点(),P m n 都满足P 到直线l 的距离与它到定点F 的距离相等，求点F 的坐标；②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P ，使FP GP +最小，若存在，求出点P 的坐标及FP GP +的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+2x +3；B （3，0）；(2)E （1，176）；(3)①151,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②P （2，3），最小值为174【解析】(1)解：∵抛物线顶点D （1，4），与x 轴交于点A （-1，0）， ∵设抛物线解析式为y =a （x -1）2+4， 把A （-1，0）代入，解得a =-1， ∵y =-（x -1）2+4，∵抛物线的解析式y =-x 2+2x +3，令y =0，可得-（x -1）2+4=0，解得x 1 =-1，x 2 =3， ∵B （3，0）；(2)如图①，连接BH 交对称轴于点E ，连接AE ，此时AE + HE 的值最小，设直线BH 解析式为y =kx +b ，把B （3，0），H （0，174）代入，解得k =1712-，b =174，∵直线BH 解析式为1717124y x =-+， 把x =1代入解得y =176，∵E （1，176）； (3)①如图②，设对称轴上点F （1，t ），过点P 作PN ∵l ，过点F 作FM ∵PN ，90PMF ︒∴∠=，17,4N m ⎛⎫⎪⎝⎭，174PN n ∴=-，(,)M m t ， 2222(1)()PF PM FM m t n ∴+-+-，PF PN =，2217(1)()4m t n n -+-=-，∵抛物线上任意一点P （m ，n ）， 2(1)4n m ∴=--+， 2(1)4m n ∴-=-，2174()4n t n n -+-=-， 2222891742162n t nt n n n ∴-+-+=-+， 整理可得：21522520216t nt n -+-=， ∵任意一点P （m ，n ），与n 无关.， 15202t ∴-+=， 154t ∴=， 151,4F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；②：如图③，∵抛物线上任意一点P （m ，n ）满足PF =PN ，∵FP +GP = PN +GP .根据垂线段最短可知，当G ，P ，N 共线时，FP +GP 的值最小，最小值为：174， ∵G （2，0），∵把x =2代入y =-x 2+2x +3.解得y =3.∵当P （2，3）此时FP +GP 的值最小，最小值为174例2.如图，平面直角坐标系中，二次函数2142105y x x =--+图像交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，图像对称轴交x 轴于点D ．点P 是线段OD 上一动点，从O 向D 运动，H 是射线BC 上一点．(1)则点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ，线段BC 的长为 ； (2)如图1，在P 点运动过程中，若△OPC 中有一个内角等于∵HCA ，求OP 的长；(3)如图2，点73,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在二次函数图像上，在P 点开始运动的同时，点Q 在抛物线对称轴上从D 点向上运动，Q 点运动速度是P 点运动速度的2倍，连接QM ，则2QM CP +的最小值为 ．【答案】(1)（－10，0）；（2，0）；2(2)43或3；149【解析】(1)二次函数2142105y x x =--+中，令y =0，得：21420105x x --+=， 解得：1210,2x x =-=，∵A （－10，0），B （2，0）， 二次函数2142105y x x =--+中，令x =0，得：y =2，∵C （0，2）， ∵22222222BC OB OC ++=（－10，0）；（2，0）；22 (2)如图，连接AE ，设直线BC 的函数关系式为y ＝kx ＋b ． ∵函数图像经过B （2，0），C （0，2）则202k b b +=⎧⎨=⎩，解得12k b =-⎧⎨=⎩．∵y 与x 的函数关系式为2y x =-+； ∵抛物线的对称轴为x ＝－4∵D （4，0）．延长BC 交对称轴为E ，∵E （－4，6），∵DE ＝DB ＝6． 又∵DE ∵DB ，∵∵DEB ＝∵DBE ＝45°． ∵A （－10，0），AD ＝DE ＝DB ＝6，∵∵AEB 为等腰直角三角形，62BE AE ==∵42EC =26AC =若∵CPO ＝∵HCA ，则△CPO ∵∵ACE ，∵在△ACE 中，AE ：CE ＝3：2，∵CO ：OP ＝3：2 ∵CO ＝2，∵43OP =； 若∵PCO ＝∵HCA ，则△CPO ∵∵CAE ，∵在△ACE 中，AE ：CE ＝3：2，∵OP ：CO ＝3：2 ∵CO ＝2，∵OP ＝3；综上所述，OP 长为43或3．(3)由题意可知：∵12OP OC DP OD ==，∵COP ＝∵QDO ＝90°，∵Rt △COP ∵Rt △QDO ．∵12CP OQ = ∵OQ ＝2CP ．作点M 关于直线x ＝－4的对称点M ’，则MQ ＝M ’Q ．∵M （－3，72）∵M ’（－5，72），过点M ’作MN ∵x 轴于点N ，在Rt △M ’NO 中，22227149''52OM M N ON ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以QM ＋2CP 的最小值为149''2OQ QM OM +==．故答案为：1492【变式训练1】已知抛物线212y x bx c =-++（b ，c 为常数）的图象与x 轴交于(1,0)A ，B 两点（点A 在点B左侧）．与y 轴相交于点C ，顶点为D ．(1)当b =2时，求抛物线的顶点坐标；(2)若点P 是y 轴上一点，连接BP ，当PB =PC ，OP =2时，求b 的值；(3)若抛物线与x 轴另一个交点B 的坐标为(4,0)，对称轴交x 轴于点E ，点Q 是线段DE 上一点，点N 为线段AB 上一点，且AN =2BN ，连接NQ ，求54DQ NQ +的最小值． 【答案】(1)122⎛⎫⎪⎝⎭，；(2)116b =；(3)32【解析】(1)∵抛物线212y x bx c =-++经过点(1,0)A ，∵102b c -++=，解得12c b =-，当2b =时，32c，∵213222y x x =-+-，∵抛物线的顶点坐标为12,2⎛⎫⎪⎝⎭；(2)由（1）知，抛物线的解析式为21122y x bx b =-++-，∵抛物线的对称轴为直线x =b ， ∵点B 的坐标为(21,0)b -． ∵点P 在y 轴上，OP =2， ∵点P 的坐标为(0,2)或(0,2)-． ∵点10,2C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在y 轴负半轴上，∵13222PC b b =-+=+或15222PC b b =-+=-．在Rt∵POB 中，由勾股定理得222(21)2PB b =-+2(21)4b =-+． ∵PB =PC ，即22PB PC =，∵223(21)42b b ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭或225(21)42b b ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭．解得12b =或116b =或56b =-．∵10,2C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在y 轴负半轴上， ∵102b -<，解得12b >，∵116b =；(3)如图，连接AD ，过点Q 作QF ∵AD 于点F ，抛物线与x 轴交于(1,0)A ，(4,0)B ∵抛物线的解析式为215222y x x =-+-，∵顶点59,28D ⎛⎫⎪⎝⎭，98DE =，∵22591510288AD ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32AE =， ∵4sin 5AE QF ADE AD QD ===∠，∵45QF QD =， ∵()55454454DQ NQ DQ NQ QF NQ ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭， ∵AN =2BN ，∵(3,0)N ，AN =2，过点N 作NG ∵AD 于点G ，连DN ，则QF +NQ 的最小值为NG ，由面积相等知：1122AN DE AD NG ⋅=⋅， ∵92681558AN DE NG AD ⨯⋅===，∵()55534442DQ NQ QF NQ NG +=+==， ∵54DQ NQ +的最小值为32．【变式训练2】已知如图，二次函数(3)(5)y a x x =+-的图象交x 轴于A ，C 两点，交y 轴于点(0,33)B -，此抛物线的对称轴交x 轴于点D ，点P 为y 轴上的一个动点，连接PD ．(1)求a 的值；(2)求12PD PB +的最小值．【答案】3(2)23【解析】(1)解：把点(0,33)B -代入(3)(5)y a x x =+-得：33(03)(05)a -=+-，解得：3a = (2)解：连接AB ，过点D 作DH ∵AB 于点H ，交y 轴于点P ，由（1）得：二次函数的解析式为33)(5)y x x =+-，令y =0，33)(5)0x x +-=，解得：123,5x x =-=， ∵点A （-3，0），C （5，0），∵抛物线的对称轴为直线3512x -+==，∵点D （1，0），∵AD =4， ∵点(0,33)B -，∵3,33OA OB ==∵229276AB OA OB =+=+=，∵AB =2OA ，∵∵AOB =90°，∵∵OBA =30°，∵160,2PH PB OAB ︒==∠，∵12PD PB +的最小值为PD +PH =DH 的长，∵DH ∵AB ，∵OAB =60°，∵∵ADH =30°，∵122AH AD ==，∵23DH =∵12PD PB +的最小值为23【变式训练3】如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于()1,0A -，(),0B m 两点，与y 轴相交于点()0,3C -，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 是直线BC 下方抛物线上任意一点，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与BC 交于点M ． ①求线段PM 长度的最大值．②在①的条件下，若F 为y 轴上一动点，求2PH HF +的最小值．【答案】(1)y ＝x 2－2x －3；(2)①94；9215+【解析】(1)解：把()1,0A -，点()0,3C -代入抛物线2y x bx c =++中得：103b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =--；(2)解：①如图，令0y =，即2230x x --=，解得3x =或1x =-，()3,0B ∴，()0,3C -，设BC 的解析式为：y kx b =+，则303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：13k b =⎧⎨=-⎩，BC 的解析式为：3y x =-，设()2,23P x x x --，则(),3M x x -，()()22239323324PM x x x x x x ⎛⎫∴=----=-+=--+ ⎪⎝⎭，当32x =时，PM 有最大值为94； ②当PM 有最大值，315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在x 轴的负半轴上取一点K ，使45OCK ∠=︒，过F 作FN CK ⊥于N ，22FN CF 当N 、F 、H 三点共线时，PH NH +最小，即2PH HF +的值最小， Rt OCK ∆中，3OC =，3OK ，32OH，39322KH， Rt KNH ∆中，45KHN ∠=︒，29224KNKH ， 924NH KN，22PHHFCF 的最小值是9215PH NH ++=【变式训练4】已知抛物线()20y ax bx c a =++≠过点1,0A ，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，3OC =．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；(3)若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)243y xx =-+，()2,1D -；(2)见解析；(3)33+【解析】(1)∵抛物线()20y ax bx c a =++≠过点1,0A ，()3,0B 两点，∵设抛物线解析式为()()13y a x x =--，∵3OC =，∵()0,3C ，∵这个抛物线与y 轴交于点C ，∵()()30103a =--，∵1a =， ∵抛物线的解析式为：243y xx =-+．∵()()()22134321y x x x x x =--=-+=--，∵这个抛物线的顶点()2,1D -； (2)连接AD ，BD ，由（1）得：3OB OC ==，∵45OBC OCB ∠=∠=︒， ∵1,0A ，()3,0B ，∵2AB =，∵45MAB ∠=︒，AM BC ⊥∵sin 452AM MB AB ==︒∵()2,1D -，∵()()2221102AD =-+--，()()2223102BD =-+--=∵AM MB AD BD === ，∵四边形ADBM 为菱形， ∵90AMB ∠=︒，∵四边形ADBM 为正方形； (3)存在，理由：如图，点C 作与y 轴夹角为30的直线CF ，交x 轴于点F ，过点A 作AE CF ⊥，垂足为E ，AE 交OC 于点Q ，则12EQ QC =，12AQ QC +的最小值AQ EQ AE =+=，∵30FCO ∠=︒，3OC =，∵tan 303OF OC =⋅︒= ∵1OA =，∵13AF =+∵30FCO ∠=︒，∵60CFO ∠=︒．∵33sin 60AE AF +=⋅︒=12AQ QC +33+类型三、周长问题例1．如图，已知抛物线y ＝ax 2+4x +c 经过A （2，0）、B （0，﹣6）两点，其对称轴与x 轴交于点C ．(1)求该抛物线和直线BC 的解析式；(2)设抛物线与直线BC 相交于点D ，求△ABD 的面积；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAB 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y ＝﹣12x 2+4x ﹣6，y ＝32x ﹣6；(2)152；(3)存在，点Q 的坐标为（4，﹣2）【解析】(1)解：将A （2，0）、B （0，﹣6）代入抛物线解析式得：4806a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：126a c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 故抛物线的解析式为：y ＝﹣12x 2+4x ﹣6，其对称轴为：x ＝4， 故点C 的坐标为（4，0），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，将点B 、点C 的坐标代入可得：406k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故直线BC 的解析式为y ＝32x ﹣6；(2)解：联立直线BC 与抛物线的解析式：21462362y x x y x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：06x y =⎧⎨=-⎩或532x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，故点D 的坐标为（5，32），则S △ABD ＝S △ACD +S △ABC ＝12AC ×D 纵+12AC ×|B 纵|＝152．(3)解：存在点Q ，使得△QAB 的周长最小；点A 关于抛物线对称轴的对称点为A '，连接A 'B ，则A 'B 与对称轴的交点即是点Q 的位置：A '坐标为（6，0），B （0，﹣6），设直线A 'B 的解析式为：y ＝mx +n ，代入两点坐标可得：606m n n +=⎧⎨=-⎩，解得：16m n =⎧⎨=-⎩，即直线A 'B 的解析式为y ＝x ﹣6，故点Q 的坐标为（4，﹣2）．即存在点Q 的坐标（4，﹣2）时，使得△QAB 的周长最小．【变式训练1】如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0），经过点A （-1，0），B （3，0），C （0，3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；(2)连接AC 、BC ，N 为抛物线上的点且在第四象限，当S △NBC =S △ABC 时，求N 点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C 作直线l ∵x 轴，动点P （m ，3）在直线l 上，动点Q （m ，0）在x 轴上，连接PM 、PQ 、NQ ，当m 为何值时，PM +PQ +QN 最小，并求出PM +PQ +QN 的最小值． 【答案】(1)y =-x 2+2x +3，顶点M 坐标为（1，4）；(2)点N 坐标为（4，-5）； (3)当m =32时，PM +PQ +QN 有最小值，最小值为5．【解析】(1)解：∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）经过点A （-1，0），B （3，0），C （0，3），∵09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∵y =-x 2+2x +3=-（x -1）2+4，则抛物线的顶点M 坐标为（1，4）； (2)解：∵N 是抛物线上第四象限的点，∵设N （t ，-t 2+2t +3）（t ＞3），又点C （0，3），设直线NC 的解析式为y =k 1x +b 1，则2111233k t b t t b ⎧+=-++⎨=⎩，解得：1123k t b =-+⎧⎨=⎩， ∵直线NC 的解析式为y =（-t +2）x +3， 设直线CN 与x 轴交于点D ，当y =0时，x =32t -，∵D （32t -，0），BD =3-32t -， ∵S △NBC =S △ABC ，∵S △CDB +S △BDN =12AB •OC ，即12BD •|yC -yN |=12[3-（-1）]×3，即12×（3-32t -）[3-（-t 2+2t +3）]=6，整理，得：t 2-3t -4=0，解得：t 1=4，t 2=-1（舍去）， 当t =4时，-t 2+2t +3=-5，∵点N 坐标为（4，-5）；(3)解：将顶点M （1，4）向下平移3个单位得到点M ′（1，1），连接M ′N 交x 轴于点Q ，连接PQ ，则MM ′=3，∵P （m ，3）、Q （m ，0），∵PQ ∵x 轴，且PQ =OC =3， ∵PQ ∵MM ′，且PQ =MM ′，∵四边形MM ′QP 是平行四边形，∵PM =QM ′， 由作图知当M ′、Q 、N 三点共线时，PM +PQ +QN =M ′Q +PQ +QN 取最小值， 设直线M ′N 的解析式为y =k 2x +b 2（k 2≠0），将点M ′（1，1）、N （4，-5）代入，得：2222145k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得：2223k b =-⎧⎨=⎩，∵直线M ′N 的解析式为y =-2x +3，当y =0时，x =32，∵Q （32，0），即m =32，此时过点N 作NE ∵x 轴交MM ′延长线于点E ，在Rt △M ′EN 中，∵M ′E =1-（-5）=6，NE =4-1=3，∵M ′N 223635+= ∵M ′Q +QN 5 ∵当m =32时，PM +PQ +QN 的最小值为5．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点(1,0)A -、(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，直线:2BM y x m =+交y 轴于点M .P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交直线BC 、BM 于点E 、F ．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 落在抛物线的对称轴上时，求∵PBC 的面积；(3)①若点N 为y 轴上一动点，当四边形BENF 为矩形时，求点N 的坐标；②在①的条件下，第四象限内有一点Q ，满足QN QM =，当∵QNB 的周长最小时，求点Q 的坐标．【答案】(1)213222y x x =-++；(2)154；(3)①()0,3N -；②511,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】(1)解：∵抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -、()4,0B 两点，∵抛物线的表达式为：()()1142y x x =-+-， ∵213222y x x =-++；(2)解：∵213222y x x =-++，∵21325228y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∵325,28P ⎛⎫⎪⎝⎭， ∵()4,0B ，()0,2C ， ∵直线BC 的表达式为：122y x =-+， 把32x =代入122y x =-+得：54y =， ∵12551542844PBC S ∆⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭；(3)解：①过点N 作NG EF ⊥于点G ，∵2y x m =+过点()4,0B ，∵024m =⨯+，∵8m =-，∵直线BM 的表达式为：28y x =-， ∵()08M ,-，设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),28F a a -，∵四边形BENF 为矩形，∵BEH NFG ∆≅∆，∵NG BH =，EH FG =，∵4a a =-，∵2a =，∵()2,4F -、()2,1E ，∵1EH FG ==，413GH =-=，∵()0,3N -；②∵QN QM =，∵点Q 在MN 的垂直平分线上，又∵()4,0B ，()0,3N -，∵5BN =，∵55QNB C BQ NQ BQ MQ ∆=++=++， ∵当点B 、Q 、M 共线时，QNB 的周长最小，此时，点Q 即为MN 的垂直平分线与直线BM 的交点， ∵()0,3N -；()08M ,-，∵110,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 把112y =-代入28y x =-得：54x =， ∵511,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭．。
二次函数中线段最值问题
二次函数中线段最值问题二次函数中的线段最值问题（一）例1：已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），顶点为M。
求抛物线的解析式和对称轴上使得PA+PC最小的点P的坐标。
解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c3=a(0)^2+b(0)+c化简后可得：y=x^2-2x-32）对称轴为x=1，因此P的横坐标为1.设P的纵坐标为y，则根据距离公式可得：PA+PC=sqrt[(1+1)^2+y^2]+sqrt[(1-0)^2+(y+3)^2]对其求导并令其为0，可得y=-1/2.因此P的坐标为（1，-1/2），PA+PC的最小值为3.练1：如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x^2+2x+3经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D。
在x轴上找一点E，使得EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值。
解：（1）由已知点可列出四个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c0=a(1)^2+b(1)+cy=aD^2+bD+c化简后可得：y=-x^2+2x+32）对称轴为x=1，因此D的横坐标为1.设E的横坐标为x，则EC+ED=sqrt[x^2+(3-(-x+3))^2]+sqrt[(1-x)^2+D^2]。
对其求导并令其为0，可得x=1/2.因此E的坐标为（1/2，0），EC+ED的最小值为2sqrt(10)。
练2：如图，抛物线经过点A（-1，0）、B（1，0）、C （0，-3），顶点为D。
点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标。
解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(1)^2+b(1)+c3=aD^2+bD+c化简后可得：y=x^2-2x-32）设M的横坐标为x，则△ACM的周长为AC+CM+MA=sqrt[(x+1)^2+9]+2sqrt[(x-D)^2+1]。
重难点 二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题(解析版)--2024年中考数学
重难点二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题目录题型01利用二次函数解决单线段的最值问题题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题题型08利用二次函数解决定值问题题型01利用二次函数解决单线段的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．1(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B 的坐标．(2)如图，点P 为线段BC 上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值．(3)动点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点C 向点B 运动，同时动点M 以每秒1个单位长度的速度在线段BO 上由点B 向点O 运动，在平面内是否存在点N ，使得以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3，(-3，0)(2)94(3)-3,-32或(-2，1)或0,3-32【分析】(1)将A ，C 两点坐标代入抛物线的解析式求得a ，c 的值，进而得出解析式，当y =0时，求出方程的解，进而求得B 点坐标；(2)由B ，C 两点求出BC 的解析式，进而设出点P 和点Q 坐标，表示出PQ 的长，进一步得出结果；(3)要使以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，只需△PMB 是等腰三角形，所以分为PM =BM ，PM =PB 和BP =BM ，结合图象，进一步得出结果．【详解】(1)解：把点A (1，0)，C (0，-3)代入y =ax 2+2x +c 得：c =-3a +2×1+c =0 ，解得：c =-3a =1 ，∴抛物线解析式为y =x 2+2x -3；令y =0，则x 2+2x -3=0，解得：x 1=1,x 2=-3，∴点B 的坐标为(-3，0)；(2)解：设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B (-3，0)，C (0，-3)代入得：b =-3-3k +b =0 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x -3，设点P m ,-m +3 ，则Q m ,m 2+2m -3 ，∴PQ =-m -3 -m 2+2m -3 =-m 2-3m =-m +322+94，∴当m =-32时，PQ 最大，最大值为94；(3)解：存在，根据题意得：PC =2t ,BM =t ，则PB =32-2t ，如图，当BM =PM 时，∵B (-3，0)，C (0，-3)，∴OB =OC =3，∴∠OCB =∠OBC =45°，延长NP 交y 轴于点D ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ∥x 轴，BN ∥PM ，即DN ⊥y 轴，∴△CDP 为等腰直角三角形，∴CD =PD =PC ⋅sin ∠OCB =2t ×22=t ，∵BM =PM ，∴∠MPB =∠OBC =45°，∴∠PMO =∠PDO =∠MOD =90°，∴四边形OMPD 是矩形，∴OM =PD =t ，MP ⊥x 轴，∴BN ⊥x 轴，∵BM +OM =OB ，∴t +t =3，解得t =32，∴P -32,-32，∴N -3,-32；如图，当PM =PB 时，作PD ⊥y 轴于D ，连接PN ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ⊥BM ，NE =PE ，∴BM =2BE ，∴∠OEP =∠DOE =∠ODP =90°，∴四边形PDOE 是矩形，∴OE =PD =t ，∴BE =3-t ，∴t =2(3-t )，解得：t =2，∴P (-2，-1)，∴N (-2，1)；如图，当PB =MB 时，32-2t =t ，解得：t =6-32，∴PN =BP =BM =6-32，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴PE ⊥PM ，∴∠EON =∠OEP =∠EPN =90°，∴四边形OEPN 为矩形，∴PN =OE ，PN ⊥y 轴，∵∠OBC =45°，∴BE =PE =PB ⋅sin ∠OBC =6-32 ×22=32-3，∴OE =OB -BE =3-32-3 =6-32，∴点N 在y 轴上，∴N 0,3-32 ，综上所述，点N 的坐标为-3,-32或(-2，1)或0,3-32 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．2(2021·西藏·统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(-1，0)，点C 的坐标为(0，5)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图(甲)．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；(3)图(乙)中，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+4x +5；(2)P 52，354；(3)存在，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【分析】(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c ，即可得抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y =-x 2+4x +5可得B (5，0)，故OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =PQ2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，PQ =-m -52 2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC的距离最大，此时P 52，354 ；(3)抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组s +22=5+02-s 2+4s +5+t 2=0+52，即可解得M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得M (7，-16)．【详解】解：(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c 得：0=-1-b +c 5=c ，解得b =4c =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y =-x 2+4x +5中，令y =0得-x 2+4x +5=0，解得x =5或x =-1，∴B (5，0)，∴OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBO =45°，∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD =45°=∠PQH ，∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =PQ2，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得0=5k +5，∴k =-1，∴直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，∴PQ =(-m 2+4m +5)-(-m +5)=-m 2+5m =-m -52 2+254，∵a =-1<0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P 52，354；(3)存在，理由如下：抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴s +22=5+02-s 2+4s +5+t2=0+52，解得s =3t =-3 ，∴M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得s=-3t =-21 ，∴M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得s =7t =-11 ，∴M (7，-16)；综上所述，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．3(2021·山东泰安·统考中考真题)二次函数y =ax 2+bx +4(a ≠0)的图象经过点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-3x +4；(2)y =-158x +158；(3)PQ QB有最大值为45，P 点坐标为(-2,6)【分析】(1)将A (-4,0)，B (1,0)代入y =ax 2+bx +4(a ≠0)中，列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可；(2)设BP 与y 轴交于点E ，根据PD ⎳y 轴可知，∠DPB =∠OEB ，当∠DPB =2∠BCO ，即∠OEB =2∠BCO ，由此推断△OEB 为等腰三角形，设OE =a ，则CE =4-a ，所以BE =4-a ，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，解出点E 的坐标，用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可；(3)设PD 与AC 交于点N ，过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标可得AC 所在直线表达式，求得M 点坐标，则BM =5，由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，PQ QB=PN BM =PN5，设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)PQ QB =-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：(1)由题意可得：a ⋅(-4)2+b ⋅(-4)+4=0a +b +4=0解得：a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)设BP 与y 轴交于点E ，∵PD ⎳y 轴，∴∠DPB =∠OEB ，∵∠DPB =2∠BCO ，∴∠OEB =2∠BCO ，∴∠ECB =∠EBC ，∴BE =CE ，设OE =a ，则CE =4-a ，∴BE =4-a ，在Rt △BOE 中，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，∴(4-a )2=a 2+12解得a =158，∴E 0,158，设BE 所在直线表达式为y =kx +e (k ≠0)∴k ⋅0+e =158,k ⋅1+e =0.解得k =-158,e =158. ∴直线BP 的表达式为y =-158x +158．(3)设PD 与AC 交于点N ．过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标分别为(-4,0)，(0,4)可得AC 所在直线表达式为y =x +4∴M 点坐标为(1,5)，BM =5由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，∴PQ QB=PN BM =PN 5设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)∴PQ QB=-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，∴当a 0=-2时，PQQB 有最大值0.8，此时P 点坐标为(-2,6)．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．4(2020·辽宁阜新·中考真题)如图，二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A -3,0 ，B 1,0 ，交y 轴于点C ．点P m ,0 是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3；(2)①94，②存在，Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【分析】(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中求出b ，c 的值即可；(2)①由点P m ,0 得M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ，从而得MN =(-m -3)-m 2+2m -3 ，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN =MC 和MC =2MN 两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中，得0=9-3b +c ,0=1+x +c .解得b =2,c =-3. ∴y =x 2+2x -3．(2)设直线AC 的表达式为y =kx +b ，把A (-3,0),C (0,-3)代入y =kx +b ．得，0=-3k +b ,-3=b . 解这个方程组，得k =-1,b =-3. ∴y =-x -3．∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m=-m +32 2+94．∵a =-1<0，∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动，且-3<-32<0∴当m =-32时，MN 有最大值94． ②∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN =MC ，如图，∵C (0，-3)∴MC =(m -0)2+(-m -3+3)2=2m 2∴-m 2-3m =2m 2整理得，m 4+6m 3+7m 2=0∵m 2≠0，∴m 2+6m +7=0，解得，m 1=-3+2，m 2=-3-2∴当m =-3+2时，CQ =MN =32-2，∴OQ =-3-(32-2)=-32-1∴Q (0，-32-1)；当m =-3-2时，CQ =MN =-32-2，∴OQ =-3-(-32-2)=32-1∴Q (0，32-1)；(ii )若MC =2MN ，如图，则有-m 2-3m =22×2m 2整理得，m 2+4m =0解得，m 1=-4，m 2=0(均不符合实际，舍去)综上所述，点Q 的坐标为Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．5(2020·天津·中考真题)已知点A (1,0)是抛物线y =ax 2+bx +m (a ,b ,m 为常数，a ≠0,m <0)与x 轴的一个交点．(1)当a =1,m =-3时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与x 轴的另一个交点为M (m ,0)，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =22．①当点E 落在抛物线上(不与点C 重合)，且AE =EF 时，求点F 的坐标；②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是22？【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(-1,-4)；(2)①点F 的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)；②当m 的值为-32或-12时，MN 的最小值是22．【分析】(1)根据a =1,m =-3，则抛物线的解析式为y =x 2+bx -3，再将点A (1，0)代入y =x 2+bx -3，求出b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；(2)①首先用含有m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出C (0,m )，点E (m +1,m ).过点A 作AH ⊥l 于点H ,在Rt △EAH 中，利用勾股定理求出AE 的值，再根据AE =EF ，EF =22，可求出m 的值，进一步求出F 的坐标；②首先用含m 的代数式表示出MC 的长，然后分情况讨论MN 什么时候有最值.【详解】解：(1)当a =1，m =-3时，抛物线的解析式为y =x 2+bx -3．∵抛物线经过点A (1,0)，∴0=1+b-3．解得b=2．∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4)．(2)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，即am+b+1=0．∴a=1，b=-m-1．∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m．根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．过点A作AH⊥l于点H．由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt△EAH中，EH=1-(m+1)=-m，HA=0-m=-m，∴AE=EH2+HA2=-2m．∵AE=EF=22，∴-2m=22．解得m=-2．此时，点E(-1,-2)，点C(0,-2)，有EC=1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．∴点F的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)．②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上．由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=-m，CO=-m．∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．当MC≥2，即m≤-1时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为MC-NC=-2m-2=22，解得m=-3 2；当MC<2，-1<m<0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC-MC=2-(-2m)=22，解得m=-1 2．∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．6(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的△QEF 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】(1)y =14x 2+14x -3(2)PD 取得最大值为45，P -2,-52 (3)Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可求解；(2)直线AC 的解析式为y =-34x -3，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，则PD =45PQ ，进而根据二次函数的性质即可求解；(3)根据平移的性质得出y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ，F 0,2 ，勾股定理分别表示出EF 2,QE 2,QF 2，进而分类讨论即可求解．【详解】(1)解：将点B 3,0 ，C 0,-3 ．代入y =14x 2+bx +c 得，14×32+3b +c =0c =-3解得：b =14c =-3 ，∴抛物线解析式为：y =14x 2+14x -3，(2)∵y =14x 2+14x -3与x 轴交于点A ，B ，当y =0时，14x 2+14x -3=0解得：x 1=-4,x 2=3，∴A -4,0 ,∵C 0,-3 ．设直线AC 的解析式为y =kx -3，∴-4k -3=0解得：k =-34∴直线AC 的解析式为y =-34x -3，如图所示，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，∴PQ =-34t -3-14t 2+14t -3 =-14t 2-t ，∵∠AQE =∠PQD ，∠AEQ =∠QDP =90°，∴∠OAC =∠QPD ，∵OA =4,OC =3，∴AC =5，∴cos ∠QPD =PD PQ =cos ∠OAC =AO AC=45，∴PD =45PQ =45-14t 2-t =-15t 2-45t =-15t +2 2+45，∴当t =-2时，PD 取得最大值为45，14t 2+14t -3=14×-2 2+14×-2 -3=-52，∴P -2,-52 ；(3)∵抛物线y =14x 2+14x -3=14x +12 2-4916将该抛物线向右平移5个单位，得到y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令x =0，则y =14×92 2-4916=2，∴F 0,2 ,∴EF 2=32+2+52 2=1174∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设Q 92,m ，∴QE 2=92-3 2+m +52 2，QF 2=92 2+m -2 2，当QF =EF 时，92 2+m -2 2=1174，解得：m =-1或m =5，当QE =QF 时，92-3 2+m +522=92 2+m -2 2，解得：m =74综上所述，Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
二次函数中线段周长最值及定值问题(八大题型)学生版
二次函数中线段周长最值及定值问题(八大题型)通用的解题思路：一、二次函数中的线段最值问题有三种形式:1.平行于坐标轴的线段的最值问题:常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式,运用二次函数性质求解，求最值时应注意:①当线段平行于y轴时,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标;②当线段平行于x轴时,用右端点的横坐标减去左端点的横坐标.在确定最值时,函数自变量的取值范围应确定正确。
2.两条线段和的最值问题:解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”,解决这类问题的方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点与另一个定点,它们与已知直线的交点即为所求的点,其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
【常见模型二】(两点在河的同侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。
3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”，解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。
【常见模型一】(两点在同侧)：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB【常见模型二】(两点在异侧)：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，延长射线AB'，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB'二、二次函数中的定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法:即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。
二次函数线段最值问题二师兄解答
二次函数线段最值问题二师兄解答（实用版）目录1.二次函数线段最值问题的基本概念2.二次函数线段最值问题的求解方法3.二次函数线段最值问题的实际应用正文一、二次函数线段最值问题的基本概念二次函数线段最值问题是指在给定的二次函数中，求解某一区间内函数的最大值或最小值。
这类问题在数学和实际生活中都有广泛的应用，如在物理学、经济学、工程学等领域。
为了更好地理解和解决这类问题，我们需要对二次函数的性质有一定的了解。
二次函数的函数图像通常是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。
对于二次函数 f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），其最值的求解可以通过求导数的方法得到。
然而，在实际问题中，我们通常需要求解线段上的最值，这就需要利用一些特殊的方法。
二、二次函数线段最值问题的求解方法求解二次函数线段最值问题的方法主要有以下两种：1.区间套定理区间套定理是指，如果一个函数在一个区间 [a, b] 的两个端点的函数值异号，那么在这个区间内一定存在一个点 c，使得函数在这个点取得最值。
对于二次函数 f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），我们可以通过求解 f(a) 和f(b) 的符号，确定最值点 c 所在的区间，然后通过求导数或代入法求解最值。
2.函数图像法函数图像法是指通过观察函数图像，直观地判断函数在某一区间内的最值。
对于二次函数 f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），我们可以通过观察抛物线的开口方向、顶点坐标等特征，来判断函数在给定区间内的最值。
三、二次函数线段最值问题的实际应用二次函数线段最值问题在实际生活中的应用非常广泛，下面举一个简单的例子：假设一个物体在重力作用下从高处落下，其运动符合二次函数模型：h(t)=-16t^2+8t+1（其中 h 表示物体的高度，t 表示时间，单位均为国际单位制中的基本单位）。
问题：物体在 0~4 秒内落的最远距离是多少？解：首先，根据函数的性质，可知物体落地时的高度为 1。
然后，求解 h(t) 在 [0, 4] 区间的最大值。
二次函数与线段有关的问题(解析版)
类型一二次函数与线段问题【典例1】已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．【答案】（1）y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为(52，494)；（2）P(3，12)；（3）535+7 2)或535-72)【解析】【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；（2）先求出OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出PD=PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出结论；（3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0），∴06 03666a ba b=-+⎧⎨=++⎩，，解得a＝－1，b＝5，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6．∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x52-)2＋494，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（52，494）．（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，∴C（0，6），∴OC＝6．∵A（6，0），∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°．∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，∴∠PED＝45°，∴∠PDE＝∠PED，∴PD＝PE，∴PD＋PE＝2PE，∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值．设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d，把A（6，0），C（0，6）代入得066k dd=+⎧⎨=⎩，，解得k＝－1，d＝6，∴直线AC的解析式为y＝－x＋6．设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6），∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9．∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12，∴P（3，12）．（3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF．∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC．∵l∥y轴，∴∠MFC＝∠OCA＝45°，∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，∴NF∥x轴．由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6，当x＝52时，y＝72，∴F（52，72），∴点N的纵坐标为72．∵点N在抛物线上，∴－x2＋5x＋6＝72，解得，x1＝535+或x2＝535-，∴点N的坐标为（535+，72）或（535-，72）．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD=PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键．【典例2】如图1-1，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P 是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC 的周长最小，求点P 的坐标．图1-1【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A 与点B 对称，连结BC ，那么在△PBC 中，PB ＋PC 总是大于BC 的．如图1-3，当点P 落在BC 上时，PB ＋PC 最小，因此PA ＋PC 最小，△PAC 的周长也最小．由y ＝x 2－2x －3，可知OB ＝OC ＝3，OD ＝1．所以DB ＝DP ＝2，因此P (1,－2)．图1-2 图1-3【典例3】如图，抛物线21442y x x =-+与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点．一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程．图2-1【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A 关于抛物线的对称轴对称的点A ′，作点B 关于x 轴对称的点B ′，连结A ′B ′与x 轴交于点M ，与抛物线的对称轴交于点N ．在Rt △AA ′B ′中，AA ′＝8，AB ′＝6，所以A ′B ′＝10，即点G 走过的最短路程为10．根据相似比可以计算得到OM ＝83，MH ＝43，NH ＝1．所以M (83, 0)，N (4, 1)．图2-2【典例4】如图3-1，抛物线248293y x x =-++与y 轴交于点A ，顶点为B ．点P 是x 轴上的一个动点，求线段PA 与PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P 的坐标．图3-1【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PA －PB |的最小值与最大值．由抛物线的解析式可以得到A (0, 2)，B (3, 6)．设P (x , 0)．绝对值|PA －PB |的最小值当然是0了，此时PA ＝PB ，点P 在AB 的垂直平分线上（如图3-2）．解方程x 2＋22＝(x －3)2＋62，得416x =．此时P 41(,0)6． 在△PAB 中，根据两边之差小于第三边，那么|PA －PB |总是小于AB 了．如图3-3，当点P 在BA 的延长线上时，|PA －PB |取得最大值，最大值AB ＝5．此时P 3(,0)2-．图3-2 图3-3【典例5】如图，抛物线的顶点为A （h ，﹣1），与y 轴交于点B （0，﹣），点F （2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x ﹣2）2﹣1，把点B坐标代入求出a即可．（2）由题意P（m，m2﹣m﹣），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y ＝a（x﹣2）2﹣1，∵抛物线经过B（0，﹣），∴﹣＝4a﹣1，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1．（2）证明：∵P（m，n），∴n＝（m﹣2）2﹣1＝m2﹣m﹣，∴P（m，m2﹣m﹣），∴d＝m2﹣m﹣﹣（﹣3）＝m2﹣m+，∵F（2，1），∴PF＝＝，∵d2＝m4﹣m3+m2﹣m+，PF2＝m4﹣m3+m2﹣m+，∴d2＝PF2，∴PF＝d．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，∵QF＝QH，∴DQ+DF＝DQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ+QH的最小值为3，∴△DFQ的周长的最小值为2+3，此时Q（4，﹣）【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型。
二次函数线段最值问题
二次函数线段最值问题二次函数线段最值问题是高中数学中经常出现的一个问题。
在实际生活中，许多问题都可以通过二次函数线段最值问题来解决。
本文将从以下几个方面来探讨这个问题：二次函数线段的定义、最值问题的解法、实际应用、注意事项等。
一、二次函数线段的定义二次函数线段是指一条由二次函数所描述的直线。
一般来说，它的函数公式为：y = ax² + bx + c，其中a、b和c均为常数。
其中，a控制二次函数的“开口向上”或“开口向下”，b控制二次函数图像的位置，c为常数项。
当a>0时，函数图像开口向上，当a<0时，函数图像开口向下。
二、最值问题的解法求解二次函数线段最值的问题，需要先找到函数图像的顶点。
顶点是函数图像的最高点或最低点。
根据函数的定义，可以求得顶点的坐标为：x = -b / 2ay = f(x) = -Δ / 4a + c其中Δ = b² - 4ac为判别式。
当a>0时，函数的最小值为y = f(x)，当a<0时，函数的最大值为y = f(x)。
三、实际应用二次函数线段最值问题在许多实际问题中都有广泛应用。
例如，在生产生活中，我们需要计算能够取得最大利润的销售数量；在物理学、化学等领域，也需要求出最高或最低点的数值。
此外，对于空间中的曲面图像，也可以利用二次函数线段最值问题来求出曲面的极值点。
四、注意事项在解题过程中，需要注意以下几点：1. 判别式Δ要大于等于0，否则函数没有最值。
2. 当a = 0时，不是二次函数，也不存在最值问题。
3. 在应用中，需要理解题目中的具体含义，才能正确求解最值问题。
总之，二次函数线段最值问题是高中数学中的重要内容，应当掌握。
通过理解其定义、解法以及实际应用，我们可以更好地理解和应用二次函数线段的相关知识，更好地完成数学学习。
二次函数有关的线段最短问题课件
例题二：求两平行线之间的最短距离
总结词
利用平行线间距离公式求最短距离
详细描述
首先，设两平行线方程分别为$Ax + By + C1 = 0$和$Ax + By + C2 = 0$。然后，根据平行线间距 离公式，两平行线间的距离为$frac{|C1 - C2|}{sqrt{A^2 + B^2}}$。最后，利用这个公式直接求出两 平行线间的最短距离。
二次函数的性 质
总结词
二次函数具有对称性、开口方向和顶点等性质。
详细描述
二次函数的图像关于其对称轴对称，对称轴的方程是$x = -frac{b}{2a}$。此外， 二次函数还具有开口方向和顶点等性质，这些性质可以通过参数$a$、$b$和$c$ 确定。
02
二次函数与线段最短问题 的关联
线段最短问题的数学模型
具体方法包括将线段最短问题转化为 求二次函数的极值问题，或者利用抛 物线的对称性质来找到最短距离。
实际应用中的线段最短问题
在实际生活中，线段最短问题有着广泛的应用，如建筑设计中寻找最短路径、物 流运输中优化路线等。
通过解决这类问题，我们可以找到最优解，提高效率、节约成本，为实际工作和 生活提供便利。
答案
$P(text{0},frac{5}{4})$
解题思路
利用对称性质和三角形两边之和大于 第三边的性质。
THANKS
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03
解决二次函数有关的线段 最短问题的步骤
建立数学模型
确定线段最短的条件
首先需要明确线段最短的条件，即线 段两端点与二次函数图像上的点的距 离之和最小。
建立二次函数模型
确定约束条件
根据问题背景，确定二次函数的约束 条件，如定义域、值域等。
二次函数与线段交点问题
二次函数与线段交点问题二次函数与线段交点问题是数学中常见的一个问题，也是实际生活中经常遇到的一个问题。
在数学中，一般将二次函数表示为y = ax² + bx + c的形式，其中a、b、c分别是二次函数的系数。
而线段可以用两个点来确定，假设直线上有两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)。
为了解决二次函数与线段交点的问题，我们需要确定交点的x、y坐标。
其中，x坐标可以通过解二次方程来确定，y坐标则可以通过将x坐标带入二次函数中得出。
下面分别详细介绍解决这个问题的步骤。
第一步：确定交点的x坐标为了确定交点的x坐标，我们可以将二次函数和直线的方程相等，即ax² + bx + c = y = mx + n。
将这两个方程相等，我们可以得到一个二次方程：ax² + (b-m)x + (c-n) = 0。
这是一个一元二次方程，我们可以通过求根公式或者配方法等方式求解x的值。
第二步：确定交点的y坐标有了交点的x坐标，我们可以将其带入二次函数的方程中，即y = ax² + bx + c，求得交点的y坐标。
第三步：判断交点是否在线段上在确定了交点的坐标后，我们需要判断该点是否在给定线段上。
这可以通过比较交点的x和y坐标是否在两个端点的x和y坐标之间来确定。
如果交点的x坐标在端点的x坐标之间，并且交点的y坐标在端点的y坐标之间，那么该点就在线段上。
需要注意的是，如果二次函数与线段没有交点，或者交点在线段的延长线上而不在线段上，那么交点就不存在。
以上就是解决二次函数与线段交点问题的一般步骤。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况进行调整和优化，比如使用数值解法来求解方程，或者使用向量和点的方法来确定交点的位置等。
总结起来，二次函数与线段交点问题是一个重要但又常见的数学问题。
通过求解方程，我们可以确定交点的坐标，进而判断交点是否在给定线段上。
这个问题在实际应用中有很多应用，比如计算几何、图像处理等。
二次函数线段最值问题解题方法
二次函数线段最值问题解题方法随着数学知识的不断深入，我们逐渐接触到各种各样的问题，其中“二次函数线段最值问题”是其中非常典型的一个。
这个问题的解法众多，但是本文将为大家介绍一个通用的解题方法。
一、题目分析在解题之前，我们必须先理解题目的含义。
对于“二次函数线段最值问题”，我们需要根据所给出的二次函数关系式以及数据，求出某一区间内的极值（最大值或最小值）。
二、寻找顶点寻找顶点是解决该问题的关键步骤之一。
因为当二次函数图像向上开口时，最低点的 $y$ 值就是最小值；反之，最高点的 $y$ 值就是最大值。
而顶点恰好就是这个最高点或最低点。
我们可以使用 $-\frac{b}{2a}$ 的公式求出这个顶点的坐标，其中 $a$、$b$ 分别是二次函数关系式中的系数。
三、确定区间我们确定了顶点之后，我们需要根据题目所给出的区间确定需要求值的范围。
在该区间之内进行数值计算才有意义。
一般来说，题目会给出区间的两个端点；如果没有给出，我们可以通过解关于 $x$ 的不等式得出。
四、计算极值通过前三个步骤，我们就可以开始计算极值了。
如果确定了极大值，只需要将区间内最高点的 $y$ 值找出即可；如果确定了极小值，我们需要找到区间内最低点的 $y$ 值。
在计算时，我们首先需要将顶点的横坐标 $-\frac{b}{2a}$ 代入二次函数关系式中，求出对应的 $y$ 值。
然后，我们将该值与区间的两个端点的 $y$ 值进行比较，找到最大值或最小值，并将其作为整个区间内的极值。
五、实例分析我们通过一道实例题来加深对“二次函数线段最值问题解题方法”的理解。
题目：对于 $y=x^2-2x+3$，在区间 $[1,3]$ 上，求其最小值。
解析：首先，我们可以利用公式 $-\frac{b}{2a}$ 求出顶点坐标 $(-\frac{-2}{2}, -1+4-3)$，即 $(1,0)$。
然后，我们将区间的两个端点 $1$ 和 $3$ 代入二次函数关系式，计算出对应的 $y$ 值，得到 $y=2$ 和 $y=6$。
二次函数线段及交点问题
二次函数线段及交点问题专题八：二次函数之线段及交点问题求线段长度例题1 ：在平面直角坐标系中，抛物线y=?12x2+52x?2与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C。
（1）如图1，连接AC、BC，求△ABC的面积。
（2）如图2：①过点C作CR∥x轴交抛物线于点R，求点R的坐标；②点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P坐标。
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P 作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF= ?4√2a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长。
练习1 . 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x 轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=x﹣3经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD 于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d 与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．x2+bx+c与x轴交于A（﹣练习2 . 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y= 321，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线y=﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE=4EC．①求n的值；②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD 是否全等？请说明理由；（3）直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）．若四边形OM'NH的面积为5．求点H到OM'的距离d的值．3求线段之间关系例题1 ：已知直线y=k x+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，说明线段DE和CO的数量关系。
二次函数线段最值问题二师兄解答
二次函数线段最值问题二师兄解答
【实用版】
目录
1.二次函数线段最值问题的基本概念
2.二次函数线段最值问题的求解方法
3.二次函数线段最值问题的实际应用
正文
一、二次函数线段最值问题的基本概念
二次函数线段最值问题是数学中的一个经典问题，它涉及到二次函数的性质以及线段最值的求解。
在实际生活和学习中，我们经常会遇到这类问题，例如在物理、化学、经济学等领域，它都有广泛的应用。
二次函数是指一个函数的最高次项是二次的函数，它的一般形式是f(x)=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数，a 不等于 0。
线段最值问题是指在线段上寻找某一函数的最大值或最小值。
二、二次函数线段最值问题的求解方法
求解二次函数线段最值问题，通常采用以下两种方法：
1.配方法：将二次函数转化为顶点式，然后根据顶点的横坐标求出最值。
配方法的步骤是：先将二次项和一次项的系数分别除以 2，然后将二次项和一次项的平方项加减到一个完全平方项中，从而将二次函数转化为顶点式。
2.导数法：对二次函数求导，然后令导数等于 0，求出极值点。
根据极值点的横坐标，可以判断出最大值或最小值。
三、二次函数线段最值问题的实际应用
二次函数线段最值问题在实际应用中非常广泛，例如在经济学中的最
优化问题，求解最大利润或最小成本；在物理学中的抛物线运动问题，求解最高点或最低点等。
掌握好二次函数线段最值问题的求解方法，对于解决实际问题具有重要意义。
综上所述，二次函数线段最值问题是一个具有实际意义的数学问题，通过配方法和导数法，我们可以有效地求解这类问题。
二次函数背景下的几何问题——线段最值问题
二次函数背景下的几何问题——线段最值问题线段最值问题是在二次函数背景下的一种几何问题，主要是求解一个线段的最大值或最小值。
这个问题可以通过二次函数的图像和相关的数学理论来解决。
在解决这类问题时，我们可以利用二次函数的性质和相关的数学技巧来找到线段的最值点，从而得出最值。
首先，我们来回顾一下二次函数的一般形式：f(x) = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c都是常数且a不等于0。
根据二次函数的图像特点，我们知道它是一个抛物线，可以是开口向上（a>0）或开口向下（a<0）的。
对于线段最值问题，我们通常要确定线段的端点，然后找出其中的最大值或最小值点。
这可以通过以下步骤来完成：1.确定二次函数的图像形状：根据二次函数的参数a的值，确定抛物线是开口向上还是开口向下。
2.确定线段的端点：线段的端点可以是给定的数值，也可以通过求解二次函数的解来确定。
根据二次函数的性质，它的两个解（也就是x的值）对应着抛物线与x轴的交点，即抛物线的顶点和x轴的两个交点。
3.求解最值点：对于线段的最大值点，我们需要找到抛物线的顶点，并通过计算确定它的y坐标值。
通过二次函数的解析式，我们可以知道抛物线的顶点坐标是(-b/2a, f(-b/2a))。
同样的，对于线段的最小值点，我们也可以通过类似的方法来解决。
4.判断最值点是否在线段上：在找到最值点之后，我们需要判断它是否在给定的线段上。
这可以通过将最值点的x坐标值与线段的端点的x坐标值进行比较来实现。
如果最值点的x坐标值位于线段的端点之间，则最值点就在线段上。
通过以上步骤，我们可以很容易地求解线段的最值问题。
当然，在实际应用中，可能会碰到更复杂的情况，例如线段与其他二次函数曲线的交点等。
但是，通过理解二次函数的性质和运用相关的数学知识，我们可以应对这些情况并解决问题。
总结而言，线段最值问题是在二次函数背景下的一种几何问题，通过确定二次函数的图像形状、线段的端点、求解最值点和判断最值点是否在线段上，我们可以解决线段的最值问题。
2020年中考数学压轴专题：二次函数的中的线段问题(含答案)
2020中考数学 压轴专题 二次函数的中的线段问题（含答案）1. 如图①，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5与x 轴交于点A 、点B ，与y轴交于点C .直线y ＝x ＋2经过点A ，交抛物线于点D ，AD 交y 轴于点E ，连接CD ，且CD ∥x 轴．第1题图(1)求抛物线的解析式；(2)如图②，过点A 的直线交抛物线第四象限于点F ，若tan ∠BAF ＝12，求点F 的坐标；(3)在(2)的条件下，P 为直线AF 上方抛物线上一点，过点P 作PH ⊥AF ，垂足为H ，若HE ＝PE ，求点P 的坐标．解：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5与y 轴交于点C ， 当x ＝0时，y ＝5，即C (0，5)， ∵CD ∥x 轴， ∴D 点的纵坐标为5，∴当y ＝5时，x ＋2＝5，解得x ＝3， ∴D (3，5)， 当y ＝0时，x ＝－2， ∴A (－2，0)，将A (－2，0)，D (3，5)代入y ＝ax 2＋bx ＋5中，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋5＝09a ＋3b ＋5＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－12b ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋5；(2)设F (t ，－12t 2＋32t ＋5)，如解图①，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，则G (t ，0)，第1题解图①由tan ∠BAF ＝FG AG ＝12，得AG ＝2FG ，即t －(－2)＝2×[0－(－12t 2＋32t ＋5)]，化简，得t 2－4t －12＝0， 解得t 1＝－2，t 2＝6， ∵点F 在第四象限， ∴t >0，∴t ＝6，即F 点坐标为(6，－4)； (3)∵A (－2，0)，F (6，－4)， 设直线AF 的解析式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－2k ＋b－4＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝－1， ∴直线AF 的解析式为y ＝－12x －1.∵直线AD 的解析式y ＝x ＋2交y 轴于E 点， ∴当x ＝0时，y ＝2，即E 点坐标为(0，2)； 如解图②，设直线PE 交AF 于点Q ，第1题解图②∵HE ＝PE ， ∴∠EHP ＝∠EPH ， ∵PH ⊥AF 于点H ， ∴∠PHA ＝90°，∴∠EPH ＋∠PQH ＝90°， ∠EHP ＋∠EHQ ＝90°， ∴∠PQH ＝∠EHQ ， ∴EQ ＝EH ，∴EQ ＝EP ，即E 为PQ 的中点， 设P (m ，－12m 2＋32m ＋5)，∵E (0，2)，∴Q (－m ，12m 2－32m －1)，∵点Q 在直线AF 上， ∴12m 2－32m －1＝－12(－m )－1， 整理，得m 2＝4m ， 解得m 1＝0，m 2＝4， 当m 1＝0时，P 1(0，5)， 当m 2＝4时，P 2(4，3)，综上所述，点P 的坐标为(0，5)或(4，3)．2.如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标．第2题图解：(1)∵直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，∴A(－1，0)，C(0，5)，∵二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象过A，C两点，∴405a cc-+=⎧⎨=⎩，解得15ac=-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5；(2)如解图①，第2题解图①∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，∴由二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5得，点B的坐标B(5，0)，设直线BC解析式为y＝kx＋b，∵直线BC过点B(5，0)，C(0，5)，∴505k bb+=⎧⎨=⎩，解得15 kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC解析式为y＝－x＋5，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的坐标为(n，－n＋5)，D点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，则d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|，由题意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－52)2＋254，∴当n＝52时，线段ND长度的最大值是254；（3）∵点M(4，m)在抛物线y＝－x2＋4x＋5上，∴m＝5，∴M(4，5)．∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴顶点坐标为H(2，9)，如解图②，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(－2，9)；作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，－5)，连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，∴H1M1＋HM 的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求的点．第2题解图②设直线H1M1的函数表达式为y＝mx＋n，∵直线H1M1过点H1(－2，9)，M1(4，－5)，∴9254m nm n=-+⎧⎨-=+⎩，解得73133mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y＝－73x＋133，∴当x＝0时，y＝133，即点E坐标为(0，133)，当y＝0时，x＝137，即点F坐标为(137，0)，故所求点F，E的坐标分别为(137，0)，(0，133)．3.已知二次函数的解析式为y＝－x2＋4x，该二次函数交x轴于O、B两点，A为抛物线上一点，且横纵坐标相等(原点除外)，P为二次函数上一动点，过P作x轴垂线，垂足为D(a，0)(a>0)，并与直线OA交于点C.(1)求A、B两点的坐标；(2)当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求△PCE周长的最大值及此时P 点的坐标；(3)当PC＝CO时，求P点坐标．第3题图解：(1)令y＝0，则－x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝4.∴点B坐标为(4，0)，设点A坐标为(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x得，x＝－x2＋4x，解得x1＝3，x2＝0(舍去)，∴点A的坐标为(3，3);（2）如解图①，设点P的坐标为(x，－x2＋4x)，第3题解图①∵点A坐标为(3，3)；∴∠AOB＝45°，∴OD＝CD＝x，∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，∵PE∥x轴，∴△PCE是等腰直角三角形，∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．∵PE与线段OA相交，∴0≤x≤1，由PC＝－x2＋3x＝－(x－32)2＋94可知，抛物线的对称轴为直线x＝32，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，∴PE＝2，CE＝22，∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋22，∴△PCE周长的最大值为4＋22，把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，∴点P的坐标为(1，3)；（3）设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图②，第3题解图②①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC12x，∵P1C1＝OC1，∴－x2＋3x，解得x1＝3x2＝0(舍去)．把x＝3y＝－x2＋4x得，y＝－(3)2＋4(3)＝1＋，∴P1(3，1＋，②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC2，∵P2C2＝OC2，∴x2－3x x，解得x1＝3x2＝0(舍去)，把x＝3y＝－x2＋4x，得y＝－(32＋4(3)＝1－，∴P2(3，1－．综上所述，P点坐标为(31＋)或(3，1－)．4.如图，一抛物线过原点和点A(1，△AOB.(1)求过点A、O、B的抛物线解析式；(2)在(1)中抛物线的对称轴上找到一点M，使得△AOM的周长最小，求△AOM周长的最小值；(3)点F为x轴上一动点，过点F作x轴的垂线，交直线AB于点E，交抛物线于点P，是否存在点F，使线段PE＝233？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)过点A作AC⊥x轴于点C，如解图①，第4题解图①∵A (1，∴AC，∵S △AOB ＝12BO ·AC ＝12BO ×3，∴BO ＝2，∴B (－2，0)．由题意可设抛物线解析式为y ＝ax 2＋bx ，把A 、B两点的坐标代入可得420a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式为y＝3x 2＋3x ；(2)由(1)可求得抛物线的对称轴为直线x ＝－1，设AB 交对称轴于点M ，如解图②，连接OM ，第4题解图②∵OA长为定值，∴△AOM周长的最小值即为OM＋AM的最小值，∵B、O两点关于对称轴对称，∴MO＝MB.∴A，M，B三点共线时，OM＋AM最小．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，把A、B两点的坐标代入可得3 20 k bk b⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得33233kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y 3x23，当x＝－1时，y3∴点M 的坐标为(－1，33)． 由勾股定理可求得AB ＝22[1(2)](3)23--+=，AO ＝221(3)2+=，∴△AOM 周长的最小值为AM ＋MO ＋AO ＝AB ＋AO ＝23＋2；(3)存在．点F 的坐标为(0，0)或(－1，0)或(1172-+，0)或(1172--，0)． 【解法提示】假设存在满足条件的点F ，设其坐标为(x ，0)，第4题解图③则E (x ，33x ＋233)，P (x ，33x 2＋233x )，如解图③，①当－2≤x ≤0时，PE ＝PF ＋EF ＝－(33x 2＋33x )＋33x ＋33＝33-x 2－33x ＋233，由PE ＝233得－33x 2－33x ＋33＝233，解得x 1＝0，x 2＝－1， 当x ＝0时，点P 与点F 重合，点F 的坐标为(0，0)；当x ＝－1时，点F 的坐标为(－1，0)；②当0<x ≤1时，此时PE 恒小于233； ③当x ＞1或x <－2时，PE ＝PF －EF ＝33x 2＋233x －(33x ＋233)＝33x 2＋33x －233，由PE ＝233得33x 2＋33x －233＝233， 解得x 1＝1172-+，x 2＝1172--， ∴点F 的坐标为(1172-+，0)或(1172--，0)． 综上所述：点F 的坐标为(0，0)或(－1，0)或(1172-+，0)或(1172--，0)． 5. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1经过点(2，6)，且与直线y ＝12x ＋1相交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (4，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 是直线AB 上方该抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交AB 于点E ，求线段PE 的最大值；(3)在(2)的条件下，设PC 与AB 相交于点Q ，当线段PC 与BE 互相平分时，请求出点Q 的坐标.解：(1)∵BC ⊥x 轴，垂足为点C (4，0)，且点B 在直线y ＝12x ＋1上，将x =4代入得y =12×4+1=3，第5题图∴点B 的坐标为(4，3)，∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1经过点(2，6)和点B (4，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋1＝616a ＋4b ＋1＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝92，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋92x ＋1；(2)设动点P 的坐标为(x ，－x 2＋92x ＋1)（0≤x ≤4），则点E 的坐标为(x ，12x ＋1)，∵PD ⊥x 轴于点D ，且点D 在x 轴上， ∴PE ＝PD －ED＝(－x 2＋92x ＋1)－(12x ＋1)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，则当x ＝2时，线段PE 的值最大，最大值为4； (3)∵线段PC 与BE 互相平分， ∴BQ =EQ ，PQ =CQ ， 又∵∠PQE =∠CQB ， ∴ △PQE ≌△CQB （SAS ） ∴PE ＝BC ，∴－x 2＋4x ＝3，即x 2－4x ＋3＝0， 解得x 1＝1，x 2＝3，∵点Q 分别是PC ，BE 的中点，且点Q 在直线y ＝12x ＋1上，∴①当x ＝1时，点Q 的横坐标为1＋42＝52，∴点Q 的坐标为(52，94)；②当x ＝3时，点Q 的横坐标为3＋42＝72，∴点Q 的坐标为(72，114)．综上所述，点Q 的坐标为(52，94)或(72，114).6. 如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，A 、B 两点的坐分别为(－1，0)、(0，－3)． (1)求抛物线的解析式；(2)点E 为抛物线的顶点，点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，点D 为y 轴上一点，且DC ＝DE ，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，直线DE 上是否存在点P ，使得以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC 相似？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．第6题图解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (－1，0)、B (0，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)令y ＝0，则x 2－2x ＋3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴点C 的坐标为(3，0)， ∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， ∴点E 的坐标为(1，－4)，设点D 的坐标为(0，m )，如解图①，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ，第6题解图①∵DC 2＝OD 2＋OC 2＝m 2＋32，DE 2＝DF 2＋EF 2＝(m ＋4)2＋12， ∵DC ＝DE ，∴m 2＋9＝m 2＋8m ＋16＋1， 解得m ＝－1，∴点D 的坐标为(0，－1)；(3)存在点P 使得以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC 相似的， 其坐标为(－13，0)、(13，－2)、(－3，8)、(3，－10)．【解法提示】∵点C (3，0)，D (0，－1)，E (1，－4)， ∴CO ＝DF ＝3，DO ＝EF ＝1，根据勾股定理得，CD ＝OC 2＋OD 2＝32＋12＝10， 在△COD 和△DFE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝DF ∠COD ＝∠DFE ＝90°DO ＝EF， ∴△COD ≌△DFE (SAS)， ∴∠EDF ＝∠DCO ， 又∵∠DCO ＋∠CDO ＝90°， ∴∠CDE ＝180°－90°＝90°， ∴CD ⊥DE ，①OC 与CD 是对应边时， ∵△DOC ∽△PDC ， ∴OC DC ＝OD DP ，即310＝1DP， 解得DP ＝103， 如解图②，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，∵EF ⊥y 轴，∴△DGP ∽△DFE ， ∴DG DF ＝GP FE ＝DP DE， 即DG 3＝PG1＝10310， 解得DG ＝1，PG ＝13，当点P 在点D 的左边时，OG ＝DG －DO ＝1－1＝0， ∴点P 1(－13，0)，当点P 在点D 的右边时，OG ＝DO ＋DG ＝1＋1＝2， ∴点P 2( 13，－2)；②OC 与DP 是对应边时， ∵△DOC ∽△CDP ， ∴OC DP ＝DO CD ，即3DP ＝110， 解得DP ＝310，如解图③，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ， ∵EF⊥y ，∴△DGP ∽△DFE ，第6题解图②第6题解图③∴DG DF ＝PG EF ＝DP DE， 即DG 3＝PG 1＝31010， 解得DG ＝9，PG ＝3，当点P 在点D 的左边时，OG ＝DG －OD ＝9－1＝8，∴点P 3的坐标是(－3，8)，当点P 在点D 的右边时，OG ＝OD ＋DG ＝1＋9＝10，∴点P 4的坐标是(3，－10)，综上所述，满足条件的点P 共有4个，其坐标分别为(－13，0)、( 13，－2)、(－3，8)、 (3，－10)．7. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－3,0)、B (0，3)、C (1，0)三点．(1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标；(2)若在该抛物线的对称轴l 上存在一点M ，使MB ＋MC 的值最小，求点M 的坐标以及MB ＋MC 的最小值；(3)若点P 、Q 分别是抛物线的对称轴l 上两动点，且纵坐标分别为m ，m ＋2，当四边形CBQP 周长最小时，求出此时点P 、Q 的坐标以及四边形CBQP 周长的最小值．第7题图 备用图解：(1)将A 、B 、C 的坐标代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0c ＝3a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴ 抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，配方，得y ＝－(x ＋1)2＋4，即顶点坐标为(－1，4)；（2）如解图①，连接AB 交对称轴于点M ，连接MC ，由A 、C 关于对称轴对称，得AM ＝MC ，∴ MB ＋MC ＝AM ＋MB ＝AB ，此时，MB +MC 的值最小，由勾股定理，得AB ＝OA 2＋OB 2＝32，即MB ＋MC ＝32，设AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A 、B 两点坐标代入，得 303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋3，当x ＝－1时，y ＝2，即M (－1，2)，此时MB ＋MC 的最小值为32；（3）如解图②，将B 点向下平移两个单位，得D 点，连接AD 交对称轴于点P ，作BQ ∥PD 交对称轴于Q 点，∵PQ ∥BD ，BQ ∥PD ， 第7题解图①第7题解图②∴四边形BDPQ 是平行四边形，∴BQ ＝PD ，PQ ＝BD ＝2，∴BQ ＋PC ＝PD ＋AP ＝AD ，由勾股定理，得AD ＝AO 2＋OD 2＝32＋12＝10，BC ＝OC 2＋OB 2＝12＋32＝10，∴四边形CBQP 周长的最小值为BC ＋BQ ＋PQ ＋PC＝BC ＋PQ ＋(BQ ＋PC )＝BC ＋PQ ＋AD ＝10＋2＋10＝210＋2，设AD 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A 、D 点坐标代入得，301k b b -+=⎧⎨=⎩，解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AD 的解析式为y ＝13x ＋1， 当x ＝－1时，y ＝23，即P (－1，23)， 由|PQ |＝2，且Q 点纵坐标大于P 点纵坐标得Q (－1，83)， 故当四边形CBQP 周长最小时，点P 的坐标为(－1，23)，点Q 的坐标为(－1，83)，四边形CBQP 周长的最小值是210＋2.8. 已知点A (-1,1),B (4,6)在抛物线y =ax 2+bx 上.(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F 的坐标为(0，m )(m>2)，直线AF 交抛物线于另一点G ，过点G 作x 轴的垂线，垂足为H ，设抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连接FH ，AE ，求证：FH ∥AE ;(3)如图②，直线AB 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向匀速运动，速度为个单位长度，同时点Q 从原点O 出发，沿x 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ 与抛物线的一个交点，当运动到t 秒时，QM =2PM ，直接写出t 的值.第8题图（1）解：将A （-1，1）、B （4，6）代入抛物线y=ax 2+bx 得： 11646-=⎧⎨+=⎩a b a b 解得1212⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩a b , ∴抛物线的解析式为y =21x 2-21x ; (2)证明：∵A (-1,1),F (0,m )，∴直线AF 的解析式为y=(m -1)x +m . 联立2(1)1122=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩y m x m y x x 整理得：21x 2-(m -21)x-m =0， ∵A 、G 为直线AF 与抛物线的交点,∴x A +x G =1()212---m =2m -1, ∴x G =2m -1-(-1)=2m ,∴H (2m ,0),又∵F （0，m ），设直线HF 的解析式为：y ＝k 0x+b 0，则00002=+⎧⎨=⎩mk b m b 解得0012⎧=-⎪⎨⎪=⎩k b m∴直线HF 的解析式为：y =-21x+m . 令y ＝21x 2-21x =0， 解得x 1=0，x 2＝1，∴E （1，0），∵A(-1,1),设直线AE 的解析式为y =k 1x +b 1，则111110=-+=⎧⎨+⎩k b k b ，解得111212⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k b ， ∴直线AE 的解析式为：y =-21x +21, ∵k 0=k 1，∴AE ∥HF ;(3)解：当t=156+或t＝156-或t＝132+或t＝132-时，QM ＝2PM . 【解法提示】由题意知：直线AB 的解析式为y =x +2,∴设P (t -2,t ),Q (t ,0)，M (x 0,y 0),则直线PQ 的解析式为：y ＝222-+t t x . 由QM =2PM 可得:|x 0-t |=2|x 0-t +2|,解得：x0=t-43或x0=t-4.(i)当x0=t-43时,y0=23t，∴M(t-43,23t),将点M代入y=12x2-12x中得：1 2(t-43)2-12(t-43)=23t,解得：t1=156,t2=156-，(ii)当x0＝t-4时,y0=2t，∴M(t-4,2t),将点M代入y=12x2-12x中得：1 2(t-4)2-12(t-4)=2t,解得：t3=132+,t4=132-.综上所述,当t=156+或t＝156或t＝132+或t＝132-时，QM＝2PM.9.如图，直线y＝－33x＋3分别与x轴、y轴交于B，C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A，B两点．(1)求A，B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．第9题图解：(1)∵直线y ＝－33x ＋3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ， ∴令x ＝0得y ＝3，令y ＝0得x ＝3，∴点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)．∴tan ∠CBO ＝OC BO ＝33， ∴∠CBO ＝30°，∴∠BCO ＝60°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACO ＝30°，∴AO ＝CO ·tan ∠ACO ＝3×33＝1， ∴点A 的坐标为(－1，0)；(2)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴{a －b ＋3＝09a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－33b ＝233， ∴抛物线的解析式为y ＝－33x 2＋233x ＋3； (3)∵MD ∥y 轴，∴∠MDH ＝60°，∵MH ⊥BC ，∴∠DMH ＝30°，∴HD ＝12MD ，MH ＝32MD ， 设点D 的坐标为(t ，－33t ＋3)，则点M 的坐标为(t ，－33t 2＋233t ＋3)， ∵点M 在BC 直线上方抛物线上，∴MD ＝(－33t 2＋233t ＋3)－(－33t ＋3) ＝－33t 2＋3t ＝－33(t －32)2＋334. ∵0＜t ＜3， ∴当t ＝32时，MD 最大，且MD 的最大值为334， 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－23x 2－43x ＋2与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧)，与y 轴交于点A ，抛物线的顶点为D .(1)填空：点A 的坐标为(____，____)，点B 的坐标为(____，____)，点C 的坐标为(____，____)，点D 的坐标为(____，____)；(2)点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B 、C 重合)．①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，若PE ＝PC ，求点E 的坐标；②在①的条件下，点F 是坐标轴上的点，且点F 到EA 和ED 的距离相等，请直接写出线段EF 的长； ③若点Q 是线段AB 上动点(点Q 不与点A 、B 重合)，点R 是线段AC 上的动点(点R 不与点A 、C 重合)，请直接写出△PQR 周长的最小值．解：(1)0，2，－3，0，1，0，－1，83；【解法提示】∵抛物线y ＝ －23x 2－43x ＋2与x 轴交于B 、C 两点，∴－23x 2－43x ＋2＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∵点B 在点C 的左侧，∴B (－3，0)，C (1，0)，∵抛物线与y 轴交于点A ，∴当x ＝0时，y ＝2，∴A (0，2)，∵－b 2a ＝－－432×（－23）＝－1，∴当x ＝－1时，y ＝－23×(－1)2－43×(－1)＋2＝83，∴顶点D 的坐标为(－1，83)．(2)①设点P 的坐标为(n ，0)(－3＜n ＜1)，∵EP ⊥x 轴，点E 在抛物线上，∴点E 的坐标为(n, －23n 2－43n ＋2)，又∵PE ＝PC ，∴－23n 2－43n ＋2＝1－n ， 解得n 1＝－32，n 2＝1(不符合题意，舍去)， ∴当n ＝－32时，1－n ＝52， ∴E (－32，52)； ②32或52. 【解法提示】如解图①，设直线DE 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，直线EA 与x 轴交于点K ，第10题解图①根据点E 、D 的坐标求得直线ED 的解析式为y ＝13x ＋3，根据点E 、A 的坐标求得直线EA 的解析式为y ＝－13x ＋2， ∴△MEK 是以MK 为底边的等腰三角形，△AEN 是以AN 为底边的等腰三角形，∵到EA 和ED 的距离相等的点F 在顶角的平分线上，根据等腰三角形的性质可知，EF 的长是E 点到坐标轴的距离，∴EF ＝32或52. ③326565. 【解法提示】如解图②，作点O 关于AB 的对称点E ，作点O 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AB 于点Q ，交AC 于点R ，过E 作EM ⊥x 轴于M ，过F 作FN ⊥x 轴于N ，第10题解图②此时△PQR 的周长为PQ ＋QR ＋PR ＝EF ，周长最小，∵A (0，2)，B (－3，0)，C (1，0)，∴AB ＝22＋32＝13，AC ＝12＋22＝5，∵S △AOB ＝12×12OE ·AB ＝12OA ·OB ， ∴OE ＝1213， ∵△OEM ∽△ABO ，∴OM OA ＝EM OB ＝OE AB ， 即OM 2＝EM 3＝121313， ∴OM ＝2413，EM ＝3613， ∴E (－2413，3613)， 同理可求得F (85，45)， ∴△PQR 周长的最小值为EF ＝（85＋2413）2＋（3613－45）2＝326565.11. 已知二次函数y ＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k (k ＞0)．(1)当k ＝12时，求二次函数的顶点坐标； (2)求证：关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0(k ＞0)有两个不相等的实根；(3)如图，该二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点的左侧)，与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且OP ＝1，直线AP 交BC 于点Q .求证：1OA 2＋1AB 2＝1AQ 2.第11题图(1)解：当k ＝12时，y ＝x 2－2x ＋34＝(x －1)2－14， ∴顶点坐标为(1，－14)； (2)证明：∵b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋k )＝4k 2＋4k ＋1－4k 2－4k ＝1＞0，∴原方程一定有两个不相等的实根；(3)证明：由题意得，A (k ，0)，B (k ＋1，0)，C (0，k 2＋k )，∴OA ＝k ，AB ＝1，设P A 的解析式为y 1＝mx ＋n ，代入P (0，－1)，A (k ，0)，解得，m ＝1k ，n ＝－1，于是y 1＝1kx －1， 设BC 的解析式为：y 2＝sx ＋t ，代入B (k ＋1，0)，C (0，k 2＋k )，解得，s ＝－k ，t ＝k 2＋k ，于是y 2＝－kx ＋k 2＋k ，联立,11221⎪⎩⎪⎨⎧++-=-=k k kx y x ky 解得,11222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=k k y k k k x ∴点Q 的坐标为(k ＋k 2k 2＋1，k k 2＋1)． ∴AQ 2＝(k ＋k 2k 2＋1－k )2＋(k k 2＋1)2＝k 2k 2＋1. ∴1AQ 2＝k 2＋1k 2＝1＋1k 2. ∵1OA 2＋1AB 2＝1k 2＋1＝1AQ 2. ∴1OA 2＋1AB 2＝1AQ 2.。
二次函数线段问题
二次函数线段问题
二次函数线段问题是指关于二次函数的线段的问题。
在二次函数中，通过修改参数a、b、c等，可以得到不同的函数形式，如
y=ax^2+bx+c、y=a(x-h)^2+k等。
而线段问题则是指已知一条线段的两个端点坐标，求该线段在二次函数中的截距或另一端点坐标等问题。
因为二次函数的图像是一条抛物线，所以二次函数线段问题的解法需要通过求解抛物线与线段的交点来实现。
具体方法可以通过二次函数的求根公式或者配方法，求出二次函数与直线的交点，然后判断该交点是否在线段内即可。
二次函数线段问题的应用非常广泛，例如在物理学、经济学、生物学等领域，都会涉及到抛物线的运动轨迹或者其他二次函数的变化规律。
因此，掌握二次函数线段问题的解法对于学习这些领域的理论和实际应用都具有一定的帮助。
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二次函数中的线段最值问题
二次函数中的线段问题例1.如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．直线BC解析式y＝x+3；（1）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点P使PB﹣PC的值最大，求出P点的坐标变式1.如图，已知抛物线y＝﹣2x2﹣4x+6与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，6）．在抛物线的对称轴上是否存在点P使PB﹣PC的值最大？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；例2.如图，抛物线y＝﹣x2+x；过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t＝2时，AD＝4．当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？例3.如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+4，的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧），与y轴交于C点（0，4）．A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0），A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求出M点的坐标．变式1.如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3，的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），直线BD解析式为y＝﹣x+3，P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限内时，求线段PM长度的最大值．变式2.如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点．直线BC的解析式为y＝x﹣3，点P为抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作PM⊥直线BC，垂足为M，当PM最大时，请直接写出此时点P的坐标．变式3．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C，对称轴为直线x＝1．如图，若点D为线段BC下方抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，再过点E作EF⊥BC于点F，请求出DE+EF的最大值．变式4.已知顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B左边），直线y＝n与抛物线分别交于点M，N（点M在点N左边）．直线y＝n与线段DB交于点P，求PN的最大值；变式5.已知抛物线y ＝（x ﹣1）2的顶点为（1，0），与y 轴的交点坐标为（0，）．R （1，1）是抛物线对称轴l 上的一点．若P 是抛物线上的一个动点，求证：点P 到R 的距离与点P 到直线y ＝﹣1的距离恒相等；例4.如图,拋物线y=421-2++x x 与坐标轴交于A 、B 、C 三点,对称轴与x 轴交于点P,点E 是x 轴上方抛物线上的动点,过点E 作EN ⊥x 轴于点N.连接AE 交抛物线对称轴于点F,连接BE 并延长交对称轴于点G,试证明PF+PG 的值为定值,并求出该定值.作业1.已知如图，抛物线y=x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与点A 重合），过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；（3）在抛物线对称轴上是否存在点M 使|MA ﹣MC |最大？若存在请求出点M 的坐标，若不存在请说明理由．2.如图，二次函数y ＝﹣x 2+x +2的图象与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （4，0），与y 轴相交于点C ．直线BC 的解析式为y ＝﹣x +2，点P 为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P 作PQ ⊥BC ，垂足为点Q ，连接PC ．求线段PQ 的最大值；3.如图，P （m ，n ）是抛物线142-=x y 上任意一点，l 是过点（0，﹣2）且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH ⊥l ，垂足为H ．（1）填空：当m ＝0时，OP ＝ ，PH ＝ ；当m ＝4时，OP ＝ ，PH ＝ ；（2）对任意m ，n ，猜想OP 与PH 的大小关系，并证明你的猜想．4.已知抛物线y ＝x 2﹣4x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为 D ．点E 为x 轴下方抛物线y ＝x 2﹣4x+3上一动点，抛物线的对称轴DH 交x 轴于点H ，直线AE 交y 轴于点M ，直线BE 交对称轴DH 于点N ，求MO+NH 的值；。
完整版)二次函数的线段最值问题
完整版)二次函数的线段最值问题二次函数的线段最值问题例1：给定三个点A（4,0），B（-4，-4），C（0,2），连接AB,BC,AC，求抛物线的解析式和点P的坐标，其中点P是抛物线对称轴上的一点。
解析：首先，我们可以通过点A和点B的坐标，得到抛物线的对称轴方程为x=0.然后，我们可以通过点C的坐标，得到抛物线的顶点坐标为（0,2）。
因此，抛物线的解析式为y=ax^2+2，其中a为待定系数。
接下来，我们可以利用点A或点B的坐标，带入解析式求解a的值。
得到a=-1/8，因此抛物线的解析式为y=-x^2/8+2.点P在对称轴上，因此其横坐标为0.我们可以通过求解点P到线段BC的垂线，得到点P的纵坐标。
具体来说，我们可以利用线段BC的斜率和垂线的斜率的乘积为-1的性质，求解垂线的斜率。
然后，利用点P和线段BC的一个端点的坐标，带入点斜式方程求解垂线的方程。
最后，求解垂线与线段BC的交点的纵坐标即可。
经过计算，得到点P的坐标为（0,-3/2）。
例2：给定抛物线y=x^2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D。
求抛物线的解析式，点P在运动的过程中线段PD长度的最大值，以及是否存在点M使|MA﹣MC|最大，若存在则求出点M的坐标，若不存在则说明理由。
解析：首先，我们可以通过点C的坐标，得到抛物线的解析式为y=x^2.然后，我们可以通过点A和点B的坐标，得到抛物线的顶点坐标为（2,4）。
因此，抛物线的解析式为y=x^2+4.点P沿抛物线从点C到点A运动，因此其轨迹为抛物线上的一段。
我们可以通过求解点P到线段CD的垂线，得到点P在运动过程中线段PD的长度。
具体来说，我们可以利用线段CD的斜率和垂线的斜率的乘积为-1的性质，求解垂线的斜率。
然后，利用点P和线段CD的一个端点的坐标，带入点斜式方程求解垂线的方程。
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线段问题连环训练
如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标是（-1,0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上，
（1）求抛物线的解析式；
（2）过抛物线上的动点P作PE⊥y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作垂直于x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，请写出点P的坐标；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点M，使的△BCM的周长最小？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）点N是抛物线的一点（点N在直线AC的上方），过点N作NG⊥x轴，垂足为G，交AC于点H，求线段NH的长度的最大值；
（5）点N是抛物线的一点（点N在直线AC的上方），过点N作NG⊥x轴，垂足为G，交AC于点H，当NH=HG时，求点N的坐标；
（6）点N是抛物线的一点（点N在直线AC的上方），过点N作NG⊥x轴，垂足为G，交AC于点H，当线段ON与CH互相平分时，求点N的坐标；
（7）设抛物线的对称轴为直线l，顶点为K，点C关于直线l的对称点为J，x轴上是否存在一点Q，y轴上是否存在一点R，使四边形KJQR的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。