最短路径问题ppt

·
B
C
l
B′
再设情景 深入探究
情景2：如图，A和B两地在一条河的两岸，现 要在河上造一座桥EF。桥造在何处才能使从A 到B的路径AEFB最短？Fra Baidu bibliotek假定河的两岸是平行 的直线，桥要与河垂直）。
你能仿照情景1 将这个问题抽 象为数学问题 吗？
再设情景 深入探究
把河的两岸看成两条平行线a和b，A、B两地抽象为 两个点，把F点看成是直线b中的动点，EF垂直于直线b， 交直线于点E，当点F在直线b的什么位置时，AE+EF+FB 最小？
惠阳区第一中学 叶剑亭
复习巩固
导入课题
如图A，B是路边两个新建小区，要在路边增设一 个公共汽车站C。使两个小区到车站的路程最短，该 公共汽车站应建在什么地方？
解： 连接AB交直线于点C，该公共汽车站就建在 C点的位置上
两点之间，线段最短
A
.
C B
复习巩固
导入课题
设置情景 合作探究
情景1 牧马人从图中的A 地出发，到一条笔直的河 边l 饮马，然后到B 地．牧马人到河边什么地方饮马可使 他所走的路线全程最短？
A
.
E
a b
A′
F
.B
再设情景 深入探究 拓展1：如图4，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们 要建的桥都是与河岸垂直的。我们如何找到这个最短的距离 呢？
加强训练
体验成功
1、如图正方形ABCD的AB边上有一点 A E，在AC上找一点P使EP+BP的距离 最短
E
D
.
C
B
2、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧， 若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座 与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择， 才能使A村到B村的路程最近？
A
B
二、选做题：
1、如图，某河CC′ 处直角拐弯，河宽均 相同。现要在河流拐弯的两旁分别造桥 C DD′、 EE′桥要与河垂直，问该如何造桥 可使得ADD′EE′EB的路程最短？
D .A
C
C′
B.
归纳总结
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助 什么解决问题的？ 归纳：在解决最短路径问题是，我们通常 利用轴对称、平移等变化把已知问题转化 为容易解决的问题，从而作出最短路径的 选择。
布置作业
课外作业 一、必做题：
1、课本:P93 复习题13 第15题。 2、如图，已知E是边长为4的等边三角 形ABC的AB边上的一点，AD⊥BC于D， 请在AD上找一点N,使得EN+BN有最小 值。 E.
B
A
l
你能将这个问 题抽象为数学 问题吗？
设置情景 合作探究
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小
同侧问题
异侧问题
B A C l
如何将点B“移”到l 的另 一侧B′处，满足直线l 上 的任意一点C都保持CB 与 CB′的长度相等？
设置情景 合作探究
A
.
E
E F F
a b
A ′.
.B
由于河岸宽度是固定 的，因此当AE+FB最 小时， AE+EF+FB最 小，即当点F在直线b 的什么位置时， AE+FB最小？
能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把问 题转化为两点之间，线段最短问题呢？
再设情景 深入探究
作法：将点A沿与河垂直的方向平移EF的距离到A ′ ，那 么为了使AEFB最短，只需A ′ B最短。根据两点之间距离 最短，连接A ′ B，交河岸于点N，在此处造桥EF，所得 路径AEFB就是最短路径。
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求．
·
A
·
B
C
l
如何说明AC +BC最短呢？
B′
设置情景 合作探究
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． A · ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′= AC′+B′C′． C′ 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．