现代设计方法三维图形的几何变换分解
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
否则，得到的投影为正轴测图。
z z
投影方向
O
投影方向
投影平面
投影平面
(b)正轴测
25
(a)三视图
（1）三视图
三视图包括主视图、侧视图和俯视图三种，投影
面分别与Y轴、X轴和Z轴垂直。
z
主视图
侧视图
y x 俯视图 一个直角棱台的三视图
26
a. 主视图
将三维形体向xoz面（又称V面）作垂直投影 （即正平行投影），得到主视图。
针对原点进行三维几何变换 进行反平移
19
例：相对于F( xf, yf, zf )点进行比例变换。
z z z z
(x',y',z')
(x',y',z')
(x',y',z')
F x (a)原图
y
(x',y',z')
y x (c)基本比例变换
y
F y x (d)移回F点原来位置
x (b)移至坐标原点
相对参考点F的比例变换
20
b. 相对任意方向轴的三维变换 针对任意方向轴的变换可用五个步骤来完成： 使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时 进行平移变换； 使方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋 转变换，且旋转变换可能不止一次； 针对该坐标轴完成变换； 用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向； 用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。
21
2.4.3 图形的投影变换
问题：在二维屏幕上如何显示三维物体？ 显示器屏幕、绘图纸等是二维的 显示对象是三维的
解决方法----投影
投影变换 —— 就是把三维立体（或物体）投
射到投影面上得到二维平面图形。
22
平面几何投影可分为两大类 透视投影 ——投影中心到投影面之间的距离是有限的 平行投影 ——投影中心到投影面之间的距离是无限的
z
主视图
侧视图
y
x
俯视图
27
b. 俯视图
三维形体向xoy面（又称H面）作垂直投影得到 俯视图。 投影变换 使H面绕x轴负转90°
z
使H面沿z方向平移一段距离-z0
主视图 侧视图
x
俯视图
28
y
z
主视图
wenku.baidu.com
侧视图
y
x 俯视图
29
c. 侧视图
获得侧视图是将三维形体往yoz面（侧面W）作 垂直投影。 侧视图的投影变换 使W面绕z轴正转90°
34
三、透视投影 透视投影的特点
投影中心与投影平面之间的距离为有限
产生近大远小的视觉效果，由它产生的图形 深度感强，看起来更加真实
35
术语 灭点
——不平行于投影平面的平行线，经过透视投影
之后相交于一点，称为灭点。 主灭点
——坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点
称作主灭点。
36
透视投影
a13 a23 a33 a43
a14
a24 a34 a44
透视投影
总体比例
平移
17
（6）三维复合变换 三维复合变换是指图形作一次以上的变换，变换 结果是每次变换矩阵相乘。
18
a. 相对任一参考点的三维变换
相对于参考点F(xf, yf, zf)作比例、旋转、错切等 变换的过程分为以下三步：
将参考点F移至坐标原点
时为正三测。
32
z
投影平面
O
z
投影平面
O
z
投影平面
O
z
O
z
O
z
O
(a)正等测
(b)正二测
(c)正三测
正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图
33
二、斜投影 斜投影图
——即斜轴测图，是将三维形体向一个单一的
投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影 面所得到的平面图形。 常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。
13
（5）错切变换 a. 沿x方向错切
z z
x
x
y
y
沿x含y错切
沿x含z错切
14
b. 沿y方向错切
z z
x
x
y
y
沿y含x错切
沿y含z错切
15
c. 沿z方向错切
z
z
x
x
y
y
沿z含x错切
沿z含y错切
16
三维变换的一般形式
旋转、比例、 错切、对称
A=
a11 a12 a21 a22 a31 a32 a41 a42
S S
S
(a)透视投影
(b)正投影
(c)斜投影
23
平面几何投影的分类
三视图
主视图
侧视图
俯视图
正投影 正轴测 正二测 平行投影 正等测
斜等测
平面几何投影 斜投影 斜二测 一点透视 透视投影 二点透视 三点透视
正三测
24
一、正投影
正投影又可分为：三视图和正轴测。
当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影 为三视图；
z
使W面沿负x方向平移一段距离x0
主视图 侧视图
x
俯视图
30
y
z
主视图
侧视图
y
x 俯视图
31
（2）正轴测图 正轴测有正等测、正二测和正三测三种。 当投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等时 为正等测； 当投影面与两个坐标轴之间的夹角相等时为
正二测；
当投影面与三个坐标轴之间的夹角都不相等
CAD系统三维图形处理
1
2.三维图形的几何变换
三维齐次坐标 ( x, y, z )点对应的齐次坐标为：
( xh , yh , zh , h)
xh = hx, yh = hy, zh = hz, h 0
z
标准齐次坐标( x, y, z, 1 ) 右手坐标系
x
y
三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴
z
y
X
8
关于yoz平面进行对称变换的矩阵计算形式为：
z
y X
9
关于zox平面进行对称变换的矩阵计算形式为：
z
y X
10
b. 关于坐标轴对称变换 关于x轴进行对称变换的矩阵计算形式为：
z
y X
11
关于y轴进行对称变换的矩阵计算形式为：
z
y X
12
关于z轴进行对称变换的矩阵计算形式为：
z
y X
灭点 灭点 灭点 灭点 灭点
(a)一点透视
一个主灭点，即投影面 与一个坐标轴正交，与 另外两个坐标轴平行。
(b)二点透视 投影面与两个坐标轴相交，
灭点
(c)三点透视
投影面与三个坐标 轴都相交
37
与另一个坐标轴平行。
透视投影
进行的几何变换。
2
（1）平移变换
Y
(x',y',z') (x,y,z)
X
3
（2）比例变换
a. 局部比例变换
b. 整体比例变换
4
（3）旋转变换
a. 绕x轴旋转
z
y X
5
b. 绕y轴旋转
z
y X
6
c. 绕z轴旋转
z
y X
7
（4）对称变换 a. 关于坐标平面对称变换 关于xoy平面进行对称变换的矩阵计算形式为：
z z
投影方向
O
投影方向
投影平面
投影平面
(b)正轴测
25
(a)三视图
（1）三视图
三视图包括主视图、侧视图和俯视图三种，投影
面分别与Y轴、X轴和Z轴垂直。
z
主视图
侧视图
y x 俯视图 一个直角棱台的三视图
26
a. 主视图
将三维形体向xoz面（又称V面）作垂直投影 （即正平行投影），得到主视图。
针对原点进行三维几何变换 进行反平移
19
例：相对于F( xf, yf, zf )点进行比例变换。
z z z z
(x',y',z')
(x',y',z')
(x',y',z')
F x (a)原图
y
(x',y',z')
y x (c)基本比例变换
y
F y x (d)移回F点原来位置
x (b)移至坐标原点
相对参考点F的比例变换
20
b. 相对任意方向轴的三维变换 针对任意方向轴的变换可用五个步骤来完成： 使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时 进行平移变换； 使方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋 转变换，且旋转变换可能不止一次； 针对该坐标轴完成变换； 用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向； 用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。
21
2.4.3 图形的投影变换
问题：在二维屏幕上如何显示三维物体？ 显示器屏幕、绘图纸等是二维的 显示对象是三维的
解决方法----投影
投影变换 —— 就是把三维立体（或物体）投
射到投影面上得到二维平面图形。
22
平面几何投影可分为两大类 透视投影 ——投影中心到投影面之间的距离是有限的 平行投影 ——投影中心到投影面之间的距离是无限的
z
主视图
侧视图
y
x
俯视图
27
b. 俯视图
三维形体向xoy面（又称H面）作垂直投影得到 俯视图。 投影变换 使H面绕x轴负转90°
z
使H面沿z方向平移一段距离-z0
主视图 侧视图
x
俯视图
28
y
z
主视图
wenku.baidu.com
侧视图
y
x 俯视图
29
c. 侧视图
获得侧视图是将三维形体往yoz面（侧面W）作 垂直投影。 侧视图的投影变换 使W面绕z轴正转90°
34
三、透视投影 透视投影的特点
投影中心与投影平面之间的距离为有限
产生近大远小的视觉效果，由它产生的图形 深度感强，看起来更加真实
35
术语 灭点
——不平行于投影平面的平行线，经过透视投影
之后相交于一点，称为灭点。 主灭点
——坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点
称作主灭点。
36
透视投影
a13 a23 a33 a43
a14
a24 a34 a44
透视投影
总体比例
平移
17
（6）三维复合变换 三维复合变换是指图形作一次以上的变换，变换 结果是每次变换矩阵相乘。
18
a. 相对任一参考点的三维变换
相对于参考点F(xf, yf, zf)作比例、旋转、错切等 变换的过程分为以下三步：
将参考点F移至坐标原点
时为正三测。
32
z
投影平面
O
z
投影平面
O
z
投影平面
O
z
O
z
O
z
O
(a)正等测
(b)正二测
(c)正三测
正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图
33
二、斜投影 斜投影图
——即斜轴测图，是将三维形体向一个单一的
投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影 面所得到的平面图形。 常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。
13
（5）错切变换 a. 沿x方向错切
z z
x
x
y
y
沿x含y错切
沿x含z错切
14
b. 沿y方向错切
z z
x
x
y
y
沿y含x错切
沿y含z错切
15
c. 沿z方向错切
z
z
x
x
y
y
沿z含x错切
沿z含y错切
16
三维变换的一般形式
旋转、比例、 错切、对称
A=
a11 a12 a21 a22 a31 a32 a41 a42
S S
S
(a)透视投影
(b)正投影
(c)斜投影
23
平面几何投影的分类
三视图
主视图
侧视图
俯视图
正投影 正轴测 正二测 平行投影 正等测
斜等测
平面几何投影 斜投影 斜二测 一点透视 透视投影 二点透视 三点透视
正三测
24
一、正投影
正投影又可分为：三视图和正轴测。
当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影 为三视图；
z
使W面沿负x方向平移一段距离x0
主视图 侧视图
x
俯视图
30
y
z
主视图
侧视图
y
x 俯视图
31
（2）正轴测图 正轴测有正等测、正二测和正三测三种。 当投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等时 为正等测； 当投影面与两个坐标轴之间的夹角相等时为
正二测；
当投影面与三个坐标轴之间的夹角都不相等
CAD系统三维图形处理
1
2.三维图形的几何变换
三维齐次坐标 ( x, y, z )点对应的齐次坐标为：
( xh , yh , zh , h)
xh = hx, yh = hy, zh = hz, h 0
z
标准齐次坐标( x, y, z, 1 ) 右手坐标系
x
y
三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴
z
y
X
8
关于yoz平面进行对称变换的矩阵计算形式为：
z
y X
9
关于zox平面进行对称变换的矩阵计算形式为：
z
y X
10
b. 关于坐标轴对称变换 关于x轴进行对称变换的矩阵计算形式为：
z
y X
11
关于y轴进行对称变换的矩阵计算形式为：
z
y X
12
关于z轴进行对称变换的矩阵计算形式为：
z
y X
灭点 灭点 灭点 灭点 灭点
(a)一点透视
一个主灭点，即投影面 与一个坐标轴正交，与 另外两个坐标轴平行。
(b)二点透视 投影面与两个坐标轴相交，
灭点
(c)三点透视
投影面与三个坐标 轴都相交
37
与另一个坐标轴平行。
透视投影
进行的几何变换。
2
（1）平移变换
Y
(x',y',z') (x,y,z)
X
3
（2）比例变换
a. 局部比例变换
b. 整体比例变换
4
（3）旋转变换
a. 绕x轴旋转
z
y X
5
b. 绕y轴旋转
z
y X
6
c. 绕z轴旋转
z
y X
7
（4）对称变换 a. 关于坐标平面对称变换 关于xoy平面进行对称变换的矩阵计算形式为：