向量法求空间角(高二数学-立体几何)-精选.

A B C D P

Q 向量法求空间角

1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD

为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，

DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 2

1==．

（1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．

2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －中，O 为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为26

．

（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；

D B A

（2）若E是的中点，求异面直线与所成角的正切值；

（3）问在棱上是否存在一点F，使⊥侧面，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．

3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.

（1）求证:AF//平面BCE;

（2）求证:平面BCE⊥平面CDE;

（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面

角的大小.

4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD

P-中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为正方形,G

,

=

=分别为

,2

AD,

F

E

PD

,的中点．

PC,

PD

CB

（1）求证://

AP平面EFG;

（2）求平面GEF和平面DEF的夹角.

5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==.

（Ⅰ）求证：AB BC ⊥；

（Ⅱ）若直线与平面1A BC 所成的角为6

π,求锐二面角1A A C B --的大小.

H

P

G

F

E D

C

B

6．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA P PD ，2AD PD EA ==，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．

（1）求证：FG P 平面PED ；

（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.

参考答案

1．（1）详见解析；（2）4

π 【解析】

试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、

DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．

表示出图中各点的坐标：设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，

)0,2,0(a P ，则可表示出),0,0(a DC =，)0,,(a a DQ =，)0,,(a a PQ -=，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由0=⋅，0=⋅，故⊥，⊥，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于⊥平面ADPQ ，所以可取平面ADPQ 的一个法向量为)1,0,0(1=n ρ；设平面

BCQ 的一个法向量为),,(2z y x n =ρ，则02=⋅n ρ，02=⋅n ρ，故⎩

⎨⎧=+--=+-,0,0az ay ax az ay 即⎩⎨⎧=+--=+-,

0,0z y x z y 取1==z y ，则0=x ，故)1,1,0(2=n ρ，转化为两个法向量的夹角，设1n ρ与2n ρ的夹角为θ，则22

21||||cos 2121==⋅=n n n n ρρρρθ．即可

求出平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小.

试题解析：（1）由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．

设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ， 故),0,0(a =，)0,,(a a =，)0,,(a a -=，

因为0=⋅PQ DC ，0=⋅PQ DQ ，故PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥， 即PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥， 又DC DQ D =I

所以，⊥PQ 平面DCQ ．

（2）因为⊥DC 平面ADPQ ，所以可取平面ADPQ 的一个法向量 为)1,0,0(1=n ρ，

点B 的坐标为),0,(a a ，则),,0(a a QB -=，),,(a a a QC --=，

设平面BCQ 的一个法向量为),,(2z y x n =ρ，则02=⋅QB n ρ，02=⋅QC n ρ， 故⎩⎨⎧=+--=+-,0,0az ay ax az ay 即⎩⎨⎧=+--=+-,

0,0z y x z y 取1==z y ，则0=x ， 故)1,1,0(2=n ρ．

设1n ρ与2n ρ的夹角为θ，则22

21||||cos 2121==⋅=n n n n ρρρρθ．

所以，平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为4π

考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系

2．（1）60︒; （2）5102

; （3）F 是的4等分点，靠近A 点的位置.

【解析】

试题分析：（1）取中点M ，连接，，由正四棱锥的性质知∠为所求二面角P －－O 的平面角，∠为侧棱与底面所成的角∴∠＝26，设＝a ，则＝22

a ，＝23

a ，12a , ∠＝3,∠＝60°; （2）依题

意连结，，则∥ ，故∠为异面直线与所成的角，由正四棱锥的性