钢琴销售的存贮策略

p11 P(Sn1 1 Sn 1) P(Dn 0) 0.368 p12 P(Sn1 2 Sn 1) 0 p13 P(Sn1 3 Sn 1) P(Dn 1) 0.632 p33 P(Sn1 3 Sn 3) P(Dn 0) P(Dn 3) 0.448
钢琴销售的储存策略
小组：齐茹楠 韩旭 赵鑫
一.背景与问题
钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积 压资金 一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求 为1架 存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为 零时，才订购3架供下周销售；否则，不订购。
问题：1、估计在这种策略下失去销售机会的 可能性有多大。 2、每周的平均销售量是多少。
百度文库
马氏链及其基本方程： 按照系统的发展，时间离散化为 n 0,1,2,...， 对每个n，系统的状态用随机变量Xn表示，设 Xn可以取k个离散值 X n 1,2,...,k ，且 记ai (n) P( X n i)，即状态概率 ，从 X n i 到 X n1 j 的概率记 pij P( X n1 j / X n i) ，即转 移矩阵。如果 X n1 的取值只取决于Xn的取值 及转移概率，而与 X n1, X n2... 的取值无关，那 么这种离散状态按照离散时间的随机转移过 程称为马氏链。基本方程为 a(n 1) a(n) P
状态转移规律
Sn Dn , Dn Sn S n1 Dn Sn 3,
状 0.632 p11 p12 p13 0.368 0 态 转 P p21 p22 p23 0.368 0.368 0.264 移 p p p 阵 0.184 0.368 0.448 31 32 33
二.问题分析
顾客的到来相互独立，需求量近似服从波松分布， 其参数有需求平均值为每周1架确定，由此计算需求 概率。
存储策略是周末库存量为零时订购3架 周末的库 存量可能是0,1,2,3，周初的库存量可能是1,2,3。 用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。 动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求 超过库存）的概率不同。 可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机 会的概率和每周的平均销售量。
当平均需求在每周1 (架) 附 近波动时，最终结果有多大 变化。
第n周(n充分大)失去销售机会的概 P P( Dn Sn ) 率 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2
P 0.073 0.089 0.105 0.122 0.139
当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售机会 的概率将增长（或减少）约12% 。
从长期看，失去销售机会的可能性大约 10%。
2. 估计这种策略下每周的平均销售量 第n周平均售量
Rn [ jP( Dn j, Sn i) iP( Dn i, Sn i) ]
i 1 j 1 3 i
需求不超过存量,销售需求
3 i
需求超过存量,销售存量
[ jP( Dn j Sn i) iP( Dn i Sn i)]P( Sn i)
ai ( n)--- 状态概率
W --- 稳态概率分布
五.模型建立
Dn --第n周需求量，均值为1的泊松分布
P( Dn k ) e / k! (k 0,1,2)
Dn 0 1 2 3 >3
1
P
0.368
0.368
0.184
0.061
0.019
Sn~ 第n周初库存量(状态变量 )
Sn {1,2,3}
……
模型建立
状态概率 ai (n) P( Sn i ), i 1,2,3 马氏链的基本方程
0.632 0.368 0 P 0.368 0.368 0.264 0.184 0.368 0.448
N
a(n 1) a(n) P
已知初始状态，可预测第n 周初库存量Sn=i 的概率
三.模型假设
钢琴每周需求量服从波松分布，均值为每 周1架。
存储策略：当周末库存量为零时，订购3架， 周初到货；否则，不订购。 以每周初的库存量作为状态变量，状态转 移具有无后效性。 在稳态情况下计算该存储策略失去销售机 会的概率，和每周的平均销售量。
四.符号说明
Dn --- 第n周需求量 Sn --- 第n周初库存量 Rn --- 第n周平均售量
n n

i 1
n
n
n
P(Sn i) wi
P( D 1)w1 P( D 2)w2 P( D 3)w3
D
P
0
1
2
0.184
3
0.061
>3
0.019
0.368 0.368
w (0.285,0.263 ,0.452)
0.264 0.285 0.080 0.263 0.019 0.452 0.105
正则链： 一个有k个状态的马氏链如果存在正整数N， 使从任意状态i经N次转移都以大于零的概率 到达状态 j (i, j 1,2,...,k ) ，则称为正则链
定理1：若马氏链的转移矩阵为P，则它是正 N 则链的充要条件是，存在正整数N，使P 0 （指 P N 的每一元素大于零）。
定理2：正则链存在唯一的极限状态概 率 w (w1, w2 ,...,wn ) ，使得当 n 时状态概 率 a(n) w， 与初始状态概率 a(0) 无关。 w 又称稳态概率，满足 wP w
正则链
正则链 N , P 0
P 0
2
稳态概率分布 w 满足 wP=w
w (w1 , w2 , w3 ) (0.285,0.263,0.452)
n, 状态概率
a(n) (0.285,0.263,0.452)
六.模型求解
1. 估计在这种策略下失去销售机会的可能性 第n周失去销售机会的概率 3 n 充分大时 P(D S ) P( D i S i)P(S i)
i 1 j 1
0.632 0.285 0.896 0.263 0.977 0.452 0.857
n充分大时 P(Sn i) wi
从长期看，每周的平均销售量为 0.857(架)
思考：为什么这个数值略小于每周平均需求量 1(架)
七.敏感性分析
设Dn服从均值为 P( Dn k ) k e / k!, (k 0,1,2) 的波松分布 e 0 1 e e 1 (1 )e 状态转移阵 P e 2 e / 2 e 1 ( 2 / 2)e