定积分的简单应用--面积ppt
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例1.求如图所示阴影部分图形的面积。
分析:图形中阴影部分的面积由两个部分组成; y
一部分是x轴上方的图形的面
积(记为s1);
1
另一部分是x轴下方图形的面
-∏
积(记为s2).
o
-1
∏x
根据图像的性质: s1 =s2.
s 10sin x d x c o sx|0 (c o s c o s0 ) 2 .
-
8
例3.求曲线x= y 2 和直线y=x-2所围成的图形
的面积。
y
y=x-2
解:阴影部分面积
2
S=S1+S2.
S1由y= x ,y= - x , 1
x=1围成:
s1 s2
o 12
4
x
S2由y= x ,y= x-2 , -1 x=1围成:
-2 x=1
y2
x=
-
9
1
s10[ x( x)]dx,
4
84
ss1s2
4 33
-
6
小结:
求平面图形的面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形; (2)找出范围,确定积分上、下限; (3)确定被积函数; (4)写出相应的定积分表达式; (5)用微积分基本定理计算定积分,求出结果。
思考:
பைடு நூலகம்
求曲线y= x 2 与直线x+y=2围成的图形的面积。
-
7
抽象概括:
4
,3 4
])
围成的平面图形的面积。
-
11
(2)变力沿直线所做的功
例4:如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧
拉长6cm,需做功(A)
A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
略解:设 Fkx则由题可得 。
k 100
所以做功就是求定积分
0.06
100xdx0.18
0
-
13
(五)课后作业
课本P90习题4-3 第1、2、3、4题。
-
14
再见
-
15
4
0)和(2,4)。
设所求图形的面积为S,根据图像可以看 出S等于直线y=2x,x=2以及x轴所围成 平面图形的面积(设为S1)减去抛物线
x y= 2 ,直线x=2以及x轴所围成的图形
的面积(设为S2)。
-
o
2
x
5
∵ s1022xdxx2|0 222024
s20 2x2dx1 3x3|0 21 3(2303)8 3
说明:物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并
且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点,
则变力F(x) 所做的功为:
W=
b
F(x)dx
-
a
12
(四)总结
(1)利用定积分求所围平面图形的面积, 要利用数形结合的方法确定被积函数和积 分上、下限。
(2)当平面图形是由多条曲线围成时,要 合理分区域积分求面积。
所以,所求阴影部分的面积是4- ..
3
思考:
求如下图形中阴影部分面积
5
4
o
2
s2 sinxdx(54sinxdx)422
-
4
例2.求抛物线y=x2 与直线y=2x所围成平面图 形的面积。
解:
x 画出抛物线y= 2 与直线y=2x所围成的平面图形,
y
如图所示。
x 求出曲线y= 2 与直线y=2x的交点为(0,
s2
[ 1
x(x2)]dx,
1
4
s02xdx1( xx2)dx.
9
2
-
10
(三)练习
1.求曲线y=1/x、直线x=1,x=2以及x轴所围成的平 面图形的面积。
2.求由曲线xy=1及直线x=y,y=3所围成的平面图
形的面积。 3.求曲线y=sinx(x∈[
4
,3 4
])和y=cosx(x
∈[
一般地,设由曲线y=f(x),y=g(x)以及直线x=a,y=b所围成
的平面图形(如图1)的面积S,则
b
b
y
s f(x)dx g(x)dx.
ay
a
y y=f(x)
s
y=g(x)
oa
bx
y=f(x)
oa
s bx
y=g(x)
y=f(x)
s o a y=g(x) b x
图1
图2
图3
想一想:上图中(2)、(3)满足上面的公式吗?
§3.1 定积分的简单应用
1
-
(一)复习回顾
定积分的几何意义
(1)当f(x)
≥0时,
b a
f (x)dx
表示的是y=f(x)
与x=a, x=b和x轴所围曲边梯形的面积。
(2)当f(x) <0时,y=f(x)与x=a, y=b和x轴
b
b
所围曲边梯形的面积为
|
f(x)dx| f(x)dx
a
a
-
2
(二)例题分析