剪力图和弯矩图4(例题)
试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程,并作剪力图和弯...
4-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
4-3 试利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。
4-4 试作下列具有中间铰的剪力图和弯矩图。
4-14 一根搁在地基上的梁承受载荷如图所示。
假设地基的反力按直线规律
连续变化。
试求反力在两端A点和B点处的集度q A和q B，并作梁的剪力图和弯矩图。
4-15 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。
4-22 厚度为h＝1.5mm的钢带，卷成直径为D＝3m的圆环，试求钢带横截面上的最大正应力。
已知钢的弹性模量E＝210GPa。
4-25 矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力力偶作用，如图所示。
试求截面m－m和固定端截面n－n上A、B、C、D四点处的正应力。
4-32 简支梁的荷载情况及尺寸如图所示，试求梁的下边缘的总伸长。
4-39 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。
已知F ＝5kN ，a ＝1.5m ，[σ]＝10MPa 。
试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比h /b ，以及梁所需木料的最小直径d 。
4-48 一矩形截面木梁，其截面尺寸及载荷如图，q ＝1.3kN/m 。
已知[σ]＝10MPa ，[τ]＝2MPa 。
试校核梁的正应力和切应力强度。
4-52 图示木梁受一可移动的载荷F ＝40kN 作用。
已知[σ]＝10MPa ，[τ]＝
3MPa 。
木梁的横截面为矩形，其高宽比23=b h 。
试选择梁的截面尺寸。
梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)
6kN
1
2
q 2kN m
3
4
5
B
1 2 3 4 5
2m
A
3m
C
3m
FA 13kN
FB 5kN
例题
4.5
为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的 弯矩为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架 放置在木料的一端，试问另一只锯木架放置何处 才能使木料锯口处的弯矩为零。
q
B
A
C
D
MD 0
MD 0
※
剪力和弯矩的计算规则
梁任意横截面上的剪力，等于作用在该截面左边 （或右边）梁上所有横向外力的代数和。截面左 边向上的外力(右边向下的外力)使截面产生正的 剪力，反之相反。【左上右下为正，反之为负】 梁任意横截面上的弯矩，等于作用在该截面左 边（或右边）所有外力（包括外力偶）对该截面 形心之矩的代数和。截面左边（或右边）向上的 外力使截面产生正弯矩，反之相反。【左顺右逆 为正，反之为负】
2m
FB 2kN 1m
7
kN
3 3
x 1.56
2 2
kNm
2.44
2
例题
4.12
4kN m
6kN
2kN m
4.5
4.5
1m
1m
2m
5.5
kN 1.5
5.5
4
8.5 7
kNm
例题
4.13
80 kN m
A
160 kN
D E
40kN m
B
40 kN
F
C
310 kN 2m
120
30
190
D
FD
MA
(剪力图与弯矩图)
3．建立剪力方程和弯矩方程
在AC和CB两段分别以坐标为x1 和x2的横截面将梁截开， 并在截开的横截面上，假设剪力FS(x1)、FS(x2)和弯矩M(x1)、 M(x2)都是正方向，然后考察截开的右边部分梁的平衡，由平 衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。
y
MO=2FPl
O A l x1 x2
例题5
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶 M＝2FPl 的作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
MO=2FPl
C
FP
B
A l
l
y
MO=2FPl
O A l
C
FP
x B
l
解：1．分段 本 例将 通 过 考察 截 开 截面 的右边部分平衡建立剪力方程 和弯矩方程，因此可以不必确 定左端的约束力。 由于梁在固定端A处 作 用 有约束力、自由端B处作用有 集中力、中点C处作用有集中 力偶，所以，因此，需要分为 AC和CB两段建立剪力和弯矩 方程。 2．建立Oxy坐标系 以梁的左端A为坐标原点， 建立Oxy坐标系。
二、基本概念
1、弯曲变形 (1) 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. (2) 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2、梁
三、 受弯杆件的简化
1. 杆件本身的简化：通常取梁的轴线代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
例3 轴的计算简图如图所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN ，
a = 230mm,b = 100 mm 和c = 1000 mm.求 C 、D 点处横截面 上的剪力和弯矩. F1=F
剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
材料力学
目录
材料力学
平面刚架的内力
材料力学
B
y
ql
ql 2 2
ql 2
＋
FN
ql 2
根据各段的内力方程画内力图
ql2 竖杆AB：
2
FN y ql / 2 FS y ql qy M y qly qy2 / 2
ql
2
ql
－
2
横杆CB：
FN x 0 FS x ql / 2 M x qlx / 2
解：1．确定约束力
FBY
MA＝0， MB＝0
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l
2．写出剪力和弯矩方程
x AC FS x1＝Fb / l 0 x1 a
M x1＝Fbx1 / l 0 x1 a
CB FS x2 ＝ Fa / l a x2 l
M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
Ma/ l
Mb/ l
AC FS x1 ＝M / l 0 x1 a
M x1＝Mx1 / l 0 x1 a
CB FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
3. 依方程画出剪力图和弯矩图。
材料力学
目录
材料力学
剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
例题4-5
M(y)
FS(y) q
y
竖杆AB：A点向上为y
Fx 0 FS y qy ql 0
FS y ql qy 0 y l
Fy 0 FN y ql / 2 0
FN y ql / 2 0 y l
ql
ql 2 2
M y 0 M y qy y / 2 qly 0
剪力图和弯矩图
悬臂梁的剪力图和弯矩图如下：内力规律图如下1当剪力图与x轴平行时，弯矩图在空载区是倾斜的。
当剪力图为正时，弯矩图向下倾斜。
当剪切图为负时，弯矩图向上倾斜。
均布荷载的规律是：荷载向下，剪力向下，凹弯矩向上。
三。
当施加集中力时，剪切图突然变化，突变的绝对值等于集中力的大小，弯矩图旋转。
4集中联轴器动作时，转矩图发生突变，突变的绝对值等于集中联轴器的耦合转矩。
剪切图像没有更改。
5在零剪力作用下，存在一个弯矩极值弯矩图汇总规则如下：1在梁的某一截面上，如果没有分布荷载，即Q（x）=0，则D？看。
M（x）/DX？2=q（x）=0，其中m（x）是x的函数，弯矩图是对角线。
2在梁的某一截面上，如果施加分布荷载，即Q（x）=常数，则d≥d.2m（x）/DX？2=q（x）=常数可以得出m（x）是x的二次函数，力矩图是抛物线。
三。
如果在梁的某个部分fs（x）=DM（x）/DX=0，则该部分的弯矩存在极值（最大值或最小值）。
也就是说，弯矩的极值出现在剪力为零的截面上。
根据上述绘图规则，可准确绘制集中荷载和均布荷载作用下悬臂梁的剪力图和弯矩图。
扩展数据弯矩叠加原理相同的梁AB承受Q和M0荷载，只有Q和M0。
当Q和M0一起工作时，VA=QL/2+M0/L 和=QL/2+M0/L从计算结果可以看出，梁的反力和弯矩是荷载的一阶函数（Q，M0），即反力或弯矩与荷载呈线性关系。
在这种情况下，G和M0共同作用产生的反作用力或弯矩等于G 和M0单独作用产生的反作用力或弯矩的代数和。
这种关系不仅存在于本例中，也存在于其他机械计算中。
也就是说，只要反作用力、弯矩（或其他量）和荷载是线性的，则由多个荷载引起的反作用力和弯矩（或其他量）分别等于每个荷载的反作用力和弯矩（或其他量）。
这种关系叫做叠加原理。
应用叠加原理的前提是构件处于小变形状态，各荷载对构件的影响是独立的。
剪力图和弯矩图
2 括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2 剪力图为一斜直线
FS(0) 0 FS(l) ql
弯矩图为二次抛物线
M (0) 0 M ( l 2 ) 1 ql 2
8 M ( l ) 1 ql 2
绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。
Fs(x)
o
x
o
x
Fs 图的坐标系
M(x) M 图的坐标系
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
例题：图示简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。 试作此梁的剪力图和弯矩图。
FS 称为 剪力
y
FA
m
C
A
xm
FS x
由平衡方程
a
P
m
m C0
MFAx0
A
B
m
可得 M = FAx
x
内力偶 M 称为 弯矩
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
结论
a
P
m
梁在弯曲变形时，
横截面上的内力有
A
B
两个，即，
m x
剪力 FS 弯矩 M
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
取右段梁为研究对象。
y
FA
m FS
-
FS FS
dx
（2）弯矩符号 横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为 正 。
工程力学(剪力与图)
2.弯矩图与荷载的关系 2.弯矩图与荷载的关系 (1)在均布荷载作用的区段， 图为抛物线。 (1)在均布荷载作用的区段，M图为抛物线。 在均布荷载作用的区段
d 2M(x) 图为上凹下凸。 (2)当q(x)朝下时 朝下时， (2)当q(x)朝下时， 2 = q(x) < 0 M图为上凹下凸。 dx 2 d M(x) q(x)朝上时 朝上时， 图为上凸下凹。 当q(x)朝上时， dx2 = q(x) > 0 M图为上凸下凹。
DB段:q<0, 段 剪力图为斜直线； 弯矩图为抛物线。
Q = Q = −P = −3kN
+ C − A
M C= 0 MA = −P ×a = −1.8kN
AD段:q=0, :q=0,剪力图为水平直线；
弯矩图为斜值线。
Q = −RB = −5kN Q(x) = −RB + qx (0 < x ≤ 2a)
AB段 AB段：
Me FQ ( x) = 0<x<l） l （0<x<l） AC段 AC段：
Me M ( x ) = F Ay x = x (0≤x≤a) l
CB段 CB段：
M ( x) = FAY x − Me = Me x − M e (a<x≤l) l
3.绘出剪力图和弯矩图 3.绘出剪力图和弯矩图
1 FAy = FBy = ql 2
2.列剪力方程和弯矩方程 2.列剪力方程和弯矩方程 1 FQ ( x) = FAy − qx = ql − qx 2
1 2 1 1 2 M ( x) = FAy x − 9 x = qlx − qx 2 2 2
3.作剪应力图和弯矩图 3.作剪应力图和弯矩图 最大剪力发生在梁端， 最大剪力发生在梁端，其值为
剪力图弯矩图例题
1.简支梁受力如图a 所示。
试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支座反力由平衡方程∑=0B m 和∑=0A m 分别求得ql R A 83=，ql R B 81= 利用平衡方程∑=0y 对所求反力进行校核。
（2）建立剪力方程和弯矩方程以梁的左端为坐标原点，建立x 坐标，如图a 所示。
因在C 处分布载荷的集度发生变化，故分二段建立剪力方程和弯矩方程。
AC 段：qx ql x Q -=83)(1 )20(l x ≤< 212183)(qx qlx x M -= )20(l x ≤≤ CB 段： ql x Q 81)(2-= )2(l x l <≤ )(81)(2x l ql x M -= )2(l x l ≤≤ 3．求控制截面内力，绘Q 、M 图Q 图：AC 段内，剪力方程)(1x Q 是x 的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值，ql Q A 83=右，ql Q C 81-=左，分别以a 、c 标在x Q -坐标中，连接a 、c 的直线即为该段的剪力图。
CB 段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，例如ql Q B 81-=左，连一水平线即为该段剪力图。
梁AB 的剪力图如图b 所示。
M 图：AC 段内，弯矩方程)(1x M 是x 的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，求出两个端截面的弯矩，0=A M ，2161ql M C =，分别以a 、c 标在x M -坐标中。
由剪力图知在d 点处0=Q ，该处弯矩取得极值。
令剪力方程0)(1=x Q ，解得l x 83=，求得211289)83(ql l M =，以d 点标在x M -坐标中。
据a 、d 、c 三点绘出该段的弯矩图。
CB 段内，弯矩方程)(2x M 是x 的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，以c 、b 标在x M -坐标中，并连成直线。
AB 梁的M 图如图c 所示。
2.梁的受力如图a 示，利用微分关系作梁的Q 、M 图。
4-4剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
M (kN.m)
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
x
)
q(
x
)
Fs(x)
M(x)
M(x)
x
O
x
O
O
x
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
3、梁上最大弯矩 Mmax可能发生在FS(x) = 0 的截面上; 或发生在集中力所在的 截面上（弯矩图有转折）；或集中力偶作 用处；
最大剪力可能发生在集中力所在的截 面上；或分布载荷发生变化的区段上. 4、在集中力作用处剪力图有突变，其 突变值等于集中力的值.弯矩图有转折.
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
二、q(x)、Fs(x)图、 M（x）图三者间的关系
1、梁上有向下的均布荷载，即 q(x) < 0 FS(x)图为一向右下方倾斜的直线. M(x)图为一开口向下的抛物线.
Fs(x)
M(x)
O
x
dFS( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
d2M( dx 2
dFS( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
d2M( dx 2
x)
q(
x)
5、在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶 的值，但剪力图无变化.
剪力图和弯矩图4(例题)-PPT
Me l
x
(0≤x≤a)
CB段：
M (x)
FAY x Me
Me l
x Me
(a<x≤l)
3.绘出剪力图和弯矩图
•
力偶荷载作用点：剪力图无变化；弯矩图有突变（荷载逆时针转向，向上突变，突变量等于荷载的大小）。
•
口诀表述：剪力图 力偶荷载无影响。
弯矩图 力偶荷载有突变。
大家应该也有点累了，稍作休息
各控制点处的FQ值如下：
FQA右=FQC左=15kN
FQC右=FQD=15 kN －10kN=5kN
FQD=5kN
F QB左=－15kN
3. 画M图
MA = 0, MC =15kN×2m=30 kN.m MD = 15kN×4m－
10kN×2m=40kN.m
MD右= 15kN×4m－ 5kN×4m×2m=20 kN.m
AC段：
FQ (x)
FAy
Fb l
（0<x<a）
M (x)
FAy x
Fb l
(0≤x≤a)
CB段：
FQ (x)FAyF NhomakorabeaFb l
F
Fa l
(a<x<l)
M (x)
FAy x
F(x
a)
Fa l
(l
x)
(0≤x≤l)
3.作剪力图和弯矩图
经分析可得出：剪力、弯矩 随荷载变化的规律 无 荷 载 区 段：剪力图水平 线；弯矩图斜直线（剪力为 正斜向下，倾斜量等于此段 剪力图面积）。 集中荷载作用点：剪力图有 突变（突变方向与荷载方向 相同，突变量等于荷载的大 小）；弯矩图有尖点（尖点 方向与荷载方向相同）。
简支梁的剪力图和弯矩图例题
简支梁的剪力图和弯矩图例题
简支梁是一种受拉拔及弯矩影响的梁，它可以用来支撑荷载，改变楼层的结构形式，也可以用来支撑桥梁。
简支梁由梁顶、支点及梁端组成，其中梁顶受到拉拔和弯矩的双重作用，支点只受拉拔作用，梁端只受弯矩作用。
简支梁的剪力图和弯矩图是用来分析梁顶的剪力和弯矩的，它们是构成简支梁的基本工程图象。
简支梁的剪力图是用来分析梁顶的剪力的，它是由梁顶的剪力构成的图象，从而求出梁顶的剪力状态。
一般来说，简支梁剪力图是由梁顶上拉拔力的大小及其方向构成的，它以梁顶为枢纽，把力划分为两部分，一部分是向上的拉力，另一部分是向下的拉力，这样就可以求出梁顶的剪力状态。
简支梁的弯矩图是用来分析梁顶的弯矩的，它是由梁顶的弯矩构成的图象，从而求出梁顶的弯矩状态。
一般来说，简支梁弯矩图也是由梁顶上弯矩的大小及其方向构成的，它以梁顶为枢纽，把弯矩划分为两部分，一部分是向上的弯矩，另一部分是向下的弯矩，这样就可以求出梁顶的弯矩状态。
简支梁的剪力图和弯矩图是用来分析梁顶的剪力和弯矩的，它们是确定梁的设计参数的基础。
根据剪力图和弯矩图，可以确定梁顶的荷载状态，从而确定梁顶的设计参数，使梁能够满足设计要求。
因此，简支梁的剪力图和弯矩图非常重要，必须正确地计算和分析，以确保梁的安全性和结构稳定性。
总之，简支梁的剪力图和弯矩图是用来分析梁顶的剪力和弯矩的，它们是构成简支梁的基本工程图象，是确定梁的设计参数的基础，是确保梁的安全性和结构稳定性的重要工具和手段。
正确的分析简支梁的剪力图和弯矩图，是确保梁的安全性和结构稳定性的关键，也是工程师们必须掌握的重要技能。
剪力图和弯矩图4例题-弯矩图例题
02 在绘制剪力图时，需要将剪力值标在相应的位置 上，并使用箭头表示剪力的方向。
03 剪力图应与弯矩图一起绘制，以便更好地理解斜 梁的受力情况。
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简支梁的弯矩图绘制
根据简支梁的受力分析，可以确定跨 中截面和支座截面的弯矩值。
将确定的弯矩值按照比例绘制在相应 的位置上，连接各点即可得到弯矩图 。
简支梁的剪力图绘制
剪力图是表示剪力随截面位置变 化的图形。
根据简支梁的受力分析，可以确 定跨中截面和支座截面的剪力值。
将确定的剪力值按照比例绘制在 相应的位置上，连接各点即可得
剪力图和弯矩图4例题-弯矩图例 题 弯矩图例题二：悬臂梁 • 弯矩图例题三：连续梁 • 弯矩图例题四：斜梁
01 弯矩图例题一：简支梁
简支梁的受力分析
01
简支梁在均布载荷作用下，其跨 中截面只承受正弯矩，而支座截 面只承受负弯矩。
02
简支梁在集中载荷作用下，其跨 中截面和支座截面均承受弯矩， 但弯矩值不同。
到剪力图。
02 弯矩图例题二：悬臂梁
悬臂梁的受力分析
悬臂梁一端固定，另 一端自由，主要承受 垂直于梁轴线方向的 力。
悬臂梁的受力分析需 要考虑梁的长度、截 面尺寸、材料属性等 因素。
悬臂梁在自由端受到 集中力作用时，会产 生弯曲变形，并产生 弯矩。
悬臂梁的弯矩图绘制
根据受力分析，确定弯矩零点位置，通常在固定 端和自由端。
03
斜梁的剪力和弯矩随梁的长度和倾斜角度而变化。
斜梁的弯矩图绘制
根据斜梁的受力分析，可以确定弯矩的大小和 方向。
在绘制弯矩图时，需要将弯矩值标在相应的位 置上，并使用箭头表示弯矩的方向。
梁的内力图-剪力图和弯矩_OK
2021/9/10
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2. 直梁在简单荷载作用下的内力图特征 直梁在简单荷载作用下的内力图特征见表4-2。
2021/9/10
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3. 梁内力图的规律 （1） 无荷载区：剪力图为零线，弯矩图为水平直线；剪力图为 水平直线，弯矩图为斜直线。 （2） 集中力作用处：剪力图突变，突变的绝对值等于集中力的 大小，突变的方向与集中力方向相同；弯矩图折成尖角，尖角 方向与集中力方向相同。 （3） 集中力偶作用处：剪力图无变化；弯矩图突变，突变的绝 对值等于力偶矩的大小，突变的方向为顺时针力偶向下降，逆 时针力偶向上升。 （4） 均布荷载区：当均布荷载作用方向向下时，剪力图为下倾 斜直线，变化的绝对值等于均布荷载的合力；弯矩图为向下凸 的抛物线。 （5） 剪力与弯矩的关系：当剪力图为正时，弯矩图斜向右下方； 当剪力图为负时，弯矩图斜向右上方；剪力为零的截面，弯矩 有极值；梁后控制截面弯矩等于前控制截面弯矩加上前后截面 间剪力图的“面积”。
通过观察本例 可以发现：因为该外伸梁结构的几何 形状、受到的竖向荷载均左右相同，具有对称性， 所以弯矩图在对称位置的弯矩数值和符号相等，具 有对称性（工程上把这种对称称为正对称），剪力 图在对称位置的剪力数值相等、符号相反，也具有 对称性（工程上把这种对称称为反对称）。土木工 程中对称结构使用非常广泛，一方面对称美符合人 们的审美要求，另一方面结构受力合理，不仅可以 简化计算，而且也可以简化设计计算和提高施工的 效率。
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记住：梁的两端无集中力偶作用，弯矩必为零。这 种通过对特定梁的内力图的讨论，探究内力图的一 般规律，并用该规律简捷绘制梁的内力图的方法， 是工作中分析问题、解决问题的一种常用方法。
静定结构的内力—绘制剪力图和弯矩图(建筑力学)
CB段：
Fs
x2
FBy
a l
F
a＜x2＜l
M
x2
FBy
l
x2
a l
F
l
x2
a x2 l
实作训练
（3）画剪力图和弯矩图
剪力图：FS 为常数，剪力图为平行于横坐标
轴的两段水平直线
弯矩图：
x1 0时，M A 0
x1
a时，MC
ab l
F
x2
a时，MC
ab l
F
x2 l时，MB 0
实作训练
弯矩图如图(c)所示。
例题:2：用列方程法作出图示梁的剪
力与弯矩图。
ql 解：由对称性可知，支座反力 FAy FBy 2
取距左端为x的任一横截面n-n，此横截面
的剪力方程和弯矩方程分别为
l Fs ( x) FAy qx q( 2 x)
(0 x l)
xq M ( x) FAy x qx 2 2 x(l x)
➢ 实作训练：
例题1：试列出图示梁的剪力方程与弯矩方程， 并作出剪力图与弯矩图。
解：（1）建立剪力方程和弯矩方程 以梁的左端为坐标原点，沿横截面n-n 将梁截开，取左段梁为分离体，应用求内力的直 接计算法得
FS x F 0＜x＜l a M x Fx 0 x l b
式（a）与（b）分别为剪力方程与弯矩方程。
x
F
x
l 3
3ql
2
4qlx
l/3 l
l/3 FBy
DB 段 FS x FAy F 4ql
M
x
FAy
x
F
x
l 3
Me
4ql 2
梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)
X2
40 kN m
A
35kN
B
FS x1 20kN
M x1 20 x1
0 x1 1 0 x1 1
1m
15
4m
2.5
25kN
FS x2 25 10 x2
25
2 x2 M x2 25 x2 10 2
20
20
kN
0 x2 4
F=8kN
2、计算1-1
截面的内力 F A
3、计算2-2
FS1
q=12kN/m
M 1 F F F 7kN S1 A M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
FS2 q 1.5 FB 11kN
FB
截面的内力
M2
FS2
M 2 FB 1.5 q 1.5
M ＞0
M＜0
剪力：使脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负； 弯矩：使脱离体产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。
6.2
例 题
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
2 Fl
F
A
l
FCs
C
l
D
B
截面法求解
2 Fl
D
FCs F
C截面
F
B
M C Fl
FDs F
MC C
FDs
MD
D
l
F
B
D截面
2q1 x FA 2 x
x
l 2m a 0 .6 m
2 l a M C FA l a q
2
0
2q1 x 1.4 2 1.4 q 0 2 x 2
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（0<x<l）
Me x (0≤x≤a) l
M ( x ) FAy x
CB段：
M ( x) FAY x Me Me x M e (a<x≤l) l
3.绘出剪力图和弯矩图
• 力偶荷载作用点：剪力图无变化；弯矩图 有突变（荷载逆时针转向，向上突变，突 变量等于荷载的大小）。
• 口诀表述：剪力图 力偶荷载无影响。 弯矩图 力偶荷载有突变。
q=10kN/m
D E
2a=1。2m
a=0.6m
a=0.6m 7kN
根据 QB－ ＝－5kN QC＋ ＝－3kN 、 B QA ＋ ＝7kN 、QA － ＝－3kN 、 QD ＝7kN的对应值便可作出图(b) 所示的剪力图 。可见， 在AD段 Qmax 7kN RB 剪力最大，
根据 MC ＝0、 MA ＝－1.8kNm MB ＝0 、ME ＝1.25kNm、
q＝5kN/m
A
19.75kN
2kN
C
8m
B
1m 2kN
（Q）
+
x=3.95m
-
+
20.25kN 2kNm
（M）
+
39kNm
2.弯矩图与荷载的关系 (1)在均布荷载作用的区段，M图为抛物线。
d 2 M ( x) (2)当q(x)朝下时， 2 q( x) 0 M图为上凹下凸。 dx 2 d M ( x) 当q(x)朝上时， dx2 q( x) 0 M图为上凸下凹。
(3) 在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力向下，则M 图向下转折；反之，则向上转折。 (4) 在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针方向的集中力偶 使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集 中力偶矩的大小。 3. 弯矩图与剪力图的关系 (1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物线。当FQ 图为平行于x轴的直线时，M图为斜直线。 (3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有 极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、 负号的截面，弯矩也具有极值。
(a<x<l) (0≤x≤l)
3.作剪力图和弯矩图
Q图
经分析可得出：剪力、弯矩 随荷载变化的规律 无 荷 载 区 段：剪力图水平 线；弯矩图斜直线（剪力为 正斜向下，倾斜量等于此段 剪力图面积）。 集中荷载作用点：剪力图有 突变（突变方向与荷载方向 相同，突变量等于荷载的大 小）；弯矩图有尖点（尖点 方向与荷载方向相同）。
＋
－
（Q）
－
MD＋ ＝－1.2kNm 、 MD－ ＝2.4kNm 的对应值便可作 5kN 出图(c)所示的弯矩图。由图可 见，梁上点D左侧相邻的横截面 上弯矩最大，
3kN 1.8kNm
－ ＋ 2。4kNm ＋ 1.25kNm 1.2kNm
（M）
M max M D 2.4kN m
例8 试画出图示梁的内力图。
Fb Fa FAy , FBy l l 2.列剪力方程和弯矩方程 AC段：
FQ ( x) FAy Fb l
Fb l
（0<x<a） (0≤x≤a)
M ( x) FAy x
CB段：
Fb Fa F l l Fa M ( x) FAy x F ( x a) (l x) l FQ ( x) FAy F
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
例题2 简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力 由对称关系，可得：
1 FAy FBy ql 2
2.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) FAy qx 1 ql qx 2
解得
RA 1 m 4 P 2qa 10kN 3 a
1 2 P 5a RB 3a m q2a 0 2
（2）画内力图： CA段: q=0， 剪力图为水平直线； 弯矩图为斜值线。
QC QA P 3kN
DB段:q<0, 剪力图为斜直线； 弯矩图为抛物线。
M E 15kN 3m 5kN / m 3m 22.5kN · m 3 m 2
例题6 一外伸梁如图示。试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关 系作此梁的FQ、M图。
解：1.求约束力
FAy 5kN, FBy 13kN
2.画内力图 (1)剪力图。 ACB段： FQ图为一水平直线 FQA右=FQC=FQB左=－5kN BD段：FQ图为右下斜直线。 FQB右＝ FQB左+13=8kN FQD=0 (2) 弯矩图 AC段：FQ<0，故M图为一右上斜直线 MA=0，MC左=－5kN×2m=－10kN.m CB段： Q<0,故M图为一右上斜直线， F BD段： 段内有向下均布荷载，M图为下凸 在C处弯矩有突变。 抛物线， MC右=－5kN×2m+12kN.m MB=－4kN/m×2m×1m=－8kN.m MB=－8KN.m，MD=0
剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方 向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示FQ (x)和M(x)的图线。 这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。 绘图时一般规定正号的剪力 画在x轴的上侧，负号的剪力画 在x轴的下侧； 正弯矩画在x轴下侧，负弯矩 画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受 拉的一侧。
1 2 1 1 2 M ( x) FAy x 9 x qlx qx 2 2 2
3.作剪应力图和弯矩图 最大剪力发生在梁端，其值为
F Q max
1 ql 2
最大弯矩发生在跨中，它的数值为Mmax
1 2 ql 8
例题3 简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力
M C 0
M A P a 1.8kN
QB RB 5kN Qx RB qx 0 x 2a
令： Qx 0
AD段:q=0,剪力图为水平直线；
弯矩图为斜值线。
x R q 0.5m
B
M A P a 1.8kN
QA QD P RA 7kN
例题５ 简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分 关系作此梁的剪力图和弯矩图。 解： 1. 求约束反力
FAy 15kN, FBy 15kN
2. 画FQ图 各控制点处的FQ值如下： FQA右=FQC左=15kN FQC右=FQD=15 kN －10kN=5kN FQD=5kN F QB左=－15kN 3. 画M图 MA = 0, MC =15kN×2m=30 kN.m MD = 15kN×4m－ 10kN×2m=40kN.m MD右= 15kN×4m－ 5kN×4m×2m=20 kN.m MB=0
M D P 2a RA a 2.4kN m
M D P 2a RA a m
M E RB 0.5 q 0.5 2 / 2 1.25kN m
1.2kN m
MB 0
m=3.6kNm P＝3kN
x C
A RA
一、根据内力方程作内力图
剪力方程——表示横截面上剪力FQ随横截面位置x而变化的函数关系； 弯矩方程——表示横截面上弯矩M随横截面位置x而变化的函数关系。 例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此 梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
M ( x) Fx
例7
外伸梁如图所示，试画出该梁的内力图。
m=3.6kNm
P＝3kN
x C
A RA
q=10kN/m
D E
2a=1。2m解得BRBRB P 2qa R A 5kN
由
a=0.6m
a=0.6m
Y 0
解： （1）求梁的支座反力 由 mA 0
P RA RB 2qa 0
二、根据内力图规律做图
１.剪力图与荷载的关系
（１）在均布荷载作用段， FQ图是斜直线，倾斜方向与荷载指向相同 (2)无荷载作用区段，即q(x)=0，FQ图为平行x轴的直线。 (3)在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等 于该集中力的大小。 (4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQ图是连续无变化。
口诀表述：剪力图 没有荷载 水平线，集中荷载有突变。 弯矩图 没有荷载斜直 线, 集中荷载有尖点。
M图
图三
例题4 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力
Me Me FAy , FBy l l 2.列剪应力方程和弯矩方程
AB段：
Me FQ ( x) l AC段：