图论III 几种特殊的图
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第八章 一些特殊的图
(4)
(5)
6
定义8.2 设 G = < V, E >为无向图, E*E, 若E*中任意两 条边均不相邻, 则子集E*称为G中的匹配(或边独 立集), 并把E*中的边所关联的两个结点称为在 E*下是匹配的。 e1
e1 e2 e3 e4 e6
e2
e7 e4
(1)
e6
e5
e7
(2)
e5
e3
在图(1)中，{e1}, {e1, e7 }, {e5}, {e4 , e6 }等都是图中 的匹配。在图(2)中找出匹配。 7 2016/3/10离散数学
第八章 一些特殊的图
内容导读: 二部图 欧拉图 哈密顿图 平面图
难点:各种图的判别定理
2016/3/10离散数学
1
C A D
B
2016/3/10离散数学
2
设无向图 G = < V, E > 有两个V的子集V1,V2, 它们具有满足： V1∪V2= V V1∩V2= 图G中的每一边 e 均具有 e = ( v i , vj ) 其中： vi ∈ V1 , vj∈ V2 则称G是一个二部图，
2016/3/10离散数学
(1)
(2)
3
定义8.1 若一个图G的结点集V能划分为两个子 集V1和V2，使得G的每一条边{vi,vj}满足vi∈V1, vj∈V2 , 则称G是一个二部图， V1和V2称为G的 互补结点子集。此时可将G记成 G = < V1,V2, E > 若V1中任一结点与V2中每一结点均有边相连 接, 则称二部图为完全二部图。若|V1|=n, |V2 |=m 则记完全二部图G为Kn, m。
G1
e2
e1
离散数学课件第十章 几种图的介绍
前言
在图论的历史中，还有一个最著名的问题——四色猜想。这个猜想说 ，在一个平面或球面上的任何地图能够只用四种颜色来着色，使得没 有两个相邻的国家有相同的颜色。每个国家必须由一个单连通域构成 ，而两个国家相邻是指它们有一段公共的边界，而不仅仅只有一个公 共点。四色猜想有一段有趣的历史。每个地图可以导出一个图，其中 国家都是点，当相应的两个国家相邻时这两个点用一条线来连接。所 以四色猜想是图论中的一个问题。它对图的着色理论、平面图理论、 代数拓扑图论等分支的发展起到推动作用。
10.2 哈密尔顿图
定理10.7 设图 G是具有n（≥3）个结点的无向简单图，如果 G中每一 对结点度数之和大于等于n-1，则在 G 中存在一条哈密尔顿路。 定理10.8 若G是具有n（≥3）个结点的无向简单图，对于G中每一对不
相邻的结点 u , v 均有 d(u)d(v)≥n，则G是一个哈密尔顿图。
图10.6
10.2 哈密尔顿图
定义10.3 给定无向图G，图G中包含其所有顶点的简单开路径称为图G 的哈密尔顿路径，图G中包含其所有顶点的简单闭路径称为G的哈密尔顿 回路。具有哈密顿回路的图称为哈密尔顿图。
由定义可知哈密尔顿圈与哈密尔顿路通过图G中的每个结点一次且仅 一次，例如图10.6（b）就是哈密尔顿图（哈密尔顿圈用实线标出）。
10.2 哈密尔顿图
例10.4 图10.8（a）不是哈密尔顿图。
图10.8
图10.8（a）中共有9个结点，如果取结点集S={3个白点}，即 S 3 。而
这时 (GS)4（如图（b））。这说明图10.8（a）不是哈密尔顿图。但要注
意若一个图满足定理10.6的条件也不能保证这个图一定是哈密尔顿图，如图10.8 （c）。
定理10.7和10.8都是充分条件，即满足这些条件的图一定是哈密尔顿图。但不是所 有的哈密尔顿图都满足这些条件。例如图10.9是哈密尔顿图,但它不满足上述定理的 条件。
第十一章 几种特殊的图 离散数学及其应用课件
27
11.4 平面图
定义11.6 如果能将无向图G画在平面上使得除顶点处外无边相 交, 则称G是可平面图, 简称平面图. 画出的无边相交的图称为 G的平面嵌入. 无平面嵌入的图称为非平面图．
) 的平面嵌入，(4)是(3)的平面嵌入.
(4)
28
平面图的性质
K5, K3,3都是非平面图（定理11.13） 平行边与环不影响平面性.
邻的顶点vi,vj, 均有
d(vi)+d(vj) n 则G中存在哈密顿回路.
（）
14
判断是否为哈密顿图
判断是否为(半)哈密顿图至今还是一个难题. (1) 观察出一条哈密顿回路或哈密顿通路. (2) 证明满足充分条件. (3) 证明不满足必要条件.
例4 证明右图(周游世界问题)是哈密顿图 证 abcdefghijklmnopqrsta 是一条哈密顿回路. 注意，此图不满足定理11.3推论的条件.
第十一章 几种特殊的图
主要内容 欧拉图 哈密顿图 二部图与匹配 平面图 着色
1
11.1 欧拉图
历史背景：哥尼斯堡七桥问题
2
欧拉图定义
定义11.1 图(无向图或有向图)中所有边恰好通过一次且经过 所有顶点的通路称为欧拉通路. 图中所有边恰好通过一次且 经过所有顶点的回路称为欧拉回路．具有欧拉回路的图称为 欧拉图. 具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图． 说明： 规定平凡图为欧拉图. 环不影响图的欧拉性.
例
哈密顿图
哈密顿图
半哈密顿图
不是
10
无向哈密顿图的一个必要条件
定理11.2 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路 (1) p(CV1) |V1| (2) p(GV1) p(CV1) |V1| （因为CG）
11.4 平面图
定义11.6 如果能将无向图G画在平面上使得除顶点处外无边相 交, 则称G是可平面图, 简称平面图. 画出的无边相交的图称为 G的平面嵌入. 无平面嵌入的图称为非平面图．
) 的平面嵌入，(4)是(3)的平面嵌入.
(4)
28
平面图的性质
K5, K3,3都是非平面图（定理11.13） 平行边与环不影响平面性.
邻的顶点vi,vj, 均有
d(vi)+d(vj) n 则G中存在哈密顿回路.
（）
14
判断是否为哈密顿图
判断是否为(半)哈密顿图至今还是一个难题. (1) 观察出一条哈密顿回路或哈密顿通路. (2) 证明满足充分条件. (3) 证明不满足必要条件.
例4 证明右图(周游世界问题)是哈密顿图 证 abcdefghijklmnopqrsta 是一条哈密顿回路. 注意，此图不满足定理11.3推论的条件.
第十一章 几种特殊的图
主要内容 欧拉图 哈密顿图 二部图与匹配 平面图 着色
1
11.1 欧拉图
历史背景：哥尼斯堡七桥问题
2
欧拉图定义
定义11.1 图(无向图或有向图)中所有边恰好通过一次且经过 所有顶点的通路称为欧拉通路. 图中所有边恰好通过一次且 经过所有顶点的回路称为欧拉回路．具有欧拉回路的图称为 欧拉图. 具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图． 说明： 规定平凡图为欧拉图. 环不影响图的欧拉性.
例
哈密顿图
哈密顿图
半哈密顿图
不是
10
无向哈密顿图的一个必要条件
定理11.2 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路 (1) p(CV1) |V1| (2) p(GV1) p(CV1) |V1| （因为CG）
图论第3章
每个图都是它的块的并图。一个图的两个不同块的公共点只 能是割点，即块与块之间只能由割点相联接。 图G的块割点图—bc(G)：顶点由图G（非平凡联通）的块和 割点组成，uv是bc(G)中的一条边当且仅当u，v中有一个是G 的割点，另一个是该割点联结的块。
B1 1 B3 2 B2 B1 1 B4 B2 B6
必要性 G无环是显然的。下证G中任意两点都位于同一个 圈上。我们对任意两点u和v的距离d(u,v)用归纳法。
当d(u,v) = 1时，因G是至少三个点的块，故边uv不是割边。 由定理1，边uv位于某一圈中，于是u和v也位于此圈中。
设对满足d(u,v)< k的任意两点u和v结论成立。 对d(u,v) = k ≥ 2的u和v，取一条长为k的（u, v）路P，设w 是v前面的那一点。因此有d(u, w) = k-1，由归纳假设知u与 w位于同一个圈C中。若v也在C中，则已得到证明。
(2) 若G无环且非平凡，则v是G 的割点当且仅当 ω(G-v)＞ω(G)
(3) 若无环图G连通，则割点是指删去该点使G不 连通的点。 思考：树中的割点满足什么性质？
定理2 设 v 是树的顶点，则 v是G 的割点当且仅当 d(v)>1。 定理3 设v是无环连通图G的一个顶点，则v是G的割点当 且仅当V(G-v)可划分为两个非空顶点子集V1与V2，使x∈V1 ，y∈V2，点v都在每一条 (x, y) 路上。
u
定理4 设图G的阶至少为3，则G是块当且仅当G无环并且任意 两点都位于同一个圈上。
证明 充分性 此时G显然连通。若G不是块，则G中存在割点v，由定理3: V(G-v)可划分为两个非空顶点子集V1与V2，使x∈V1，y∈V2， 并且点v在每一条(x, y) 路上。 这表明x与y不可能位于同一个圈上, 这与假设矛盾, 所以G是块。
图论特殊平面图与平面图的对偶图
情形2 若G是2连通的。 考虑G的任意一种外平面嵌入。则G的外部面边界一定是圈。否则，容 易推出G有割点。 设C是G的外平面嵌入的外部面边界。若除C外，图中没有其它的边， 则G=C, 显然G中有不邻接点，度数不超过2；
12
第12页/共34页
若除C外，图中至少有边xy。如下图所示：
x
y
则在C上的两条xy路上的点在G中的两个导出子图H1与H2是外平面图。
有归纳假设，在H1,H2中分别存在异于x ,y的点z与z1,使得，它们的度数 不超过2.
x
z
z1
y
13
第13页/共34页
定理2 设G是一个有n (n≥3)个点，且所有点均在外部面上的极大外平面图， 则G有n-2个内部面。
证明：对G的阶数作数学归纳。 当n=3时，G是三角形，显然只有一个内部面； 设当n=k时，结论成立。 当n=k+1时，首先，注意到G必有一个2度顶点u在G的外部面上。(这可以由 上面引理得到) 考虑G1=G-v。由归纳假设，G1有k-2个内部面。这样G有k-1个内部面。于 是定理2得证。
所以，B对应在G*中的C*仍然是一个圈。由归纳法，结论得到证明。
27
第27页/共34页
充分性： G*中的一个圈，对应于G中
的边的集合B显然是G中的一个边割集。
示意图
若该割集不是极小边割集，则它是G中极小边割集之和。而由必要性知 道：每个极小边割集对应G*的一个圈，于是推出B在G*中对应的边集合是 圈之并。但这与假设矛盾。
结论成立； 情形2，如果G不是树。 因G的每个面必然含有边e不属于E(T),即G*的每个顶点必然和E*中的某边关
联，于是T*必然是G*的生成子图。 下面证明：T*中没有圈。 若T*中有圈。则由例2知：T的余树中含有G的极小边割集。但我们又可以证
12
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若除C外，图中至少有边xy。如下图所示：
x
y
则在C上的两条xy路上的点在G中的两个导出子图H1与H2是外平面图。
有归纳假设，在H1,H2中分别存在异于x ,y的点z与z1,使得，它们的度数 不超过2.
x
z
z1
y
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定理2 设G是一个有n (n≥3)个点，且所有点均在外部面上的极大外平面图， 则G有n-2个内部面。
证明：对G的阶数作数学归纳。 当n=3时，G是三角形，显然只有一个内部面； 设当n=k时，结论成立。 当n=k+1时，首先，注意到G必有一个2度顶点u在G的外部面上。(这可以由 上面引理得到) 考虑G1=G-v。由归纳假设，G1有k-2个内部面。这样G有k-1个内部面。于 是定理2得证。
所以，B对应在G*中的C*仍然是一个圈。由归纳法，结论得到证明。
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充分性： G*中的一个圈，对应于G中
的边的集合B显然是G中的一个边割集。
示意图
若该割集不是极小边割集，则它是G中极小边割集之和。而由必要性知 道：每个极小边割集对应G*的一个圈，于是推出B在G*中对应的边集合是 圈之并。但这与假设矛盾。
结论成立； 情形2，如果G不是树。 因G的每个面必然含有边e不属于E(T),即G*的每个顶点必然和E*中的某边关
联，于是T*必然是G*的生成子图。 下面证明：T*中没有圈。 若T*中有圈。则由例2知：T的余树中含有G的极小边割集。但我们又可以证
离散数学图论图的基本概念
注：由推论可知，不是任何一个非负整数序列均可作为一个图的度数列。
条件：奇度数的结点个数应该是偶数个
（2）序列的可图化：对一个整数序列d=(d1,d2,…dn),若存在以n个顶点的n阶 无向图G，有d(vi)=di ，称该序列是可图化的。
特别的，如果得到的是简单图，称该序列是可简单图化的。
（3）定理 设非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)，则d是可图化的当且仅当
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16
四、子图、生成子图、导出子图
1、定义 设G＝<V，E>，G‘＝<V’，E’>为两个图(同为无向图或有向 图)若V’⊆ V 且 E’⊆ E ，则称G‘是G的子图，G为G‘的母图，记作 G’⊆G， 又若V‘⊂V 或 E’ ⊂ E，则称G‘为G的真子图 若V’＝V（且E’⊆ E），则称G‘为G的生成子图(全部顶点)
d5=（4,4,3,3,2,2）
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10
二、图的同构
定义：设G1＝<Vl，E1>，G2=<V2，E2>为两个无向图(有向图) ，
若存在双射函数 f：V1 → V2
对于 ∀vi，vj V1，(vi，vj) E1 当且仅当(f(vi),f(vj)) E2 并且(vi，vj) 与(f(vi),f(vj))的重数相同，则称G1与G2是同构 的，记作Gl ≅ G2。
一个环提供的度为2（有向图的环提供入度1和出度1）
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8
3）定义：(G) = max{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最大的度 δ(G) = min{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最小的度 简记为、δ
定义： －(D) = max{d－(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的入度 ＋(D) = max{d＋(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的出度
条件：奇度数的结点个数应该是偶数个
（2）序列的可图化：对一个整数序列d=(d1,d2,…dn),若存在以n个顶点的n阶 无向图G，有d(vi)=di ，称该序列是可图化的。
特别的，如果得到的是简单图，称该序列是可简单图化的。
（3）定理 设非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)，则d是可图化的当且仅当
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16
四、子图、生成子图、导出子图
1、定义 设G＝<V，E>，G‘＝<V’，E’>为两个图(同为无向图或有向 图)若V’⊆ V 且 E’⊆ E ，则称G‘是G的子图，G为G‘的母图，记作 G’⊆G， 又若V‘⊂V 或 E’ ⊂ E，则称G‘为G的真子图 若V’＝V（且E’⊆ E），则称G‘为G的生成子图(全部顶点)
d5=（4,4,3,3,2,2）
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10
二、图的同构
定义：设G1＝<Vl，E1>，G2=<V2，E2>为两个无向图(有向图) ，
若存在双射函数 f：V1 → V2
对于 ∀vi，vj V1，(vi，vj) E1 当且仅当(f(vi),f(vj)) E2 并且(vi，vj) 与(f(vi),f(vj))的重数相同，则称G1与G2是同构 的，记作Gl ≅ G2。
一个环提供的度为2（有向图的环提供入度1和出度1）
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8
3）定义：(G) = max{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最大的度 δ(G) = min{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最小的度 简记为、δ
定义： －(D) = max{d－(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的入度 ＋(D) = max{d＋(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的出度
图论（基础篇）
以这10个可允许状态向量作为顶点,将可能互相转移 的状态用线段连接起来构成一个图.
根据此图便可找到渡河方法.
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
－1，所以该图有一哈密尔顿路，故本题有解。
问题：
7位客人入席,A只会讲英语,B会讲英,汉语,C会 讲英,意大利,俄语,D会讲日,汉语,E会讲德,意 大利语,F会讲法,日,俄语,G会讲法,德语.能否 安排圆桌席位使每位客人与其左右邻不用翻译 便可交谈?
解:首先建立无向图模型:
结点为客人;会共同语言的2结点相邻接.则问 题归结为求此图的一条Hamilton回路.
• 对它们进行数学抽象————图。
C
A
B
D 哥尼斯堡七桥示意图
问题1(哥尼斯堡七桥问题): 能否从任一陆地出发通过每座桥恰好一次而回到出发
点？
C
A
B
D
七桥问题模拟图
欧拉指出： 如果每块陆地所连接的桥都是偶数座，则从任一陆
地出发，必能通过每座桥恰好一次而回到出发地.
例1： 一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河西渡过河 到河东.由于船小,一次只能带一物过河，并且狼与羊,羊 与菜不能独处.给出渡河方法.
解 把33盏灯看成树叶，将5插头的接线板看成分 枝点，这样本问题可理解为求一个完全5叉树的分 枝点的个数的问题。 由m叉树定理1知， 有 由此得 ＝8 所以至少需要8个5插头的接线板。
例５：一笔画问题
Euler路径与Euler图
• 经过于(有向或无向)图 G 的每条边一次且仅一次的路径(回 路)称为 Euler 路径(回路). 具有 Euler 回路的连通图称为Euler图.
根据此图便可找到渡河方法.
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
－1，所以该图有一哈密尔顿路，故本题有解。
问题：
7位客人入席,A只会讲英语,B会讲英,汉语,C会 讲英,意大利,俄语,D会讲日,汉语,E会讲德,意 大利语,F会讲法,日,俄语,G会讲法,德语.能否 安排圆桌席位使每位客人与其左右邻不用翻译 便可交谈?
解:首先建立无向图模型:
结点为客人;会共同语言的2结点相邻接.则问 题归结为求此图的一条Hamilton回路.
• 对它们进行数学抽象————图。
C
A
B
D 哥尼斯堡七桥示意图
问题1(哥尼斯堡七桥问题): 能否从任一陆地出发通过每座桥恰好一次而回到出发
点？
C
A
B
D
七桥问题模拟图
欧拉指出： 如果每块陆地所连接的桥都是偶数座，则从任一陆
地出发，必能通过每座桥恰好一次而回到出发地.
例1： 一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河西渡过河 到河东.由于船小,一次只能带一物过河，并且狼与羊,羊 与菜不能独处.给出渡河方法.
解 把33盏灯看成树叶，将5插头的接线板看成分 枝点，这样本问题可理解为求一个完全5叉树的分 枝点的个数的问题。 由m叉树定理1知， 有 由此得 ＝8 所以至少需要8个5插头的接线板。
例５：一笔画问题
Euler路径与Euler图
• 经过于(有向或无向)图 G 的每条边一次且仅一次的路径(回 路)称为 Euler 路径(回路). 具有 Euler 回路的连通图称为Euler图.
图论及其应用—典型图
定理4.3.1：若G是Hamilton图，则对V(G)的每 一个非空真子集S，均有w（G\S）≤|S|(必要条 件)
4.3Hamilton图
定理4.3.2：设G是p(G)≥3的图，如果G中任意 两个不相邻的顶点u和v，均有 dG(u)+dG(v)≥p(G)， 则G是若G是Hamilton图。
推论4.3.3：若G是具有p(≥3)个顶点的简单图， 且每个顶点的度至少是p/2,则G是Hamilton图 。
定理5.2.5：对k≥1,2k-正则图G有2-因子。 注：若H是G的k-正则生成子图，则称H是G的 k-因子。
5.3二分图最大对集算法
匈牙利算法。
k
w(C)定 义 为 w(ei)。 i 1
w(C)包 含 两 部 分 权 和 ，
一 部 分 是 w(C),即 每 条 边 的 和 ； eE (G)
另 外 一 部 分 是 重 复 走 的街 道E E(G),即 w(e)。 eE
因 此 ， 对 于G的 人 一 个 环 游C, w(C) w(C), eE (G )
图论及其应用—典型图
4.1Euler环游 4.2中国邮路问题 4.3Hamilton图 4.4旅行售货员问题 5.1对集 5.2二分图的对集 5.3二分图最大对集算法
4.1Euler环游
定义4.1.1：经过G的每条边的迹称为G的Euler迹，如
果这条迹是闭的，则称这条迹为G的Euler环游。 一般情况下，我们把不是Euler环游的迹称为G的Euler 通路，而把含有Euler环游的图称为Euler图。
推论4.3.9：设图G的度序列为（d1,d2,…,dp） ,d1≤d2≤…≤dp,p≥3。若对任何k，1≤k<(p-1)/2 ，均有dk>k，若p为奇数，更有d(p+1)/2>(p-1)/2, 则G是Hamilton图。
4.3Hamilton图
定理4.3.2：设G是p(G)≥3的图，如果G中任意 两个不相邻的顶点u和v，均有 dG(u)+dG(v)≥p(G)， 则G是若G是Hamilton图。
推论4.3.3：若G是具有p(≥3)个顶点的简单图， 且每个顶点的度至少是p/2,则G是Hamilton图 。
定理5.2.5：对k≥1,2k-正则图G有2-因子。 注：若H是G的k-正则生成子图，则称H是G的 k-因子。
5.3二分图最大对集算法
匈牙利算法。
k
w(C)定 义 为 w(ei)。 i 1
w(C)包 含 两 部 分 权 和 ，
一 部 分 是 w(C),即 每 条 边 的 和 ； eE (G)
另 外 一 部 分 是 重 复 走 的街 道E E(G),即 w(e)。 eE
因 此 ， 对 于G的 人 一 个 环 游C, w(C) w(C), eE (G )
图论及其应用—典型图
4.1Euler环游 4.2中国邮路问题 4.3Hamilton图 4.4旅行售货员问题 5.1对集 5.2二分图的对集 5.3二分图最大对集算法
4.1Euler环游
定义4.1.1：经过G的每条边的迹称为G的Euler迹，如
果这条迹是闭的，则称这条迹为G的Euler环游。 一般情况下，我们把不是Euler环游的迹称为G的Euler 通路，而把含有Euler环游的图称为Euler图。
推论4.3.9：设图G的度序列为（d1,d2,…,dp） ,d1≤d2≤…≤dp,p≥3。若对任何k，1≤k<(p-1)/2 ，均有dk>k，若p为奇数，更有d(p+1)/2>(p-1)/2, 则G是Hamilton图。
图论III 几种特殊的图
第二课 几种特殊的图
2.1 二部图 2.2 欧拉图 2.3 哈密顿图 2.4 平面图
1
2.1 二部图
二部图 完全二部图
2
二部图
定义 设无向图 G=<V,E>, 若能将V 划分成V1 和 V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得G中的每条边的两个端 点都一个属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记为<V1,V2,E>, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G 是简单图, 且V1中每个顶点都与V2中每个顶点相邻, 则称G为完全二部图, 记为Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|. 注意: n 阶零图为二部图.
36
地图着色
地图: 连通无桥平面图的平面嵌入, 每一个面是一个 国家.若两个国家有公共边界,则称它们是相邻的. 地图着色(面着色): 对地图的每个国家涂一种颜色， 使相邻的国家涂不同的颜色. 地图着色问题: 用尽可能少的颜色给地图着色.
地图着色可以转化成平面图的点着色. 当G中无桥时, G*中无环. G的面与G*的顶点对应, 且G的两个面相 邻当且仅当G*对应的两个顶点相邻, 从而G的面着色 等同于G*的点着色.
23
平面图的面与次数(续)
例1 右图有4个面, deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8.
例2 左边2个图是同一个平面 图的平面嵌入. R1在(1)中是 外部面, 在(2)中是内部面; R2 在(1)中是内部面, 在(2)中是 外部面. 其实, 在平面嵌入中 可把任何面作为外部面.
39
面Ri的边界上, 则作环ek*=(vi*,vi*).
E*={ ek*| k=1,2, …,m }.
34
平面图的对偶图的实例
2.1 二部图 2.2 欧拉图 2.3 哈密顿图 2.4 平面图
1
2.1 二部图
二部图 完全二部图
2
二部图
定义 设无向图 G=<V,E>, 若能将V 划分成V1 和 V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得G中的每条边的两个端 点都一个属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记为<V1,V2,E>, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G 是简单图, 且V1中每个顶点都与V2中每个顶点相邻, 则称G为完全二部图, 记为Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|. 注意: n 阶零图为二部图.
36
地图着色
地图: 连通无桥平面图的平面嵌入, 每一个面是一个 国家.若两个国家有公共边界,则称它们是相邻的. 地图着色(面着色): 对地图的每个国家涂一种颜色， 使相邻的国家涂不同的颜色. 地图着色问题: 用尽可能少的颜色给地图着色.
地图着色可以转化成平面图的点着色. 当G中无桥时, G*中无环. G的面与G*的顶点对应, 且G的两个面相 邻当且仅当G*对应的两个顶点相邻, 从而G的面着色 等同于G*的点着色.
23
平面图的面与次数(续)
例1 右图有4个面, deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8.
例2 左边2个图是同一个平面 图的平面嵌入. R1在(1)中是 外部面, 在(2)中是内部面; R2 在(1)中是内部面, 在(2)中是 外部面. 其实, 在平面嵌入中 可把任何面作为外部面.
39
面Ri的边界上, 则作环ek*=(vi*,vi*).
E*={ ek*| k=1,2, …,m }.
34
平面图的对偶图的实例
离散数学及其应用课件：特殊图
特殊图
图6-7 基于用户的协同过滤
特殊图
基于物品的协同过滤算法与基于用户的协同过滤算法类 似,只是将商品和用户互换。通过计算不同用户对不同物品 的评分获得物品间的关系,基于物品间的关系对用户进行相 似物品的推荐。举个例子:若用户A 购买了商品a 和b,那么说 明a 和b 的相关度较高。当用户B 也购买了商品a,就可以推 断用户 B 也有购买商品b 的需求。该算法可描述如图 6-8所示。
特殊图
图6-6-题设对应的二部图
特殊图
基于用户的协同过滤算法是通过用户的历史行为(如商 品购买、收藏、内容评价或分享)数据发现用户对商品或内 容的喜欢程度,并对这些喜好进行度量和打分,然后根据不同 用户对相同商品或内容的偏好程度计算用户之间的关系,在 有相同喜好的用户之间进行商品推荐。比如:若A,B 两个用户 都购买了x,y,z 三本图书,并且给出了5星好评,那么A,B 属于同 一类用户,可以将A 看过的书w 推荐给用户B,也可以将B 买过 的商品β推荐给用户A。该算法可描述如图6-7所示。
特殊图
特殊图
解 表6-1中的关系可以用一个二部图G=<V1,V2,E>表示, 如图6-6所示,其中V1={A1,A2,A3,A4,A5}表示5名应届毕业 生,V2={C1,C2,C3,C4,C5}表示五座西部城市。因为A1、A2、A3、 A4、A5 关联的边数分别为2、2、2、3、3,所以每个顶点至少 关联t=2条边,而C2、C3 关联了4条边,4>2,所以不满足t条件,于 是找不到合适的匹配,使得每个人都能去到自己想去的城市。
特殊图 例6.6-考虑图6-16,判断它们是否是欧拉图或半欧拉图,为
什么?
图6-16-有向图的欧拉图判定
特殊图
08一些特殊的图
3 4
证明:略
K2
K3
K4
K5
定理8-5.3(充分条件)设G是有n个结点的简单图,若对G中 每对结点度数之和大于n-1(n),则G有一条H路(H回路)
2021/10/22
离散数学
17
在图G1中, 满足充分条件Δ(G)=4 δ(G)=2(图的最大度 Δ(G)与最小度δ(G))
任意两个结点度数之和大于5,所以是H图.
G的边将G所在的平面划分成若干个区域，
每个区域称为的一个面。
其中面积无限的区域称为无限面(或外部面)，记R0， 面积有限的区域称为有限面(或内部面)。
包围每个面的所有边所构成的回路称为该面的边界。
边界的长度称为该面的次数，R的次数记为deg(R)。
对于含k(k 2)个连通分支的非连通的平面图，
其无限面R0的边界则由k个回路围成。
2
(n。 p
1)
2021/10/22
பைடு நூலகம்离散数学
26
二、平面图的判定
a
u uf
bf
w
e
e
v vd
cd
bb
ga
c
c
d
w
a d
同胚：如果两个图G1和G2同构，或经过反复插入 或消去2度顶点后同构，则称G1与G2同胚。
初等收缩：图G中相邻顶点u, v间的收缩，即删除 边(u, v),以新的顶点w取代u, v，使w关 联u, v的一切边(除(u, v)外)。
离散数学
9
欧拉图（续）
欧拉图的判定定理：
(3) 有向图D具有欧拉通路当且仅当D是连通图，且 除了两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度。 这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度 大1，另一个顶点的出度比入度大1。
计算机数学基础(上：几种特殊的图)
[2000年1月选择题3] 设图G如右，那么G是 D A) 平面图 B) 完全图 C) 欧拉图 D) 哈密顿图
。
[2000年7月选择题4] 设G是有5个结点的完全图，则G是 D A) 无哈密顿通路 B) 无欧拉回路 C) 平面图 D) 欧拉图
。
6.4 树
一、树的定义 1。连通且无回路的无向图称为树，用T表示。 T中的1度结点称为树叶，大于1度的结点称为分 支点。 孤点称为平凡树，仅由树组成的无向图称为森林。 2。树的性质 ⑴连通且无回路，⑵|E|=|V|-1，⑶增加任意一条 边必出现回路，⑷删除任意一条边必不连通，⑸每 对结点间仅有一条通路。 3。任何非平凡树中至少有2片树叶。
2 = v − e+ | r |= v − e / 3,6 = 3v − e,∴ e = 3v − 6, 证毕
∑
六、库拉托夫斯基定理
1。K5和K3,3不是平面图。
K5
K 3,3
2。一个图是平面图的充分必要条件是它不含K5或 K3,3的子图。 3。当n≥5时，Kn 一定不是平面图。∵它一定含K5 。
4。最小生成树 在带权图G中所生成的总权数最小的生成树称为 最小生成树。 5。最小生成树的求法 选取权数最大的边所在的回路，去掉其中权数 最大的边，如此做下去，直到求出生成树为止。这 样求出的生成树一定是最小生成树。 还有一种方法称为克鲁斯特尔算法。先去掉所有 的边，然后从权数最小的边的开始，从小到大逐步选 取，如果所选取的边和已选取的边构成了回路，则不 选取这条边重新选取，直到连接完所有的结点。这样 求出的树就是最小生成树。
例如，
r1
r1的次数deg(r1)=6。
四、次数定理 在平面图G=<V,E>中，所有面的次数之和等于 边数的2倍。即 ∑ deg(r ) = 2 | E | 。 [2001年7月填空题10] r 在平面图G=<V,E>中，则 ∑ deg(ri ) = 2 | E | ， i =1 r i 是G的面。 其中
图论与特殊图概述
malform
acm
样例
m acm
m m malform
m mouse
模型
• 以26个英文字母作为顶点。 • 对于每一个单词，在图中从它的首字母向 末字母连一条有向边。
模型
• 问题转化为在图中寻找一条不重复地经过 所有边的路径，即欧拉路径。 • 这个问题能够在O(|E|)时间内解决。
实例：PKU 2337
如果E的每一条边都是无向边, 则称G为无向 图(如图1); 如果E的每一条边都是有向边, 则称 G为有向图(如图2); 否则, 称G为混合图. 图 1 并且常记
V = {v1, v2, … , vn}, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}(ek=vivj ) , |E | = m.
图1
图2
欧拉图
欧拉回路
• 无数热衷于此的人试图解决这个问题，但均以失败 告终。问题传到了欧拉（Leonhard Euler, 1707-1783）那里，立即引起了这位大数学家的 重视。经过悉心研究，欧拉终于在1736年发表了 论文《哥尼斯堡的七座桥》，不但成功地证明了“ 七桥问题”无解，而且找到了对于一般图是否存在 这类回路的充要条件。后人为了纪念欧拉这位伟大 的数学家，便将这类回路称为欧拉回路。
有向欧拉图的判定
• 有向图存在欧拉回路的充要条件： 基图连通且所有顶点入度等于出度。 • 有向图存在欧拉路径的充要条件： 基图连通且存在某顶点入度比出度大1，另 一顶点出度比入度大1，其余顶点入度等于 出度。
欧拉回路存在性的判断
• 欧拉回路问题可以分为无向图中的欧拉回路和欧拉通路，有向图中 的欧拉回路和欧拉通路。这几个问题大抵相像。 • 有向欧拉回路有： • 定理：假设有像多重图D有性质：当忽略有向边上的方向时，得到 的图是连通的，那么D有有向欧拉回路当且仅当D的每个顶点的入 度和出度相等。 • 类似的，对有向欧拉通路有： • 定理：D有有向欧拉通路，当且仅当除两个不同顶点B和C之外， D的其它顶点的入度和出度相等，且B的出度比入度大1，C的入度 比出度大1。在这种情况下，有向欧拉通路自B出发，至C终止。 • 由上面的定理可以知道，如果要判断一个有向图的欧拉回路是否存 在，需要先判断连通性，再判断出度入度。对于无向图，判断方法 类似。 • 判断连通性可以通过DFS或者并查集来实现。
图论基础知识点优选版
图论基础知识点优选版基本知识点：一、图的基本定义：平凡图：只有一个顶点无边的图。
非平凡图：其他所有图。
空图：边集合为空的图。
简单图：既没有环也没有重边的图。
复合图：其他所有的图。
同构图：顶点集合之间存在双射（一一对应关系），对应边重数和端点对应相等。
标定图：给图的点和边标上符号。
非标定图：不标号。
非标定图代表一类相互同构的图。
完全图：每两个不同顶点之间都有一条边相连的简单图。
N 个顶点的完全图只有一个，记为n K 。
偶图（二部图）：具有二分类(,)X Y 的图，他的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。
完全偶图 ：指具有二分类(,)X Y 的简单偶图，其中X 的每个顶点与Y 的每个顶点相连。
若,X m Y n ==，则这样额完全偶图记为：,m n K 。
k —正则图：设(,)G V E =为简单图，如果对所有的结点v V ∈，有()d v k =，称G 为k —正则图。
完全图和完全偶图,n n K 均是正则图。
图划分：若一个n 阶简单图G 各点的度为i d ，则分正整数k 为n 个部分的划分i d ∑称为是图划分。
子图：边集合和点集合均是原图的子集，且待判定图中的边的重数不超过原图中对应的边的重数。
生成子图：点集合相等，边集合为原图子集的图。
导出子图：由顶点集为原图G 真子集的所有点，及两端点均在该集合中的边的全体组成的子图V ‘。
'[]G V 和G v -。
边导出子图：由原图G 边的真子集，该图中边的断点全体为顶点组成的子图E ‘。
'[]G E 和{}G e -。
图的运算：并，交，差，对称差，联图，积图，合成图，极图路与图的联通性：途径：迹：边互不相同的途径。
路：边和点都互不相同的途径。
连通的：两个顶点之间存在路。
连通图：每一对顶点之间都有一条路。
连通分支：将V 划分为一些等价类12,,...k V V V 。
两个顶点u 和v 是连通的当且仅当他们属于同一个子集i V ，称子图()i G V 为连通分支。
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第二课 几种特殊的图
2.1 二部图 2.2 欧拉图 2.3 哈密顿图 2.4 平面图
1
2.1 二部图
二部图 完全二部图
2
二部图
定义 设无向图 G=<V,E>, 若能将V 划分成V1 和 V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得G中的每条边的两个端 点都一个属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记为<V1,V2,E>, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G 是简单图, 且V1中每个顶点都与V2中每个顶点相邻, 则称G为完全二部图, 记为Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|. 注意: n 阶零图为二部图.
几点说明：上述定义对无向图和有向图都适用. 规定平凡图为欧拉图. 欧拉路是迹, 欧拉回路是闭迹. 环不影响图的欧拉性.
7
欧拉图实例
例 是否是欧拉图或半欧拉图?
欧拉图
半欧拉图
不是
欧拉图
半欧拉图
不是
8
欧拉图的判别法
定理 无向图G为欧拉图当且仅当G连通且无奇度顶 点. G是半欧拉图当且仅当G连通且恰有两个奇度顶 点.
23
平面图的面与次数(续)
例1 右图有4个面, deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8.
例2 左边2个图是同一个平面 图的平面嵌入. R1在(1)中是 外部面, 在(2)中是内部面; R2 在(1)中是内部面, 在(2)中是 外部面. 其实, 在平面嵌入中 可把任何面作为外部面.
39
19
2.4 平面图
平面图与平面嵌入 平面图的面 极大平面图与极小非平面图 欧拉公式 平面图的对偶图 地图着色与四色定理
20
平面图和平面嵌入
定义 如果能将图G除顶点外边不相交地画在平面上, 则称G是平面图. 这个画出的无边相交的图称作G 的平面嵌入. 没有平面嵌入的图称作非平面图. 例如 下图中(1)~(4)是平面图, (2)是(1)的平面嵌入， (4)是(3)的平面嵌入. (5)是非平面图.
21
平面图和平面嵌入(续)
• • •
今后称一个图是平面图, 可以是指定义中的平面图, 又可以 是指平面嵌入, 视当时的情况而定. 当讨论的问题与图的画 法有关时, 是指平面嵌入. K5和K3,3是非平面图
设G G, 若G为平面图, 则G 也是 平面图; 若G 为非平面图, 则G也 是非平面图. Kn(n5), Kn,m(n,m3)都是非平面图.
15
实例
例 设G为n阶无向连通简单图, 若G中有割点或桥, 则G不是哈密顿图. 证 (1) 设v为割点, 则p(Gv) 2>|{v}|=1. 根据定理, G不是哈密顿图. (2) 若G是K2(K2有桥), 它显然不是哈密顿图. 除K2 外, 其他的有桥连通图均有割点. 由(1), 得证G不是 哈密顿图.
解 作无向图G=<V,E>, 其中V={v|v为与会者}， E={(u,v) | u,vV, u与v有共同语言, 且uv}. G为简单图. 根据条件, vV, d(v)4. 于是， u,vV, 有d(u)+d(v)8. 由定理可知G为哈密顿图. 服务员在G中找一条哈密顿回路C，按C中相邻关 系安排座位即可.
28
欧拉公式(续)
推论(欧拉公式的推广) 设G是有 p (p2) 个连通分支 的平面图, 则 nm+r=p+1 证 设第 i 个连通分支有 ni个顶点, mi 条边和 ri 个面. 对各连通分支用欧拉公式, ni mi + ri = 2, i = 1, 2, … , p 求和并注意 r + p1 = r1+…+rp, 即得 nm+r=p+1
37
地图着色与平面图的点着色
例
兰 黄 绿 黄 绿 红 绿 绿 黄 黄 兰 黄
绿 红
黄
绿
38
四色定理
四色猜想(100多年前): 任何地图都可以用4种颜色着 色, 即任何平面图都是4-可着色的. 1890年希伍德证明五色定理: 任何平面图都是5-可着 色的. 1976年美国数学家阿佩尔和黑肯证明, 如果四色猜想 不成立, 则存在一个反例, 这个反例大约有2000种可 能(后来有人简化到600多种), 他们用计算机分析了 所有这些可能, 都没有导致反例. 四色定理 任何平面图都是4-可着色的.
31
库拉图斯基定理
定理 G是平面图G中不含与K5同胚的子图, 也不
含与K3,3同胚的子图. 定理 G是平面图G中无可收缩为K5的子图, 也无
可收缩为K3,3的子图.
32
非平面图证明
例 证明下述2个图均为非平面图.
收缩2条边
收缩2条边
取子图
K3,3
取子图
K5
33
平面图的对偶图
29
平面图的性质
定理 设G为n阶m条边的连通简单平面图, 若n3, 则 m≤n-6 推论 K5 和 K3,3不是平面图.
K5
K3,3
30
同胚与收缩
消去2度顶点v 如上图从(1)到(2) 插入2度顶点v 如上图从(2)到(1) G1与G2同胚: G1与G2同构, 或 经过反复插入、或消去2度顶 点后同构 收缩边e 如下图从(1)到(2)
16
无向哈密顿图的一个充分条件
定理 设G是n阶无向简单图, 若任意两个不相邻的 顶点的度数之和大于等于n1, 则G中存在哈密顿通 路. 当n3时, 若任意两个不相邻的顶点的度数之和 大于等于n, 则G中存在哈密顿回路. 由定理, 当n3时, Kn均为哈密顿图. 定理中的条件是充分条件, 但不是必要条件. 例如, n(5)个顶点的路径存在哈密顿路, 但不满 足条件. n(5)个顶点的圈是哈密顿图, 不满足条件.
定理 n(n3)阶简单平面图是极大平面图当且仅当它连通且 每个面的次数都为3.
25
实例
例 是否是极大平面图?
不是
不是
是
26
极小非平面图
定义 若G是非平面图, 并且任意删除一条边所得图 都是平面图, 则称G为极小非平面图. 极小非平面图必为简单图 例如, K
判断是否是哈密顿图的可行方法
观察出一条哈密顿回路 例如 右图(周游世界问题)中红 边给出一条哈密顿回路, 故它 是哈密顿图.
满足充分条件 例如 当n3时, Kn中任何两个不同的顶点 u,v, 均 有d(u)+d(v) = 2(n1) n, 所以Kn为哈密顿图.
18
应用实例
例 某次国际会议8人参加，已知每人至少与他4人 有共同语言，问服务员能否将他们安排在同一 张圆桌就座，使得每个人都能与两边的人交谈？
面Ri的边界上, 则作环ek*=(vi*,vi*).
E*={ ek*| k=1,2, …,m }.
34
平面图的对偶图的实例
例 黑色实线为原平面图, 红色虚线为其对偶图
35
平面图的对偶图的性质
性质： • 对偶图是平面图，而且是平面嵌入. • 对偶图是连通图 • 若边e为G中的环，则G*与e对应的边e*为桥; 若e 为桥，则G*中与e对应的边e*为环. • 同构的平面图的对偶图不一定同构. 上页两个平面图同构, 它们的对偶图不同构.
24
极大平面图
定义 若G是简单平面图, 并且在任意两个不相邻的顶点之 间加一条新边所得图为非平面图, 则称G为极大平面图. 例如, K5, K3,3若删去一条边是极大平面图. K1, K2, K3, K4都是极大平面图(它们已无不相邻顶点).
• • •
极大平面图必连通*. 阶数大于等于3的极大平面图中不可能有割点和桥*. 任何n(n4)阶极大平面图G均有(G)3.
平行边与环不影响图的平面性.
22
• •
平面图的面与次数
设G是一个平面嵌入 G的面: 由G的边将平面划分成的每一个区域 无限面(外部面): 面积无限的面, 用R0表示 有限面(内部面): 面积有限的面, 用R1, R2,…, Rk表示 面Ri的边界: 包围Ri的所有边构成的回路（组） 面Ri的次数: Ri边界的长度，用deg(Ri)表示 定理 平面图各面的次数之和等于边数的2倍. 证 每条边可能在两个面的公共边界上，也可能只在一个面 的边界上. 前者, 在每个面的边界上这条边只出现一次, 计算 两次. 后者, 它在这个面的边界上出现2次, 也计算两次.
3
二部图(续)
例 下述各图是否是二部图?
不是
定理 无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈
4
2.2 欧拉图
欧拉路与欧拉回路 存在欧拉路和欧拉回路的充分必要条件
5
哥尼斯堡七桥问题
要求找一条路线,经过每座桥一次且 仅一次
6
欧拉图
欧拉路 : 图中经过每个顶点且恰好经过每条边一次 的路. 欧拉回路 : 图中经过每个顶点恰好经过每条边一次 的回路. 欧拉图: 有欧拉回路的图. 半欧拉图: 有欧拉路,但无欧拉回路的图.
定义 设平面图G, 有n个顶点, m条边和r个面, G的
对偶图G*=<V*,E*>如下： 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点, V*= { vi*| i=1,2,…,r }. 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上,
则作边ek*=(vi*,vj*), 且与ek相交; 若ek为G中的桥且在
定理 有向图D是欧拉图当且仅当D连通且每个顶点 的入度都等于出度. D是半欧拉图当且仅当D连通且 恰有两个奇度顶点, 其中一个入度比出度大1, 另一个 出度比入度大1, 其余顶点的入度等于出度.
9
实例
例1 哥尼斯堡七桥问题 4个奇度顶点, 不存在 欧拉路, 更不存在 欧拉回路, 例2 下面两个图都是欧拉图. 从A点出发, 如何一次成功地走出一条欧拉回路来？
2.1 二部图 2.2 欧拉图 2.3 哈密顿图 2.4 平面图
1
2.1 二部图
二部图 完全二部图
2
二部图
定义 设无向图 G=<V,E>, 若能将V 划分成V1 和 V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得G中的每条边的两个端 点都一个属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记为<V1,V2,E>, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G 是简单图, 且V1中每个顶点都与V2中每个顶点相邻, 则称G为完全二部图, 记为Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|. 注意: n 阶零图为二部图.
几点说明：上述定义对无向图和有向图都适用. 规定平凡图为欧拉图. 欧拉路是迹, 欧拉回路是闭迹. 环不影响图的欧拉性.
7
欧拉图实例
例 是否是欧拉图或半欧拉图?
欧拉图
半欧拉图
不是
欧拉图
半欧拉图
不是
8
欧拉图的判别法
定理 无向图G为欧拉图当且仅当G连通且无奇度顶 点. G是半欧拉图当且仅当G连通且恰有两个奇度顶 点.
23
平面图的面与次数(续)
例1 右图有4个面, deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8.
例2 左边2个图是同一个平面 图的平面嵌入. R1在(1)中是 外部面, 在(2)中是内部面; R2 在(1)中是内部面, 在(2)中是 外部面. 其实, 在平面嵌入中 可把任何面作为外部面.
39
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2.4 平面图
平面图与平面嵌入 平面图的面 极大平面图与极小非平面图 欧拉公式 平面图的对偶图 地图着色与四色定理
20
平面图和平面嵌入
定义 如果能将图G除顶点外边不相交地画在平面上, 则称G是平面图. 这个画出的无边相交的图称作G 的平面嵌入. 没有平面嵌入的图称作非平面图. 例如 下图中(1)~(4)是平面图, (2)是(1)的平面嵌入， (4)是(3)的平面嵌入. (5)是非平面图.
21
平面图和平面嵌入(续)
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今后称一个图是平面图, 可以是指定义中的平面图, 又可以 是指平面嵌入, 视当时的情况而定. 当讨论的问题与图的画 法有关时, 是指平面嵌入. K5和K3,3是非平面图
设G G, 若G为平面图, 则G 也是 平面图; 若G 为非平面图, 则G也 是非平面图. Kn(n5), Kn,m(n,m3)都是非平面图.
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实例
例 设G为n阶无向连通简单图, 若G中有割点或桥, 则G不是哈密顿图. 证 (1) 设v为割点, 则p(Gv) 2>|{v}|=1. 根据定理, G不是哈密顿图. (2) 若G是K2(K2有桥), 它显然不是哈密顿图. 除K2 外, 其他的有桥连通图均有割点. 由(1), 得证G不是 哈密顿图.
解 作无向图G=<V,E>, 其中V={v|v为与会者}， E={(u,v) | u,vV, u与v有共同语言, 且uv}. G为简单图. 根据条件, vV, d(v)4. 于是， u,vV, 有d(u)+d(v)8. 由定理可知G为哈密顿图. 服务员在G中找一条哈密顿回路C，按C中相邻关 系安排座位即可.
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欧拉公式(续)
推论(欧拉公式的推广) 设G是有 p (p2) 个连通分支 的平面图, 则 nm+r=p+1 证 设第 i 个连通分支有 ni个顶点, mi 条边和 ri 个面. 对各连通分支用欧拉公式, ni mi + ri = 2, i = 1, 2, … , p 求和并注意 r + p1 = r1+…+rp, 即得 nm+r=p+1
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地图着色与平面图的点着色
例
兰 黄 绿 黄 绿 红 绿 绿 黄 黄 兰 黄
绿 红
黄
绿
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四色定理
四色猜想(100多年前): 任何地图都可以用4种颜色着 色, 即任何平面图都是4-可着色的. 1890年希伍德证明五色定理: 任何平面图都是5-可着 色的. 1976年美国数学家阿佩尔和黑肯证明, 如果四色猜想 不成立, 则存在一个反例, 这个反例大约有2000种可 能(后来有人简化到600多种), 他们用计算机分析了 所有这些可能, 都没有导致反例. 四色定理 任何平面图都是4-可着色的.
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库拉图斯基定理
定理 G是平面图G中不含与K5同胚的子图, 也不
含与K3,3同胚的子图. 定理 G是平面图G中无可收缩为K5的子图, 也无
可收缩为K3,3的子图.
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非平面图证明
例 证明下述2个图均为非平面图.
收缩2条边
收缩2条边
取子图
K3,3
取子图
K5
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平面图的对偶图
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平面图的性质
定理 设G为n阶m条边的连通简单平面图, 若n3, 则 m≤n-6 推论 K5 和 K3,3不是平面图.
K5
K3,3
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同胚与收缩
消去2度顶点v 如上图从(1)到(2) 插入2度顶点v 如上图从(2)到(1) G1与G2同胚: G1与G2同构, 或 经过反复插入、或消去2度顶 点后同构 收缩边e 如下图从(1)到(2)
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无向哈密顿图的一个充分条件
定理 设G是n阶无向简单图, 若任意两个不相邻的 顶点的度数之和大于等于n1, 则G中存在哈密顿通 路. 当n3时, 若任意两个不相邻的顶点的度数之和 大于等于n, 则G中存在哈密顿回路. 由定理, 当n3时, Kn均为哈密顿图. 定理中的条件是充分条件, 但不是必要条件. 例如, n(5)个顶点的路径存在哈密顿路, 但不满 足条件. n(5)个顶点的圈是哈密顿图, 不满足条件.
定理 n(n3)阶简单平面图是极大平面图当且仅当它连通且 每个面的次数都为3.
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实例
例 是否是极大平面图?
不是
不是
是
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极小非平面图
定义 若G是非平面图, 并且任意删除一条边所得图 都是平面图, 则称G为极小非平面图. 极小非平面图必为简单图 例如, K
判断是否是哈密顿图的可行方法
观察出一条哈密顿回路 例如 右图(周游世界问题)中红 边给出一条哈密顿回路, 故它 是哈密顿图.
满足充分条件 例如 当n3时, Kn中任何两个不同的顶点 u,v, 均 有d(u)+d(v) = 2(n1) n, 所以Kn为哈密顿图.
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应用实例
例 某次国际会议8人参加，已知每人至少与他4人 有共同语言，问服务员能否将他们安排在同一 张圆桌就座，使得每个人都能与两边的人交谈？
面Ri的边界上, 则作环ek*=(vi*,vi*).
E*={ ek*| k=1,2, …,m }.
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平面图的对偶图的实例
例 黑色实线为原平面图, 红色虚线为其对偶图
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平面图的对偶图的性质
性质： • 对偶图是平面图，而且是平面嵌入. • 对偶图是连通图 • 若边e为G中的环，则G*与e对应的边e*为桥; 若e 为桥，则G*中与e对应的边e*为环. • 同构的平面图的对偶图不一定同构. 上页两个平面图同构, 它们的对偶图不同构.
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极大平面图
定义 若G是简单平面图, 并且在任意两个不相邻的顶点之 间加一条新边所得图为非平面图, 则称G为极大平面图. 例如, K5, K3,3若删去一条边是极大平面图. K1, K2, K3, K4都是极大平面图(它们已无不相邻顶点).
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极大平面图必连通*. 阶数大于等于3的极大平面图中不可能有割点和桥*. 任何n(n4)阶极大平面图G均有(G)3.
平行边与环不影响图的平面性.
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平面图的面与次数
设G是一个平面嵌入 G的面: 由G的边将平面划分成的每一个区域 无限面(外部面): 面积无限的面, 用R0表示 有限面(内部面): 面积有限的面, 用R1, R2,…, Rk表示 面Ri的边界: 包围Ri的所有边构成的回路（组） 面Ri的次数: Ri边界的长度，用deg(Ri)表示 定理 平面图各面的次数之和等于边数的2倍. 证 每条边可能在两个面的公共边界上，也可能只在一个面 的边界上. 前者, 在每个面的边界上这条边只出现一次, 计算 两次. 后者, 它在这个面的边界上出现2次, 也计算两次.
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二部图(续)
例 下述各图是否是二部图?
不是
定理 无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈
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2.2 欧拉图
欧拉路与欧拉回路 存在欧拉路和欧拉回路的充分必要条件
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哥尼斯堡七桥问题
要求找一条路线,经过每座桥一次且 仅一次
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欧拉图
欧拉路 : 图中经过每个顶点且恰好经过每条边一次 的路. 欧拉回路 : 图中经过每个顶点恰好经过每条边一次 的回路. 欧拉图: 有欧拉回路的图. 半欧拉图: 有欧拉路,但无欧拉回路的图.
定义 设平面图G, 有n个顶点, m条边和r个面, G的
对偶图G*=<V*,E*>如下： 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点, V*= { vi*| i=1,2,…,r }. 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上,
则作边ek*=(vi*,vj*), 且与ek相交; 若ek为G中的桥且在
定理 有向图D是欧拉图当且仅当D连通且每个顶点 的入度都等于出度. D是半欧拉图当且仅当D连通且 恰有两个奇度顶点, 其中一个入度比出度大1, 另一个 出度比入度大1, 其余顶点的入度等于出度.
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实例
例1 哥尼斯堡七桥问题 4个奇度顶点, 不存在 欧拉路, 更不存在 欧拉回路, 例2 下面两个图都是欧拉图. 从A点出发, 如何一次成功地走出一条欧拉回路来？