下料问题的思考与分析

下料问题的思考与分析

摘要

本文在客户具体需求的实际要求下建立数学模型来研究一维单一原材料的下料问题，按照相应的工艺要求，确定合理的下料方案，使用原料最省或者利润最大，达到问题的优化。

在问题一中，通过假设合理的切割方案，确定模型的选择区间，而所选模式为主要变量，选择建立了线性规划模型，由于切割钢管的根数、和需要的钢管的根数等参数都是整数，于是建立了整形线性规划模型，来解决了客户的如何下料最节省这个问题，我们都知道所谓的节省主要是两个参考标准：一是切割后所产生的总余料最少，二是切割原材料钢管用的最少，因此我们以这两个为目标展开了分析。我们通过matlab等数学工具来分别求解这些目标。

在问题二中，在问题一的基础上，选择不多于四种的切割方案来解决这个问题，但是在约束条件中出现了两变量乘积的形式，为非线性项。因此建立一个整数非线性规划模型，可以同时确定切割方案和切割计划，是带有普遍性的方法，这里我们只需要选择总根数最小为目标，虽然lingo可以直接求解，但我们我们通过一些合理的假设确定了总根数的上界和下界来作为约束条件，从而减小了可行解的搜索范围，提高了运行时间。

问题三为二维单一原材料下料模型，也可以构造整数非线性规划模型求解，想寻求其他模型来解决，还在思考中。

关键字：下料线性规划整数非线性合理方

一、问题重述

生产实践中经常遇到这样的问题，要把规格一定的材料裁剪成不同尺寸的毛坯，在一般情况下，很难使原材料得到完全利用，总会多出一些料头。切割次序和方法的不同、各种规格搭配（即下料策略）不同，材料的消耗将不同。为了解决实际遇到的这些问题，在给定一组材料规格尺寸后，可以合理截料，使原材料消耗最少，余料最少等等，我们要解决一下问题：

1、根据实际要求，通过一个数学模型，如何制定一个合理的切割模

式，使其下料最节省？

2、同时不同的切割模式会产生不同其他费用，如何在规定所使用的

切割模式的种类不能超过4种的情况下，通过一个数学模型，选择一个合适的切割模式，使其费用最小？

3、参考具体工程要求，建立二维单一原材料实用下料问题的数学模

型，并用此模型求解下列问题。制定出完成任务所需的原材料块数和余料。使其方案最合理。

二、问题分析

随着时代的发展，工艺技术的进步，人们的需求也越来越严谨，同样对产品从设计到使用所产生的费用也越来越关注了，所以一个可行的设计方案是必不可少的，钢管切割问题的优化方案对一个工程有着很大的重要性。

对于问题一，根据客户需求需要在原材料上安排一个合理的切割方案，而这个切割方案也需要合理可行，同时使其下料最省。通常一

个合理的切割方案的余料不应该大于或等于客户需要钢管的最小尺寸，所谓的节省主要是两个参考标准：一是切割后所产生的总余料最少，二是切割原材料钢管用的最少，因此我们以这两个目标可以作为出发点，我们知道这个问题主要关键点就是把选择某种方案的切割根数为变量作为主要变量，我们可以考虑选用线性规划模型来解决这个问题，同时这个过程中的变量都是非负整数，因此我们可以建立整数线性规划模型来解决问题。

对于问题二，客户为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使其费用最小，我们需要确定切割方案和切割计划，同时在决策变量中出现了乘积的形式，为非线性项，因此我们考虑选择非线性规划模型，同时参数都为整数，我们选择建立整数非线性规划模型求解，由于题目中最小的尺寸为1.3m,所以合理的切割模式的余料不能大于1m。此外，根据实际情景我们仅选择总根数最小为目标进行求解。

三、问题假设

1.假设所有的原材料的规格都完全合适，不存在破损等任何问题。

2.假设在切割的过程中，切割机器的精度足够大，切割的过程中

不会产生任何损失，切割所引起的锯缝损耗忽略不计。

3.假设客户的要求完全合理，不考虑零件切割纹路的方向性，零件

为非定向的。

4.假设在切割的过程中其他因素产生的原材料损失，不计入余料废

品中。

四、模型建立

4.1问题一

4.1.1 合理的切割方案(原材料一根8m)

表4.1.1合理的切割方案

问题转换为在满足客户需要的条件下，按照哪些合理的模式、切割多少根原材料钢管最为节省。我们都知道所谓的节省，可以有两个标准：一是切割后剩余的总余料最少，二是切割原材料钢管的根数最少，下面将对这来两个目标分别讨论。

4.1.2 决策变量

用Xi表示按照第i中方案（i=1,2,3…16）切割的原材料钢管根数，显然他们都是非负数。

4.1.3 决策目标

如果以切割后剩余的余料最小为目标，由上表则目标函为

min z1=0.2*x1+0.7*x3+1.2*x4+0.5*x5+1.2*x6+0.4*x7+0.1*x8+0.7* x9+1.1*x10+0.3*x11+0.8*x12+0.5*x14+x15+0.2*x16

如果以切割原材料钢管的总根数最小为目标，由上表则目标函数为：

min z2=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x1 6。

4.1.4约束条件：

2*x1+x2+x3+x4>=80;

2*x2+x3+x4+3*x5+2*x6+2*x7+x8+x9+x10+x11>=100;

X1+x3+x6+3*x8+2*x9+x10+4*x12+3*x13+2*x14+x15>=100;

X4+2*x7+x9+2*x10+4*x11+2*x13+3*x14+4*x15+6*x16>=240;

4.1.5模型求解

1)以z1为目标函数

利用matlab指令就行求解

从上图可知，方案2中切割原材料钢管12根，方案13中切割原材料7根，余料为1.7500e-13，我们可知按照切割方式需要切割19根原材料即可得到.

2）以z2为目标函数求解

利用matlab指令就行求解

从上图可知，取整方案1,2,3，….16各切割2根原材料，余料为6.7016e-15，我们可知按照切割方式需要切割32根原材料即可得到。

4.1.6结果分析

由于模型求解的过程中，代码存在问题，结果不符合实际情况，先对结果不进行分析。

4.2 问题二

4.2.1合理的切割模式（原材料为8m）

同上述问题相似，一个合理的的切割模式的余料不应该大于或等于客户需要的钢管最小尺寸 1.3m，切割计划只使用合理的切割方案，同时切割方案不能超过4种，同时我们知道本题中的参数基本上都是