弹性力学-空间问题的解答

第八章 空间问题的解答
求解方程
相应的应力为
σx
σy
1
gz
A,
σz gz A,
(c)
yz zx xy 0。
第八章 空间问题的解答
边界条件
（2）在z=0的负z面，应力边界条件为
zx
( z
, zy
) z0
0, z0 q。
(d )
由式(d)求出A，得应力解为
σ x σ y 1 q gz,
E
21
μ 12
μ
μ
w y
u x
v z
,,
(x, y,z;u,v,w)
(a)
其中体积应变 u v w。
x y z
3. 将式 (a)代入平衡微分方程，得在 V内求解位移的基本方程：
第八章 空间问题的解答
V内基本方程
E
21
μ
1 12μ
x
2u
fx
0,
(x,y,z;u,v,w) (b)
其中拉普拉斯算子
(d)
第八章 空间问题的解答
按位移求解
归结：按位移求解空间问题，位移
u,v,w 必须满足：
（1）V内的平衡微分方程(b),
（2）sσ 上的应力边界条件(c),
（3）su上的位移边界条件(d)。
这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。
第八章 空间问题的解答
优点
在空间问题中，按位移求解方法尤为要：
1.能适用于各种边界条件。 2.未知函数及方程的数目少。而按应力求
z (q gz),
(e)
yz zx xy 0。
第八章 空间问题的解答
位移解为
w
1
2
12 g E1
z
q
g
2
B。
(f)
其中B为z向刚体平移，须由约束条件确定。
若为半无限大空间体，则没有约束条 件可以确定B；
若z=h为刚性层，则由 (w)zh 0可以确 定B。
第八章 空间问题的解答
考虑对称性：本题的任何x面和y面均 为对称面，∴可设
u0, v 0, wwz。 (a)
第八章 空间问题的解答
求解方程
（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式 自然满足，第三式成为常微分方程，
E
21
1
12
d2 w dz2
d2 w dz2
g
0。
积分两次, 得
w
1 12 2E1
z
A2
B。
(b)
o。
边界面上任一点的沉陷，
uz
z0
F
1 E
2
。
(f)
第八章 空间问题的解答
分布力
若单位力均匀分布在a b 的矩形面积上，
其沉陷解为：
将F代之为
d
F
1 ba
d
d
y，对
, y
积分，便得到书上公式。
第八章 空间问题的解答
思考题
1. 试由位移函数的表达式(8-11)，导出式 (8-12)。（参见“弹性力学简明教程学 习指导”）
平衡微分方程（书中式（8-4）），并将
s上σ 的应力边界条件 (σs ) f用位移
来表示。
第八章 空间问题的解答
问题
§8－2 半空间体受重力 及均布压力
设有半空间体，受自重体力 fz 及ρ边g 界的均布压力q。
第八章 空间问题的解答
采用按位移求解：
位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界 条件。
第八章 空间问题的解答
1. 由扭转问题特性,
∵上下端面（ z面）上无面力 fz , ∴设 σz 0；
∵侧面无任何面力，∴ fx fy fz 0,
设σx σ y z xy 0。
因此只有 zx , zy，代入3个平衡微分方程得
zx 0,
x
zy 0,
y
zx zy 0。(a)
2 2 2 2 。 x2 y2 z2
第八章 空间问题的解答
边界条件
4. 将式 (a) 代入应力边界条件，得用位 移表示的应力边界条件：
E 1 μ
l
μ 12μ
u x
m 2
v x
u y
n 2
w x
u z
s
f
。
x
(x, y, z;u,v, w) (在sσ上) (c)
位移边界条件仍为:
us u。 (在su上)
求解条件
（1）平衡微分方程（书中（8-4））
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
2u
uρ
2
0,
1
1 2
z
2uz
0,
(a)
其中
u u uz 。 z
第八章 空间问题的解答
（2）在z=0的边界上，除原点o以外的应力 边界条件为
σz z0,0 0,
z
0。
z 0, 0
(b)
（3）由于z=0边界上o点有集中力F的作用， 取出z=0至z=z的平板脱离体，应用圣 维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：
zx
Φ y
,
zy
Φ 。 x
(d )
第八章 空间问题的解答
相容方程
2. 将式（d）代入6个相容方程，前三式和 第六式自然满足，其余两式为
2 zx 0,
代入（d），得
2 zy 0。
2Φ 0, x
2Φ 0, y
由此得出扭转应力函数Φ应满足的方程：
2Φ C,
思考题
1、如果图中的问题改为平面应力问题， 或平面应变问题，试考虑应如何按位 移求解？
第八章 空间问题的解答
2. 若将空间问题的伽辽金位移函数向平面 应变问题简化，将得到什么形式的表达 式？再转向平面应力问题，又将得到什 么形式的表达式？并与平面问题的位移 函数相比较（参见“弹性力学简明教程学 习指导”和第二章教学参考资料）。
全部为应力边界条件）； （4）对于多连体，还应满足位移单值条件。
其中(1),(3) 是静力平衡条件； (2),(4)是位移连续条件。
第八章 空间问题的解答
相容方程说明
对于相容方程说明如下：
（1）物体满足连续性条件 导出形变和位 移之间的几何方程 导出相容方程。
（2）形变满足相容方程 对应的位移存在 且连续 物体保持连续；形变不满足 相容方程 对应的位移不存在 物
2 y
z 2
2 z
y 2
2 z
x 2
2 x
z 2
2 x
y 2
2 y
x 2
2 yz
,
yz
2 zx
zx
,
2
xy
;
xy
x
yz
x
zx
y
xy
z
2 2 x
yz
,
y
zx
y
xy
z
yz
x
2
2 y
zx
,
z
xy
z
yz
x
zx
y
2
2 z
xy
.
第八章 空间问题的解答
应力边界条件
x y
第八章 空间问题的解答
由式(a)前两式，得 zx ,仅 z为y （x,y）的
函数；第三式成为
x
zx
y
zy
。
(b)
又由偏导数的相容性，存在一个应力函数 Φ,
x
yΦ
y
xΦ
,
(c)
第八章 空间问题的解答
对比式(b)和(c)，两个切应力均可用一个扭
转应力函数 Φ(x,表y)示为
或应力表示，其中会出现待定的积分函 数。
第八章 空间问题的解答
因此,位移边界条件等用应力表示时，
既复杂又难以求解。所以按应力求解通常
只解全部为 应力边界条件 的问题。
(S S )
第八章 空间问题的解答
3. 在V内导出求应力的方程 :
V内方程
（1）平衡微分方程（三个）。
（2）相容方程（六个）: 从几何方程消去位移，导出六个相容方程：
ABx cx2。
(b)
第八章 空间问题的解答
式 (b) 是由方程 (a) 提高阶数得出的，但式
(b) 增加的解 cx2不是原式 (a) 的解。
几何 方程中，形变为 0 阶导数；但在 相容方程中形变以 2 阶导数出现。因为微 分方程提高阶数会增加解答，所以增加的 方程数目正好用来消去增加的解答。
第八章 空间问题的解答
解时，没有普遍性的应力函数存在。 3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的
应用。
第八章 空间问题的解答
轴对称问题
按位移求解空间轴对称问题
在柱坐标 (中,，, z)可以相似地导出：
位移 u应ρ ,u满z 足：
（1）V内的平衡微分方程，
E
21
1
1
2
2u
u
2
f
0,
(e)
E
2(1 )
1
1
2
z
2uz
第八章 空间问题的解答
扭转问题的提出: （1）等截面柱体；
（2）无体力作用， fx f y fz 0;
（3）柱体侧面无面力作用，fx fy fz 0, 柱体上下端面的面力，合成一对力 矩 M。
第八章 空间问题的解答
按应力求解
引用按应力求解空间问题的方法—应 力应满足3个平衡微分方程，6个相容方程 及 S Sσ 上的应力边界条件。
2. 试由拉甫位移函数的表达式(8-14)，导 出式(8-15)。 （参见“弹性力学简明教 程学习指导”）
第八章 空间问题的解答
按应力求解
§8－4 按应力求解空间问题
按应力求解空间问题的方法： 1. 取σx … τyz…为基本未知函数。 2. 其他未知函数用应力表示: 形变可以通过物理方程用应力表示。 位移要通过对几何方程的积分，才能用形变
应力函数
在按应力求解空间问题中，力学家提出 了几种应力函数，用来表示应力并简化求 解的方程。
应用这些应力函数，也已求出了一些空 问题之解。但这些应力函数不具有普遍性 （不是普遍存在的）。
第八章 空间问题的解答
思考题
1、试考虑：从空间问题的相容方程，可以 导出平面应变问题的相容方程，却不能直 接导出平面应力问题的相容方程，为什么？ (见例题4)
侧压力系数
侧面压力与铅直压力之比，称为侧压 力系数。即
σx σz
σy σz
1
。
(g)
第八章 空间问题的解答
讨论：
当 μ 1 时，侧向变形最大，侧向压力
2
也最大，
σx
σy
σ
。说明物体的刚度极小，
z
接近于流体。
当 0时，正应力不引起侧向变形。
说明物体的刚度极大，接近于刚体。
第八章 空间问题的解答
3. 试用伽辽金位移函数的表达式(8-9),导 出式(8-10)（参见“弹性力学简明教程学习 指导”）。
第八章 空间问题的解答
问题
§8-3 半空间体在边界上受 法向集中力
设有半空间体，在o点受有法向集中力F。 本题为空间轴对称问题。应用柱坐标求解，
而位移 u ,而0, 和u ρ 应满足uz:
第八章 空间问题的解答
体不保持连续。 所以相容方程是位移的连续性条件。
第八章 空间问题的解答
（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可
参见有关书籍。
（4）相容方程必须为六个。相容方程和平
衡微分方程的数目大于未知函数的数
目，是由于微分方程提高阶数所需要
的。
例如：
d2 f dx2
0的解为f
A Bx,
(a)
d3 f dx3
0的解为f
按位移求解
§8－1 按位移求解空间问题
在直角坐标系中，按位移求解空间问 题，与平面问题相似，即
1. 取u,v,w为基本未知函数。 2. 将应变用位移来表示，可以引用 几何方程。 将应力先用应变表示（应用物理方 程），再代入几何方程，也用位移来表示：
第八章 空间问题的解答
按位移求解
σ τ
x
1Eμ
yz
第八章 空间问题的解答
第一节 按位移求解空间问题 第二节 半空间体受重力及均布压力 第三节 半空间体在边界上受法向集中力 第四节 按应力求解空间问题 第五节 等截面直杆的扭转 第六节 扭转问题的薄膜比拟 第七节 椭圆截面杆的扭转 第八节 矩形截面杆的扭转 例题 习题的提示和答案 教学参考资料
第八章 空间问题的解答
fz
0,
第八章 空间问题的解答
其中体积应变 u u uz ;
z
轴对称的拉普拉斯算子为
2 2 1 。
2
（2）Sσ 上的应力边界条件。 （3）Su 上的位移边界条件。
轴对称问题
第八章 空间问题的解答
思考题
1、试导出空间问题中 Sσ上的应力边界条件
（8-4）。 2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的
2、在表面均受到法向压力q 作用的任意形状的
空间体，其应力分量是 σx σ y σz q,
yz zx 试 x证y 明0这。些应力分量是该
问题之解（对于多连体还应满足位移单值条 件）。
第八章 空间问题的解答
扭转问题
§8-5 等截面直杆的扭转
扭转问题也是空间问题的一个特例。 根据扭转问题的特 性来简化空间问题， 就建立了扭转问题 的基本理论（18541856年，圣维南）。
再代入物理方程，导出用应力表示的 相容方程。(书中（8-12））。
4. 假设全部为应力边界条件，在 S S 上，应满足书中式（7-5）。
第八章 空间问题的解答
按应力求解归纳
按应力求解归纳为, 应力分量应满足：
（1）V内的三个平衡微分方程；
（2）V内的六个相容方程； （3） S S 上的三个应力边界条件（假设
Fz 0,
0
σ z
zz
2 d
F
0;
(c)
第八章 空间问题的解答
由于轴对称，其余的5个平衡条件均为 自然满足。
布西内斯克得出满足上述全部条件的 解答为
u
1 F
2ER
z
R 2
1 2
Rz
,
(d )
uz
1 F
2ER
21
z2 R2
;
第八章 空间问题的解答
σ
F
2R2
1 2R
R z
3
R
2 3
z
,
σ
1 2F
2R
z R
R R
z
,
(e)
σ z
3Fz3
2R5
,
z
3Fz2 。 2R5
其中
R
2 z2
。 1 2
第八章 空间问题的解答
应力特征：
（1）当R , 应力 0; 当R 0,应力 。 （2）水平截面上的应力 σz和 z 与弹性常
数无关。 （3）水平截面上的全应力，指向F作用点