极坐标与参数方程综合运用题型(一)

极坐标与参数方程综合运用题型(一)

【题型分析】

题型一 圆上的点到直线距离的最值

【例1】已知曲线C 1的参数方程为32212x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos （θ﹣），

以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线C 2的直角坐标方程；（2）求曲线C 2上的动点M 到直线C 1的距离的最大值． 解：（Ⅰ）

即ρ2

=2（ρcosθ+ρsinθ），∴x 2

+y 2

﹣2x ﹣2y=0，故C 2的直角坐标方程为（x ﹣1）2

+（y ﹣1）

2

=2．

（Ⅱ）∵曲线C 1的参数方程为，∴C 1的直角坐标方程为，

由（Ⅰ）知曲线C 2是以（1，1）为圆心的圆，且圆心到直线C 1的距离，

∴动点M 到曲线C 1的距离的最大值为

【变式实践1】

1．已知曲线C 1：2sin ρθ=，曲线2C ：325

45x t y t ⎧

=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

（t 为参数）

（I ）化C 1为直角坐标方程，化C 2为普通方程；

（II ）若M 为曲线C 2与x 轴的交点，N 为曲线C 1上一动点，求|MN|的最大值． 解：（I ）曲线C 1的极坐标化为ρ2

=2ρsinθ，又x 2

+y 2

=ρ2

，x=ρcosθ，y=ρsinθ

所以曲线C 1的直角坐标方程x 2+y 2

﹣2y=0，因为曲线C 2的参数方程是

，

消去参数t 得曲线C 2的普通方程4x+3y ﹣8=0

（II ）因为曲线C 2为直线

，

令y=0，得x=2，即M 点的坐标为（2，0）

曲线C 1为圆，其圆心坐标为C 1（0，1），半径r=1，则

∴ ，|MN|的最大值为

2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方

程为：1

sin()62π

ρθ-=，曲线C 的参数方程为：22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩

（α为参数）．

（I ）写出直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值． 解：（1）∵直线l 的极坐标方程为：， ∴ρ（

sinθ﹣cosθ）=，∴

，∴x ﹣

y+1=0．

（2）根据曲线C 的参数方程为：（α为参数）．得（x ﹣2）2

+y 2

=4，它表示一个

以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=， ∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值

=．

3．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是

（t 是参数），以原点O

为极点，Ox 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos()4

π

ρθ=+

．

（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 解：（1）由圆C 的极坐标方程ρ=2cos （θ+），化为，

展开为ρ2

=，化为x 2

+y 2

=

． 平方为

=1，∴圆心为

．

（2）由直线l 上的点向圆C 引切线长=

=

≥5，∴由直线l 上的点向圆C 引切线长的最小值为5．

题型二 利用三角函数求最值

【例2】在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，

曲线C 的参数方程为⎩⎨

⎧

x ＝3cos α，y ＝sin α

(α为参数)．

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴

为极轴)中，点P 的极坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；

(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 解：(1)把极坐标系下的点P ⎝

⎛⎭

⎪⎫

4，

π2化为直角坐标得P (0,4)， ∵P (0,4)满足方程x －y ＋4＝0，∴点P 在直线l 上．

(2)因为点Q 是曲线C 上的点，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，所以点Q 到直线l

的距离d ＝

|3cos α－sin α＋4|2

＝

⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42

(α∈R)则当cos ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋

π6＝－1时，

d 取得最小值 2.

【变式实践2】

1．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos x y α

α

=⎧⎪⎨=⎪⎩ (α为参数)，以原点为极点，x

轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为：cos ρθ=.

(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求|PQ |的最小值． 解：(1)∵ρ＝cos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即(x －12)2＋y 2

＝14.

(2)设P (2cos α，2sin α)，易知C 2(1

2，0)，∴|PC 2|＝

（2cos α－12

）2＋（2sin α）

2

＝

4cos 2α－2cos α＋14

＋2sin 2

α＝

2cos 2

α－2cos α＋94

，

当cos α＝12时，|PC 2|取得最小值，|PC 2|min

＝72，∴|PQ |min ＝7－1

2

.

2．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为22

2=

1sin ρθ

+，直线l 的极坐标方程为ρ=.

(1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；

(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．