用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理

用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理

由f (x )在[a ,b ]上的连续性，任给0>ε，对每一点[]b a x ,∈，都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有 ()()2ε<

-'x f x f . (2) 考虑开区间集合 []⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=H b a x x U x ,2,δ 显然H 是[a ,b ]的一个开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛

=H k i x U i i ,,2,12,* δ 覆盖了[a ,b ]．记02min 1>⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=≤≤i k i δδ 对任何x ',[]b a x ,∈'',δ<''-'x x ,x '必属于*H 中某开区间,设⎪⎭

⎫ ⎝⎛

∈'2;i i x U x δ即2i

i x x δ<-'.此时有i i i

i

i i x x x x x x δδδδδ=+

≤+<-'+'-''≤-''222 故由(2)式同时有()()2ε

<-'i x f x f 和 ()()2

ε

<-''i x f x f 由此得()()ε<''-'x f x f .所以f (x )在[a ,b ]上一致连续.