静电场5

复习上节课课的内容

环路定理：

E dl L

⋅=⎰

()

⎰⋅=

电势零点

a a l

d E U 电势定义：

电势叠加原理：U U

i

i

=

∑()

U dU

Q =

⎰

一、等势面

由电势相等的点组成的面叫等势面满足方程

1

U 23

12U U ∆=∆n

∆n

E U ∆≈∆()C

z y x U =,,当常量C 取等间隔数值时,可以得到一系列的等势面：

2

U 3

U 等势面的疏密反映了场的强弱

若∆U →0，则

§7.1 电势梯度

1. 电力线处处垂直等势面

在等势面上任取两点a 、b ，则

b a b

a

E dl U U ⋅=-⎰

等势

= 0E dl

⇒⊥

二、电力线与等势面的关系

2. 电力线指向电势降低的方向

设p 1、p 2为相邻等势面上的两点，场强

方向如图所示

2

1

p p

E dl

=⋅⎰

u 1

u 2

p 1

p 2dl E

θ

u u+∆u

12p p U U U -=-∆0

U ⇒∆≤2

1

cos p p

E dl θ=⎰0≥

典型等势面

电偶极势场

电容器势场

l

U E l ∂∂-

=即电场强度在l 方向的分量值

等于电势在l 方向的方向导数的负值

⎰⋅21

p p l d E

dU

-=三、电场强度与电势梯度的关系

u 1

u 2

p 1

p 2dl

E

θ

U

U+dU

dn

dU

E -

=场强沿等势面法线方向定义：电势在某点沿某方向（法线方向）的变化率为最大值

时，该值称该点的电势梯度.

21U U -=l d E

⋅≈dl E l =ˆdU

E n dn

=- Edn

=

ˆdU

E n dn

=- 在直角坐标系中

ˆdU U U U n grad U U i j k dn x y z

∂∂∂==∇=++∂∂∂

ˆˆx y z U U U E U E i E j E k i j k x

y z ⎛⎫∂∂∂=-∇=++=-++ ⎪

∂∂∂⎝⎭ 过电场中任意一点，沿不同方向其电势随距离的变化率

一般是不等的,沿某一方向(等势面法线方向）其电势随距离的变化率最大，此最大值称为该点的电势梯度

电势梯度是一个矢量，方向为该点附近电势升高最快的方向

例1. 已知一点电荷的电势为：r

q U 04πε=

求：任一点的场强解：球坐标系中

ϕθϕθθe r e r e r r ˆsin 1ˆ1ˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇)

(r U U =U

E -∇=

r dr

dU

ˆ-=r r

q

ˆ)4(2

0πε-

-=r

r

q ˆ42

0πε=四、利用电势求场强

例2. 应用电势梯度的概念，求半径为R 、电荷面密度

为σ的均匀带电圆盘轴线上一点P 的场强

解：取半径为r ，宽度为dr 的圆环，圆环上电量为

dq = σ2πrdr , 它在P 点的电势为:

2

2

04x

r dq dU +=

πε整个圆盘在P 点的电势：

⎰=dU

U ⎰

+=

R

x

r rdr

2

2

02εσ)(2220

x x R -+=εσ⎰

+=R

x

r dq 0

2

2

04πεx

R

x

P

·

dr

r

E 整个圆盘在P 点的电势：

22

()

2U R x x σε=+-dx

dU

E x -

=22

0()2d R x x dx σε⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦

)

1(22

2

x

R x +-=εσ即为P 点的场强

x

R

x

P

·dr

r

例3. 如图所示，长为L ，均匀带电为Q 的细棒，求: z 轴上一点P(0,a )的电势及场强的z 轴分量解：将棒分成无数小段，其中

任一小段d x 距离坐标原点x

2

2

04a

x dq dU +=

πε则：

⎰⎰

+==∴L p a x dx

dU U 0

220

4πελa a L L 2

20

ln 4++=πελ22

0ln 4p Q

L L z

U L z

πε'++=

z 轴上任一点P`的电势为z U E z ∂∂-=∴2

2

01

4z

L z

Q

+=

πεQ L

注:E x ≠0?

z L

x

a

p

λ

d x

x