数学建模(飞行管理问题)

飞行管理问题

摘要让飞机在某正方形区域内安全飞行，便于进行飞行管理，所以在飞机飞行过程中，要适当调整各架飞机的方向角（调整幅度尽量小），以避免发生碰撞。本文通过对两两飞机飞行过程最小临界距离大于8km为入手点，以t时刻后飞机所处状态为研究对象。通过点的向量平移，找出临界距离（8km）视为界点，再通过两点距离公式列出一元二次不等式，转化为一元二次方程根的情况，判断t的取值。

当∆＜0时，说明方程无实数解，即该两飞机不会碰撞。当∆≥0时，说明方程有实数解，且可以求出对应的t值，看t是否在规定区域范围内（0≤t≤0.283h）。若t不在范围内，说明两飞机在规定区域不会发生碰撞，而在区域范围外会发生碰撞（不在我们考虑范围内）若t在所规定范围，说明两飞机会在区域范围内发生碰撞，此时应调整各架飞机的方向角。方向角的调整虽然在30o内有足够空间（相应的可行解就很多），但又要求所调整的幅度尽可能小（就要求我们求出相应的最优解），故当调整一架飞机方向角后，应该对应判断该飞机与其余各飞机是否会发生碰撞。

最后，我们对模型的优缺点和改进方向作了分析。

关键词向量平移最短临界距离方向角调整幅度

一、问题重述（略）

二、模型假设：

（1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km （2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30o （3）所有飞机飞行速度均为每小时800km

（4）进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内的距离应在60km 以上 （5）最多需要考虑6架飞机

（6）不必考虑飞机离开此区域后的状况 （7）飞机调整方向角后，不受偏转弧度的影响

（8）每架飞机在调整角度后都沿调整后的方向角飞出区域外

（9）新进入的飞机在进入区域的瞬间，不考虑计算机记录时的时间间隔飞机所飞行的距离（即该时间间隔忽略不计）

（10）每架飞机都视为质点

三、符号说明：

j i ,

表示飞机编号（j i ,=1,2,3,4,5,6） i x 表示第i 架飞机所处位置的横坐标 i y

表示第j 架飞机所处位置的纵坐标 i θ

表示第i 架飞机的初始方向角 i θ∆

表示第i 架飞机所调整的方向角

t 表示各架飞机飞行过程达到最短临界距离所用时间 ij S

表示t 时刻后第i 架飞机与第j 架飞机的距离（i ≠j ） i A 表示第i 架飞机初始记录的点的坐标 i B

表示第i 架飞机经t 时刻后的点的坐标 a i

表示第Ai 点经过t 时刻后所平移的向量

四、模型建立与求解

由假设（1），我们简单分析两架飞机的情形，最终直接运用于多架飞机的情形，题目要求飞机间两两不碰撞。首先我们在不调整各架飞机方向角时，按各飞机初始位点来判断各飞机的碰撞情况，从图（一）中可以大致估算两两飞机在区域范围内的飞行情况，

从而可以初步预测和排除部分飞机的碰撞情况。

每架飞机在区域范围内飞行的时间范围为[0，0.283]h ，即从原点沿正方形区域对角线飞出的飞机所用时间最大为0.283h 。平移向量为a i =（vtcos θi ,vtsin θi ），A i =(x i ,y i ),B i =(x i +vtcos θi ,y i +vtsin θi )

我们建立初始模型:8min >ij S ，或64)min(2≥ij S (i,j=1,2,3,4,5,6 i ≠j)

0≤t ≤0.283h

问题转化为：

64))sin (sin )(())cos (cos )(()min(222＞j i j i j i j i ij vt y y vt x x S θθθθ-+-+-+-=

0≤t ≤0.283h

用上述不等式判断初始时刻两两飞机的碰撞情况，

图（一）

64

))5.220sin 52(sin 800155())5.220cos 52(cos 800150()min(22263＞o o o o t t S -+-+-+-=即

64)6.1149155()8.1100150(22＞t t +-++-

3

50

100 160

80

160

1

4

2

1

5

x

y

进而有：

0464616866168.225333402＞+-t t

因为∆＞0，所以可以求出一元二次方程

0464616866168.225333402＝+-t t 的两个根1t =0.13h,2t =0.14h 1t 、2t ∈[0，0.283]，可知6、3飞机会在[0.13，0.14]时间范

围内发生碰撞。

64

))5.220sin 159(sin 800)15550(())5.220cos 159(cos 800)150145(()min(2

2243＞o

o

o o t t S -+-+-+-=

即

64)6.805105()13925(22＞t t +-++-

0109861552564.25866552＞+-t t

因为∆＜0，所以一元二次方程

0109861552564.25866552＝+-t t 无实数解，即4、3飞机不会发生碰撞。

同理，可以判断，其余各架飞机按初始方向角飞行的碰撞情况如表（一）所示：(T 表示会发生碰撞，F 表示不会发生碰撞)

从图（一）初位点可以直观看出，当∆θ6增大时，它与原来不发生碰撞的飞机1、2仍保持不碰撞，又∆θ6的可调范围为30o 内，此时以∆θ6=30o ，其余飞机保持原来的方