材料力学第十章

fC
1 EI
AC
M
(
x1
)
Fs
0
M ( x1 Fs
)
dx
)
f ( x) 1 EI
x 0
F
(l
x1
)(
x
x1
)dx1
Fx 2 6EI
(3l
x)
§10-4 卡氏第二定理
例10-5 图示悬臂梁AB，B端作用铅垂力F，梁的EI已知，
1)求梁的挠曲线方程；2)若在梁中截面再作用力F，求自
x2
F=F0
A
1)dx段应变能：
dU 1(A)( d
x
)
2
d
xA
FQ2dx
2
2G
2GA
dx dx
2)l段应变能：
U
l
0dU
0l
FQ2 dx 2GA
FQ—横截面剪力； A—横截面面积；
—截面系数
矩形：=6/5；实心圆：=10/9；薄圆环：=2；
3)注意：在一般细长梁中，远小于弯矩应变能的 剪力应变能，通常忽略不计。
若=0.3，h/l=0.1，比值为0.0312。长梁忽略剪切应变能。
3)求C点挠度：W
1 2
FfC
U弯
F 2l3 96EI
fC
Fl 3 48EI
§10-2 弹性应变能的计算
四、非线性固体的应变能
1．应变能
F 非线性
与比能：
U*
线性
非线性
u*
线性
2．余能与
F1
余比能：
U
d1
1 d
u
1
应变能：线弹性
F
由端挠度fB。
A
D
B 2)梁中点再作用力F，求fB：
x1
将中点的F用F0表示，以同梁
l/2
l/2
端F区分。
BD段：M( x1) Fx1
M ( x1 F
)
x1
DA段：M
(
x2
)
Fx 2
F
0
x2
l 2
M ( x2 F
)
x2
f
B
1 EI
l/ 0
2
Fx12dx1
l l
/
2
Fx2
F
0
(
x2
2l )
§10-4 卡氏第二定理
例10-4 求图示结构C点的铅垂与水平位移(结构的EI为常数)。
C
RF
解：1)求铅垂位移fCr：
CB段：M( ) FRsin M ( ) Rsin
F
xB a
A
BA段：M( x) FR
M ( x) R F
fCV
1 EI
M( )M( )(Rd )
CB
F
BA
M
(
x
)M( x F
§10-2 弹性应变能的计算
三、杆件应变能的计算
5．组合变形下的应变能： M(x)
M(x)
各广义力只在相应
T(x)
广义位移上做功， FN(x)
T (x)
互不相干；
dx
dU
FN2( x) 2EA
dx
M 2( x 2 EI z
)
dx
T 2( x)dx 2GIp
U
l
FN2( x)dx 2EA
l
M2(x 2 EI z
第一组力：F 必须在第二组力产生的பைடு நூலகம்连线位移上作功
第二组力： p 必须在第一组力产生的与体积改变有关
的位移上作功
得到表面每点的法向位移d，弹性
体表面积为A，则体积改变为：
DV d dA
A
§10-3 互等定理
例10-2 任意形状弹性体承受一对等值、反向、共线的力F作
用，材料的弹性常数为E、，求弹性体的体积改变。
Fi方向相同，U是整个结构的应变能；
➢仅适用于线弹性结构；
➢U是内力的函数，根据复合函数求导法则，可先
U对内力求导，内力再对Fi求导：
d
i
UFUi lFl2EFN2ENA(Ax)dFFxNidl Mx22E(lIxEM)IdxMFilT2dG2x(Ixp)dl GxTIp
T Fi
dx
§10-4 卡氏第二定理
三、公式使用方法及注意
➢只有轴力的桁架：
➢弯曲梁：
d i
U Fi
n FN2jl j j1 EAj
FNj Fi
d
i
l
M(x EI
)
M ( x Fi
)
dx
➢若外力符号相同，则需将求位移点的外力进行标 定， 以便在求偏导时区别于其它外力。
➢若所求位移方向无Fi，则需沿所求位移方向加一 个广义力Fs(虚加，求偏导数后，即令其为零)：
三、杆件应变能的计算
2．扭转圆轴：
1)应变能： U W 1 2
Me
U
T 2l 2GIp
Me
l
若扭矩或截面直径为变量时：
➢分段变化：
U
n
Ui
i1
n i1
Ti2li 2GIpi
➢为杆长x的函数：
2)比能：
A
dx dx
U
l
0dU
l
0
T 2( 2GIp
x) (x
dx )
u dU 0.5(A2)( dGx )2
U弯 2
l /2 1 ( Fx )2dx F 2l 3
0 2EI 2
96EI
U
U弯
U剪
F 2l3 96EI
F 2l
8GA
U剪 2
l /2 ( F )2dx F 2l
0 2GA 2
8GA
U剪
:U弯
12 5
(1
)
h l
2
矩形截面梁： 6/5 ，I / A h2 /12 ，G E /[2(1 )]
1)求梁的挠曲线方程；2)若在梁中截面再作用力F，求自
x2
x1 Fs
A
C
F B
由端挠度fB。 解：1)求梁的挠曲线方程：
x l
在距梁左端x处虚加Fs
AC段：M( x1) F (l x1) Fs ( x x1)
M ( x1 Fs
)
x
x1
CB段：M( x2 ) F(l x2 )
M ( x2 ) 0 Fs
Dl
若轴力FN或截面面积A为变量时：
➢分段变化：
➢为杆长x的函数：
U
n
Ui
i1
n i1
FN2i li 2EAi
U
0ldU
l
0
FN2( x) dx 2EA( x)
2)比能：
u
dU dV
[2FFEN2NA2((2xx()Ax)d()xx]/)[d22xEE2 A(12x)]
1 E
2
2
§10-2 弹性应变能的计算
dV 2 2dGV 2
§10-2 弹性应变能的计算
三、杆件应变能的计算
3．弯曲：
d
1)dx段应变能：
dU
1 2
M
(
x)d
1 2
M
(
x)dx
M(x)
M(x)
M 2( x)dx
dx
2EI
2)l段应变能：
U
l
0dU
l
0
M2(x 2EI
)dx
§10-2 弹性应变能的计算
三、杆件应变能的计算 4．剪切：
d s
U (F1,F2 , Fs
Fs ,
)
Fs 0
l
M EI
M Fs
Fs
0
dx
§10-4 卡氏第二定理
四、克罗第—恩格塞定理*
d
i
U * Fi
结构的余能U*对Fi的偏导数为结构 在Fi作用点沿Fi方向的位移。
➢克罗第—恩格塞定理适用于非线性结构；
➢在线弹性情况下：U=U*，即卡氏第二定理是 克罗第—恩格塞定理的特例；
d2
➢广义力泛指力与力矩； F1 d1 F2
➢广义位移为相应广义力 产生的位移和转角(力 →位移，力矩→转角)；
d3 F3
2．线弹性—广义力与广义位 移成线性关系。
§10-2 弹性应变能的计算
二、克拉贝依隆原理
1．应变能由外力和位移的最终值决定，与加力顺 序无关；
2．弹性应变能：
1)等比例加载，Fi(d i)同时由零到终值；
n
i1
Fi Dd
i
DFid
i
DU
d
i
DU DFi
DFi 0 d
i
U Fi
—卡式第二定理
§10-4 卡氏第二定理
二、卡氏第二定理公式的含义
d
i
U Fi
若结构的应变能U表示为F1、F2 …Fi 的函数，则U对Fi的偏导数为结构在Fi 作用点沿Fi方向的位移。
➢d i为沿广义力Fi方向的广义位移，d i为正表示与
x2dx2
7Fl 3 16EI
3)讨论坐标系原点合理的选择：
§10-4 卡氏第二定理
例10-6 图示桁架两杆材料的应力应变关系 =K 1/2(K为常数)。
横截面面积均为A，求集中力F作用点B处的位移。
第十章 能 量 法
• §10-1 概 述 • §10-2 弹性应变能的计算 • §10-3 互等定理 • §10-4 卡氏第二定理 • §10-6 单位载荷法(莫尔积分)
第十章 能 量 法
• §10-7 图乘法(维利沙金法) • §10-9 超静定结构的基本解法 • §10-10 力法 正则方程* •小 结
§10-1 概 述
一、功能原理 U W：应变能无能量损失外力功
二、能量法 用功能原理求解结构位移、变形的方法。
三、重要性 ➢解题简单、适用性广； ➢不受材料限制—线弹性、非线性和塑性； ➢可求解静定与非静定问题； ➢学习后续课程的基础。
§10-2 弹性应变能的计算
一、广义力和广义位移
1．定义：
Fs
a A
BA段：M( x) FR-Fs (R x) M ( x) (R x) Fs
fCH
1 EI
CB
M
(
)
Fs
0
M (
Fs
)
(
Rd
)
M ( x)
BA M ( x) Fs 0
Fs
dx)
fCH
FR EI
(R
a)2
§10-4 卡氏第二定理
例10-5 图示悬臂梁AB，B端作用铅垂力F，梁的EI已知，
2)引进参数 (0～1)，则Fi d，则位移增量dd i。
d i，给 一个增量
3)外力功
dW (Fi dFi ) • (ddi ) ( Fidi )d
W
dW
( Fid i ) 01d
1 2
Fid
i
§10-2 弹性应变能的计算
二、克拉贝依隆原理
2．弹性应变能：
4)功能互等： U
W
1 2
A
F
d
p
p
A B
p
F
Bp
解：1)该弹性体表面上只作用均匀压应力p
三向均压状态： 1 2 3 p 任意方向的线应变为： [1 ( 2 3 )]/ E (1 2 ) p/ E
AB连线的变化量为：D AB l (1 2 ) pl / E
2)由功能互等定理：
F |D AB |
[( pdA)d ] F 1 2DVpl1p 2ddFAl pDV
§10-4 卡氏第二定理
一、问题：求Fi作用力方向
➢加的D位F移i后d应i 变能的增量：F1 d1
DU
1 2
DFi
n
Dd
i
i
n 1
Fi
Dd
i
Dd2
F2
Dd1
FiDd i
i1
d2
d3F3 Fi DFi
Dd3 Ddi
di
➢将F1、 F2 …Fi …看作第一组力，DFi看作第二组
力，由功能互等定理有：
3．注意： ➢只适用于线弹性； ➢力与位移为广义力和相应的广义位移。如位移互 等定理中数值相同的力和力矩在相互位置产生的 转角和挠度数值相同。
§10-3 互等定理
例10-2 任意形状弹性体承受一对等值、反向、共线的力F作
用，材料的弹性常数为E、，求弹性体的体积改变。
A
F
d
p
A
B
F
B
解：1)思路 功的互等定理需要两组力：
U1
W1
1 2
F1d11
1 2
F2d
22
F1d
12
d12
F1
d22
F2
➢同时加F1和F2 ，二力总功： d11+d12 d21+d22
U
2
W2
1 2
F1
(d
11
d 12
)
1 2
F2
(d
21
d
22
)
➢两种加载次序下的应变能相同：
U1 U2 F1d12 F2d 21 如F1=F2，则：d12 d 21
A
E
EA
§10-3 互等定理
例10-3 用一个固定位置挠度计，测量图示悬臂梁 1、2、3、4 各点的挠度，挠度计应安装在何处？如何测量？
F
F
F
FF
1
2
3
4
5
d 15=d 51 d 25=d 52 d 35= d 53 d 45= d 54
d 53241
挠度记
解：1)挠度器应安装在梁端5点处；
2)将F依次作用于1、2、3、4点，测出梁端5点挠度 即为F作用于梁端时1、2、3、4各点的挠度。
)d
x
l
T 2( x) 2GIp
dx
FN(x)
上式指圆截面情况。若截面并非圆形，则右 第三项中的Ip应为It。
§10-2 弹性应变能的计算
例10-1 图示矩形梁，比较弯曲和剪切两种应变能，并求中点
C的挠度。
l/2 F l/2
b
解：1)列剪力、弯矩方程：
M
(
x
)
F2x，FQ
(
x
)
F 2
x
C
h
2)求应变能(考虑对称性)：
)dx
)
fCV
1 EI
/
2
F
R
3
sin
2
d
0
a 0
FR
2dx
FR 2 EI
R 4
a
§10-4 卡氏第二定理
例10-4 求图示结构C点的铅垂与水平位移(结构的EI为常数)。
C
RF
xB
Fs 2)求水平位移fCH：C点无水平力，虚加Fs
CB段：M( ) FRsin -Fs R(1cos ) M ( ) R(1cos )
U
W
1 2
F1d1
比能：线弹性
u
1
2
1
1
非线性 U W d1 Fdd 0
非线性 u 1 d 0
余能：线弹性
U
*
U
1 2
F1d
1
余比能：线弹性
u*
u
1
2
11
非线性 U* F1ddF 0
非线性 u* 1d 0
§10-3 互等定理