初中数学知识点精讲精析 方差与标准差

2.2 方差与标准差
学习目标
1.经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性。

2.掌握方差和标准差的概念，会计算方差和标准差，理解它们的统计意义。

3.了解方差和标准差是刻画数据离散程度的统计量，并在具体情景中加以应用。

知识详解
1．方差
（1）定义：设有n 个数据
123n x x x x ⋯，，，，，各数据与它们的平均数的差的平方分别是21x x （－），22x x （－），2
3x x （－），…，2n x x （－），用它们的平均数来衡量
这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．
（2）方差的计算公式：通常用2s 表示一组数据的方差，用x 表示这组数据的平均数．
2s ＝1n [21x x （－）＋22x x （－）＋23x x （－）＋…＋2n x x （－）]． 2.标准差：标准差就是方差的算术平方根．
方差：（1）方差是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量，方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；（2）对于同类问题的两组数据，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小；（3）一组数据的每一个数据都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变；（4）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的2
k 倍．
3.极差与方差（或标准差）的异同
相同之处：
（1）都是衡量一组数据的波动大小的量；
（2）一组数据的极差、方差（或标准差）越小，这组数据的波动就越小，也就越稳定． 不同之处：
（1）极差反映的仅仅是数据的变化范围，方差（或标准差）反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；
（2）极差的计算最简单，只需要计算数据的最大值与最小值的差即可，而方差的计算比较复杂．
【典型例题】
例1. 已知一组数据：1，3，5，5，6，则这组数据的方差是（ ）
A ．16
B ．5
C ．4
D ．3.2
【答案】D
【解析】先求平均数，再代入公式2s ＝1n [21x x （－）＋22x x （－）＋23x x （－）＋…＋2
n x x （－）]．计算即可．
例2. 体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的（ ）
A ．平均数
B ．频数分布
C ．中位数
D ．方差
【答案】D
【解析】由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差． 例3. 有甲、乙、丙和丁四位同班同学在近两次月考的班级名次如表：
这四位同班同学中，月考班级名次波动最大的是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】D
【解析】根据方差的定义可得：因为丁的方差大于甲、乙、丙的方差，所以月考班级名次波动最大的是丁
【误区警示】
易错点1：众数计算
1. 某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A ．平均数为30
B ．众数为29
C ．中位数为31
D ．极差为5
【答案】B
【解析】x =2829312932
5++++=29.8，∵数据29出现两次最多，∴众数为29，中位数为29，
极差为：32-28=4
易错点2：条形统计图
2.下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是（）
A．甲比乙的成绩稳定
B．乙比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
【答案】B
【解析】通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定
【综合提升】
针对训练
1. 已知一组数据为：82，84，85，89，80，94，76．则这组数据的标准差（精确到0.01）为（）
A．5.47
B．29.92
C．5.40
D．5.630
2. 一组数据1，2，4，10，2，5的标准差是（）
A．1
B．2
C．3
D．4
3. 观察下列两组数据的折线图（如图），你认为下列说法中正确的是（）
A．两组数据平均数一样，标准差一样
B．两组数据平均数一样，a组离散程度较大
C．b组数据平均数大于a组，方差一样
D．两组数据平均数一样，b组离散程度较大
1.【答案】A
【解析】先求出数据的平均数，再计算方差，最后根据标准差的概念计算标准差．标准差即方差的算术平方根．
2.【答案】C
【解析】先求出这组数据的平均数，再计算方差，最后根据标准差的概念计算．
3.【答案】A
【解析】A、两组数据平均数一样，标准差一样，此选项正确，B、两组数据平均数一样，a，b组离散程度一样，故此选项错误；C、a，b两组数据平均数相等，方差一样，故此选项错误；D、两组数据平均数一样，a，b组离散程度一样，故此选项错误．
课外拓展
华罗庚的退步解题方法
我国已故著名的数学家华罗庚爷爷出生在一个摆杂货店的家庭，从小体弱多病，但他凭借自己一股坚强的毅力和崇高的追求，终于成为一代数学宗师。

少年时期的华罗庚就特别爱好数学，但数学成绩并不突出。

19岁那年，一篇出色的文章惊动了当时著名的数学家熊庆来。

从此在熊庆来先生的引导下，走上了研究数学的道路。

晚年为了国家经济建设，把纯粹数学推广应用到工农业生产中，为祖国建设事业奋斗终生！
华爷爷悉心栽培年轻一代，让青年数学家茁壮成儿使他们脱颖而出，工作之余还不忘给青多年朋友写一些科普读物。

下面就是华罗庚爷爷曾经介绍给同学们的一个有趣的数学游戏：有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明。

他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。

3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。

聪明的小读者，想想看，他们是怎么知道帽子颜色的呢？“
为了解决上面的伺题，我们先考虑“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题。

因为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白帽。

但他踌躇了一会，可见我戴的是白帽。

这样，“3人2顶黑帽，3顶白帽”的问题也就容易解决了。

假设我戴的是黑帽子，则他们2人就变成“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌躇了一会，这就说明，我戴的是白帽子，3人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子。

看到这里。

同学们可能会拍手称妙吧。

后来，华爷爷还将原来的问题复杂化，“n个人，n-1顶黑帽子，若干（不少于n）顶白帽子”的问题怎样解决呢？运用同样的方法，便可迎刃而解。

他并告诫我们：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃。