基于LMI的模糊控制器设计方法
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2 i T
x( t) ≤ ( t) ( G ii P + P G ii + Q) x ( t) < 0
T
∑h ( z ( t ) ) x
i= 1
( 证毕 ) 控制器的设计变成了寻找 P , Q 和 F i 满足式( 7) ～ ( 9) 的问题。 根据广义特征值最小化问题, 利用 Shur 补引理 [ 6] , 这一问题可转化为如下关于 X , Y 及 M i 的 L MI 可行性问题, 即 X > 0, Y ≥ 0 ( 10)
T i T i
u( t ) = -
∑h ( z ( t) ) F x ( t )
i i i= 1
( 4)
模糊控制器的设计就是求解反馈增益 F i 使系 统 ( 2) 稳定。 将式( 4) 代入式 ( 2) 得闭环系统 x ( t) =
r r i j i
∑∑h ( z ( t ) ) h ( z ( t ) ) ( A
* 国家重点基础 研究发展规划项目 ( G 1998030417) 1999 - 10 - 25 收稿 , 2000 - 01 - 04 修 回
550
控 制 与 决 策
r
2 00 0 年 + G ij + G j i x( t) 2 ( 5)
2 T-S 模糊模型
T S 模糊模型是由一组 If-t hen 模糊规则来描 述的非线性系统 , 每条规则代表一个子系统。 令 Ri 表示模糊系统的第 i 条规则, 则 T -S 模型描述如下 R i : If z 1( t ) is M i 1 and … and z p ( t) is M ip then x ( t ) = A i x ( t) + B i u( t) i = 1, 2, … , r ( 1) 其中, z 1( t ) ～ z p ( t ) 为条件变量 , M ij 为模糊集合 , r 为模糊规则个数, x ( t) ∈ R 为系统状态向量, u ( t) ∈ R m 为控制输入向量。 给定( x ( t ) , u ( t ) ) , 则模糊系 统的输出为各子系统输出的加权平均 , 即
T
L y apunov 稳定定理。 其证明过程只需取 L yapuno v 函数为 V = x ( t ) P x ( t) 即可得证。 将系统 ( 5) 中的 G ij 代入式 ( 6) , 可直接得到闭环系统稳定的充分条 件, 并求得反馈阵 F i , 但这种方法存在一定的保守 性。 下面的定理可使保守性得以减小。 定理 2 对于系统( 5) , 同的矩阵 P 和 Q , 满足 P > 0, Q ≥ 0 G P + P G ii + Q < 0 G + G G ij + G j i P + P - Q ≤ 0, i < j 2 2 则 t, 系统 ( 5) 全局渐近稳定。 证明 取 L yapunov 函数为 V ( x ( t ) ) = x ( t ) Px ( t) 其中 P > 0, 则 V ( x ( t) ) > 0, 且 V ( x ( t ) ) = x ( t) P x ( t ) + x ( t ) Px ( t) 将式 ( 5) 代入上式 , 当式( 7) ～ ( 9) 成立时, 总有 V ( x ( t) ) =
r [ 7]
∑h ( z ( t ) ) x
2 i i= 1 r j- 1 j = 1 i= 1
Biblioteka Baidu
T
( t) ( G T ii P + P G ii ) x ( t) +
T
2∑∑hi ( z ( t) ) hj ( z ( t) ) x ( t ) P
r
G ij + G j i 2
T
P+
G ij + G j i 2
i
( x 1 ) 表示 x 1 属于规则 R i 的隶属度值。 且系统矩 0 g 4l / 3 - aml 1 0 , B 1 = 1 0 , = co s( 88° )
耿昌茂
( 海军航空工程学院青岛分院 )
摘 要 针对 T -S 模糊模型 , 提出同时满 足稳定条件和控制 受约束的模糊控制 器的线性矩阵不等 式设 计方法。 将稳定性及控制约束转化为满足 Ly apuno v 稳 定的凸优化问题 , 并提出了基于 L M I 的模糊系统 控制器设计和稳定性分析的系统框架。倒立摆的模糊控制器设计实例表明了设计方法的有效性。 关键词 T S 模糊模型 , 线性矩阵不等式 , L yapuno v 稳定 , 模糊控制器设计 分类号 T P 13
Fuzzy Controller Design via LMI Approach
X ie Zhenhua Fan X unli , Qu J ianling , W ang L ei Geng Changmao
( N avy A viat ion Engineer ing Colleg e) ( N or thw estern P olytechnical U niver sity ) ( N avy A via tio n Eng ineering Colleg e) Abstract A sy stem framew or k of fuzzy contr oller desig n and stability a nalysis of clo sed-lo op T S fuzzy sy st ems via linear matr ix inequa lity ( LM I ) is pr esent ed. T he stable co nditio ns are reduced t o t he pr oblem of finding a Ly apuno v functio n for a set of L M Is . T he pro blem of co nstr aints on the co ntro l input can also be solved by co nvex pr og r amming techniques fo r L M Is. T he exa mple for a fuzzy co nt ro ller o f the inv erted pendulum demonstra tes the efficiency of t his appr oach. Key words T akag iSug eno fuzzy model, linea r matr ix inequalit y, L y apunov stability , fuzzy co nt ro ller desig n
3 基于 LMI 的模糊控制器 设计及稳定性分析
许多实际的电学、 机械和混沌系统等非线性系 统都可由上述 T -S 模型表示[ 1～5, 7] 。 对于这类模糊系 统 , 利用并行分布补偿原理 对系统 ( 1) 的每个子 系统分别设计局部控制 器, 各 局部控制器共享 ( 1) 的前提条件。 对于系统 ( 1) , 其模糊控制器为 R i : If z 1( t ) is M i 1 and … and z p ( t ) is M ip then u ( t) = - F i x ( t ) , i = 1, 2, …, r ( 3) 模糊控制器为各控制器的线性组合, 即
。 文
献 [ 1, 3, 4] 基于 L y apunov 稳定性理论对 T S 模糊 进行稳定性分析 , 给出了一个判定系统全局 渐近稳定的充分条件。 该稳定条件需要求解一个共 同 的正定矩阵 P , 以满足 L yapunov 矩阵不等式族。 但是关于 P 的求解问题一直没有较好的解决方法, 使其应用受到限制。 线性矩阵不等式 ( L MI) 方法是一种凸优化方 法 , 由于内点算法的提出, 使其成为解决线性矩阵不 等 式问题的强有力工具 , 并在控制理论中得到广泛
r
i, j , 如果存在一个共 ( 7) ( 8) ( 9)
∑ w ( z ( t) ) ≥ 0
i i= 1 p
且
i = 1
∑h ( z ( t ) )
i
= 1, w i ( z ( t) ) =
∏M
j= 1
ij
( z j ( t) )
其中 M ij ( z j ( t) ) 表示 z j ( t) 属于模糊集合 M ij 的隶属 度。 注 1 z ( t) 可指定 为系统 状态向 量或其 它向 量 , u( t ) = 0 时为自由系统。 本文取 z ( t) = x ( t ) , 并 且 仅讨论 连续系统 的情况 ( 离散系 统有类似 的表 示) 。
i= 1 j = 1
- B iF j ) x ( t ) =
X A + A iX + Y - M B - B iM i < 0
T i T j T j T i
T i
( 11)
X A + A i X + X A + A j X - 2Y - M B -
第 15 卷 第 5 期
谢振华等: 基于 L MI 的模糊控制器设计方法 ( 12) R 2 : If x 1 ( t) is about ± / 2, x 1 < t hen x ( t) = A 2x ( t ) + B 2u ( t )
R
551 /2 ( 17)
T B i M j - M T i B j - B j M i ≤ 0, i < j
其中 X = P 近稳定 , 且 P= X
- 1
, M i = F i X , Y = X QX
以上 L M I 可行性问题有解 , 则系统 ( 5) 全局渐
- 1
其中 对应 规则 中 x 1 ( t) 的 隶属 函数 如 图 1 所示 ,
1 引 言
模糊控制系统的稳定性分析和设计方法是模 糊控制理论最重要的研究课题。 近年来国内外许多 学 者对此进行研究, 取得了一些有益的成果 系统
[ 5] [ 1, 2]
的应用和发展[ 6] 。 文献[ 7] 在[ 1, 3] 的基础上首次提 出 利用 L M I 方法求解正定阵 P ; [ 2] 利用二次稳定 理论、 H ∞ 理论和 L MI 方法研究一类不确定性非线 性系统的鲁棒稳定性问题 , 但未利用这些方法进行 控制器设计。 本文针对非线性连续系统的 T S 模糊模型 , 提 出保证模糊系统全局稳定的基于 L MI 的模糊控制 器设计方法, 并在控制输入存在约束的条件下 , 将稳 定性和控制约束问题转化为 L MI 凸优化问题。 应用 这种方法 , 可将稳定性和控制系统其它性能指标约 束下的 模糊控制 器的设计 , 统一 到一系 列等价 的 L M I 凸优化问题, 整个设计过程直观自然 , 为建立 模糊控制理论的系统的设计方法奠定了基础。 倒立 摆的设计仿真证明了本文方法是方便而有效的。
r T T T T ij T ji T ii
x ( t) =
∑ h ( z ( t ) ) ( A x ( t)
i i i= 1 r
+ B iu ( t ) )
( 2)
其中 z ( t) = [ z 1 ( t ) , z 2 ( t) , …, z p ( t ) ] h i ( z ( t) ) = w i ( z ( t ) )
r n [ 5]
∑h ( z ( t) ) G x ( t )
2 i ii i= 1 r j- 1 j = 1 i= 1
2∑∑h i ( z ( t) ) hj ( z ( t ) ) 其中 G ij = A i - B i F j
定理 1 对于系统 ( 2) 的自由系统( 当 u( t ) = 0 时) , 如果存在一个共同的正定矩阵 P , 满足 AT i P + P A i < 0, i = 1, 2, …, r 则 ( 6) t, 此自由系统全局渐近稳定。 定理 1 为 一 充 分 条 件 , 当 r = 1 时 即 为
第 15 卷 第 5 期
V ol. 15 N o . 5
控 制 与 决 策
CON T R OL A N D DE CI S I ON
2000 年 9 月
Sept. 2000
基于 LMI 的模糊控制器设计方法*
谢振华
( 海军航空工程学院青岛分 院 266041)
范训礼 曲建岭 王 磊
( 西北工业大学自动 控制系 )
x( t) ≤ ( t) ( G ii P + P G ii + Q) x ( t) < 0
T
∑h ( z ( t ) ) x
i= 1
( 证毕 ) 控制器的设计变成了寻找 P , Q 和 F i 满足式( 7) ～ ( 9) 的问题。 根据广义特征值最小化问题, 利用 Shur 补引理 [ 6] , 这一问题可转化为如下关于 X , Y 及 M i 的 L MI 可行性问题, 即 X > 0, Y ≥ 0 ( 10)
T i T i
u( t ) = -
∑h ( z ( t) ) F x ( t )
i i i= 1
( 4)
模糊控制器的设计就是求解反馈增益 F i 使系 统 ( 2) 稳定。 将式( 4) 代入式 ( 2) 得闭环系统 x ( t) =
r r i j i
∑∑h ( z ( t ) ) h ( z ( t ) ) ( A
* 国家重点基础 研究发展规划项目 ( G 1998030417) 1999 - 10 - 25 收稿 , 2000 - 01 - 04 修 回
550
控 制 与 决 策
r
2 00 0 年 + G ij + G j i x( t) 2 ( 5)
2 T-S 模糊模型
T S 模糊模型是由一组 If-t hen 模糊规则来描 述的非线性系统 , 每条规则代表一个子系统。 令 Ri 表示模糊系统的第 i 条规则, 则 T -S 模型描述如下 R i : If z 1( t ) is M i 1 and … and z p ( t) is M ip then x ( t ) = A i x ( t) + B i u( t) i = 1, 2, … , r ( 1) 其中, z 1( t ) ～ z p ( t ) 为条件变量 , M ij 为模糊集合 , r 为模糊规则个数, x ( t) ∈ R 为系统状态向量, u ( t) ∈ R m 为控制输入向量。 给定( x ( t ) , u ( t ) ) , 则模糊系 统的输出为各子系统输出的加权平均 , 即
T
L y apunov 稳定定理。 其证明过程只需取 L yapuno v 函数为 V = x ( t ) P x ( t) 即可得证。 将系统 ( 5) 中的 G ij 代入式 ( 6) , 可直接得到闭环系统稳定的充分条 件, 并求得反馈阵 F i , 但这种方法存在一定的保守 性。 下面的定理可使保守性得以减小。 定理 2 对于系统( 5) , 同的矩阵 P 和 Q , 满足 P > 0, Q ≥ 0 G P + P G ii + Q < 0 G + G G ij + G j i P + P - Q ≤ 0, i < j 2 2 则 t, 系统 ( 5) 全局渐近稳定。 证明 取 L yapunov 函数为 V ( x ( t ) ) = x ( t ) Px ( t) 其中 P > 0, 则 V ( x ( t) ) > 0, 且 V ( x ( t ) ) = x ( t) P x ( t ) + x ( t ) Px ( t) 将式 ( 5) 代入上式 , 当式( 7) ～ ( 9) 成立时, 总有 V ( x ( t) ) =
r [ 7]
∑h ( z ( t ) ) x
2 i i= 1 r j- 1 j = 1 i= 1
Biblioteka Baidu
T
( t) ( G T ii P + P G ii ) x ( t) +
T
2∑∑hi ( z ( t) ) hj ( z ( t) ) x ( t ) P
r
G ij + G j i 2
T
P+
G ij + G j i 2
i
( x 1 ) 表示 x 1 属于规则 R i 的隶属度值。 且系统矩 0 g 4l / 3 - aml 1 0 , B 1 = 1 0 , = co s( 88° )
耿昌茂
( 海军航空工程学院青岛分院 )
摘 要 针对 T -S 模糊模型 , 提出同时满 足稳定条件和控制 受约束的模糊控制 器的线性矩阵不等 式设 计方法。 将稳定性及控制约束转化为满足 Ly apuno v 稳 定的凸优化问题 , 并提出了基于 L M I 的模糊系统 控制器设计和稳定性分析的系统框架。倒立摆的模糊控制器设计实例表明了设计方法的有效性。 关键词 T S 模糊模型 , 线性矩阵不等式 , L yapuno v 稳定 , 模糊控制器设计 分类号 T P 13
Fuzzy Controller Design via LMI Approach
X ie Zhenhua Fan X unli , Qu J ianling , W ang L ei Geng Changmao
( N avy A viat ion Engineer ing Colleg e) ( N or thw estern P olytechnical U niver sity ) ( N avy A via tio n Eng ineering Colleg e) Abstract A sy stem framew or k of fuzzy contr oller desig n and stability a nalysis of clo sed-lo op T S fuzzy sy st ems via linear matr ix inequa lity ( LM I ) is pr esent ed. T he stable co nditio ns are reduced t o t he pr oblem of finding a Ly apuno v functio n for a set of L M Is . T he pro blem of co nstr aints on the co ntro l input can also be solved by co nvex pr og r amming techniques fo r L M Is. T he exa mple for a fuzzy co nt ro ller o f the inv erted pendulum demonstra tes the efficiency of t his appr oach. Key words T akag iSug eno fuzzy model, linea r matr ix inequalit y, L y apunov stability , fuzzy co nt ro ller desig n
3 基于 LMI 的模糊控制器 设计及稳定性分析
许多实际的电学、 机械和混沌系统等非线性系 统都可由上述 T -S 模型表示[ 1～5, 7] 。 对于这类模糊系 统 , 利用并行分布补偿原理 对系统 ( 1) 的每个子 系统分别设计局部控制 器, 各 局部控制器共享 ( 1) 的前提条件。 对于系统 ( 1) , 其模糊控制器为 R i : If z 1( t ) is M i 1 and … and z p ( t ) is M ip then u ( t) = - F i x ( t ) , i = 1, 2, …, r ( 3) 模糊控制器为各控制器的线性组合, 即
。 文
献 [ 1, 3, 4] 基于 L y apunov 稳定性理论对 T S 模糊 进行稳定性分析 , 给出了一个判定系统全局 渐近稳定的充分条件。 该稳定条件需要求解一个共 同 的正定矩阵 P , 以满足 L yapunov 矩阵不等式族。 但是关于 P 的求解问题一直没有较好的解决方法, 使其应用受到限制。 线性矩阵不等式 ( L MI) 方法是一种凸优化方 法 , 由于内点算法的提出, 使其成为解决线性矩阵不 等 式问题的强有力工具 , 并在控制理论中得到广泛
r
i, j , 如果存在一个共 ( 7) ( 8) ( 9)
∑ w ( z ( t) ) ≥ 0
i i= 1 p
且
i = 1
∑h ( z ( t ) )
i
= 1, w i ( z ( t) ) =
∏M
j= 1
ij
( z j ( t) )
其中 M ij ( z j ( t) ) 表示 z j ( t) 属于模糊集合 M ij 的隶属 度。 注 1 z ( t) 可指定 为系统 状态向 量或其 它向 量 , u( t ) = 0 时为自由系统。 本文取 z ( t) = x ( t ) , 并 且 仅讨论 连续系统 的情况 ( 离散系 统有类似 的表 示) 。
i= 1 j = 1
- B iF j ) x ( t ) =
X A + A iX + Y - M B - B iM i < 0
T i T j T j T i
T i
( 11)
X A + A i X + X A + A j X - 2Y - M B -
第 15 卷 第 5 期
谢振华等: 基于 L MI 的模糊控制器设计方法 ( 12) R 2 : If x 1 ( t) is about ± / 2, x 1 < t hen x ( t) = A 2x ( t ) + B 2u ( t )
R
551 /2 ( 17)
T B i M j - M T i B j - B j M i ≤ 0, i < j
其中 X = P 近稳定 , 且 P= X
- 1
, M i = F i X , Y = X QX
以上 L M I 可行性问题有解 , 则系统 ( 5) 全局渐
- 1
其中 对应 规则 中 x 1 ( t) 的 隶属 函数 如 图 1 所示 ,
1 引 言
模糊控制系统的稳定性分析和设计方法是模 糊控制理论最重要的研究课题。 近年来国内外许多 学 者对此进行研究, 取得了一些有益的成果 系统
[ 5] [ 1, 2]
的应用和发展[ 6] 。 文献[ 7] 在[ 1, 3] 的基础上首次提 出 利用 L M I 方法求解正定阵 P ; [ 2] 利用二次稳定 理论、 H ∞ 理论和 L MI 方法研究一类不确定性非线 性系统的鲁棒稳定性问题 , 但未利用这些方法进行 控制器设计。 本文针对非线性连续系统的 T S 模糊模型 , 提 出保证模糊系统全局稳定的基于 L MI 的模糊控制 器设计方法, 并在控制输入存在约束的条件下 , 将稳 定性和控制约束问题转化为 L MI 凸优化问题。 应用 这种方法 , 可将稳定性和控制系统其它性能指标约 束下的 模糊控制 器的设计 , 统一 到一系 列等价 的 L M I 凸优化问题, 整个设计过程直观自然 , 为建立 模糊控制理论的系统的设计方法奠定了基础。 倒立 摆的设计仿真证明了本文方法是方便而有效的。
r T T T T ij T ji T ii
x ( t) =
∑ h ( z ( t ) ) ( A x ( t)
i i i= 1 r
+ B iu ( t ) )
( 2)
其中 z ( t) = [ z 1 ( t ) , z 2 ( t) , …, z p ( t ) ] h i ( z ( t) ) = w i ( z ( t ) )
r n [ 5]
∑h ( z ( t) ) G x ( t )
2 i ii i= 1 r j- 1 j = 1 i= 1
2∑∑h i ( z ( t) ) hj ( z ( t ) ) 其中 G ij = A i - B i F j
定理 1 对于系统 ( 2) 的自由系统( 当 u( t ) = 0 时) , 如果存在一个共同的正定矩阵 P , 满足 AT i P + P A i < 0, i = 1, 2, …, r 则 ( 6) t, 此自由系统全局渐近稳定。 定理 1 为 一 充 分 条 件 , 当 r = 1 时 即 为
第 15 卷 第 5 期
V ol. 15 N o . 5
控 制 与 决 策
CON T R OL A N D DE CI S I ON
2000 年 9 月
Sept. 2000
基于 LMI 的模糊控制器设计方法*
谢振华
( 海军航空工程学院青岛分 院 266041)
范训礼 曲建岭 王 磊
( 西北工业大学自动 控制系 )