离散数学,代数系统和群
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有限集合S上的一个二元代数运算，也可以用一 个运算表来表示： 例如，设S={1，-1} 运算*为普通的乘法运算， 则
* 1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
上面例子的运算表就可以表为：
* a b
a a b
b a b
例6.1.1自然数集N上的加法和乘法是N上的二元代 数运算；减法和除法不是N上的二元代数运算， 因为两个自然数相减或相除可能得到的不是自 然数。 例6.1.2 整数集Z上的加法、减法、乘法都是Z上 的二元代数运算;除法不是Z上的二元代数运算. 例6.1.3 非零实数集R*上的乘法、除法是R*上的 二元代数运算；加法和减法不是R*上的二元代 数运算，因为两个非零实数相加或相减可能得 出0。 例6.1.4 矩阵加法和乘法是n阶实矩阵集合上的 二元代数运算。 例6.1.5 设S是一个非空集合，ρ（S） 是S的幂 集，则集合的交运算∩、并运算∪是ρ（S）上 的二元代数运算。
定义6.1.8 设S是一个非空集合，f1，……，fm 是S 上的若干代数运算，把S及其运算f1，…… ，fm看成一个整体来看,叫做一个代数系统， 记为（S， f1，……，fm）
例6.1.11 设S是一个非空集合，ρ（S） 是S的幂 集，∩和∪是ρ（S）上的交运算和并运算, 则（ρ（S），∩，∪）为代数系统。
Galois
第六章 群 、环、域 §6.1 代 数 系 统 对于代数系统而言,运算是它的决定性因 素,因此,必须首先明确运算的概念。 在代数系统中二元代数运算用得最多,所以 我们给出其定义并讨论其性质。 定义6.1.1 设S是一个非空集合，称S×S 到S的一个映射f为S的一个二元代数运 算，即,对于S中任意两个元素a,b,通过f, 唯一确定S中一个元素c： f（a，b）= c，常记为a * b = c。 由于一般情况下,(a,b),(b,a)是S×S中不 同的元，故a * b未必等于b * a。
定义6.1.6 设 * 和 + 是集合S上的两个 二元代数运算，如果对于S中任意两个元 素a，b，等式 a * （a + b） = a ， a + （a * b） = a， 都成立，则称运算 * 和 + 满足吸收律。 例6.1.7 整数集Z上的加法、乘法都满足 结合律和交换律，乘法对加法满足分配 律，但加法对乘法不满足分配律；减法 不满足结合律，也不满足交换律；它们 都不满足等幂律，也不满足吸收律。
例6.1.12 设Z为整数集,Z0为偶数集,N为自然数集 ,+、· 是数的加法和乘法,则(Z,+)、(Z,· )、 (Z,+,· )都是代数系统； (Z0,+)、(Z0,· )、 (Z0,+,· )都是代数系统； (N,+) 、(N,· )、(N,+,· )都是代数系统； 如果用 、⊙分别表示求最大公约数和求最小公 倍数的运算，那么 （Z, ,⊙）、（Z0, ,⊙）与（N， ，⊙）也都是 代数系统。 例6.1.13 设∧、∨是真值集合{0，1}上的合取与 析取运算，则（{0，1}，∧，∨）是代数系统。
* a
a b
b a
b
b
a
定义6.1.4 设 * 是集合S上的二元代数运算，a 是S中的元素，如果a * a = a 则称a是关于运算 * 的幂等元。 如果S中每个元素都是关于*的幂等元，则称运算 “*”满足等幂律。 如在整数中看，1是关于乘法的幂等元，0是关于 加法的幂等元，但乘法和加法都不满足等幂律。 定义6.1.5 设 * 和 + 是集合S上的两个二元代 数运算，如果对于S中任意三个元素a，b，c，等 式 a *(b + c)= (a * b)+ (a * c)， (b + c)* a =(b * a)+(c * a） 都成立，则称运算 * 对 + 满足分配律。
例6.1.8 n阶实矩阵集合上的加法满足结 合律,也满足交换律;乘法满足结合律， 但不满足交换律;它们都不满足等幂律, 也不满足吸收律。 例6.1.9 设S是一个非空集合，ρ(S)是S 的幂集,则ρ(S)上的交运算∩、并运算 ∪都满足结合律,交换律,∪对∩、∩对 ∪都满足分配律,它们都满足等幂律,也 满足吸收律。 定义6.1.7 设 * 是集合S上的二元代数运 算,如果对于S中任意三个元素a,b,c, （1）若 a * b = a * c，则b = c， （2）若 b * a = c * a，则b = c， 就称 * 满足消去律。
例如，整数集Z上的加法满足消去律，但乘法不 满足消去律，因为，3 * 0 = 5 * 0，但3≠5 。 例6.1.10 n阶实矩阵集合上的 加法满足消去律，但乘法不满足 消去律，例如， 1 1 1 1 1 0 11 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 = ,但
作业：181页，3。
§6.2 群 的 定 义 6.2.1 半 群 定义6.2.1 设G是一个非空集合，若· 为G上的二 元代数运算，且满足结合律，则称该代数系 统（G， · ）为半群。 例如，设S是一个非空集合，ρ（S） 是S的幂 集，∩和∪是ρ（S）上的交运算和并运算， 则（ρ（S），∩）为半群， （ρ（S），∪）为半群。 例6.2.1 设Z为整数集,+、-、· 是数的加法、 减法和乘法,则(Z,+)、(Z,· )都是半群； （Z， -）不是半群，因为减法不满足结合律。
例如，S={a,b}, 则S×S={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)} 映射f为： (a,a)----a (a,b)----a (b,a)----b (b,b)----b f称为S的一个二元代数运算，有 f(a,a)=a f(a,b)=a f(b,a)=b f(b,b)=b,也可表示为： a*a=a,a*b=a,b*a=b,b*b=b
定义6.1.2 设 * 是集合S上的二元代数运算， 如果对于S中任意两个元素a，b， 等式a * b = b * a都成立，则称运算“*”满 足交换律。 例如,整数上的加法，整数上的乘法。 例如，S={a,b} 运算*如下,不满足交换律
* a a a b a
b
b
b
定义6.1.3 设 * 是集合S上的二元代数运算， 如果对于S中任意三个元素a，b，c，等式 （a * b） * c = a * （b * c） 都成立，则称运算 * 满足结合律。 例如整数上的加法，整数上的乘法。 例如S={a,b}，运算*如下，则不满足结合律。
有限集合S上的一个二元代数运算，也可以用一 个运算表来表示： 例如，设S={1，-1} 运算*为普通的乘法运算， 则
* 1 -1
1 1 -1
-1 -1 1
上面例子的运算表就可以表为：
* a b
a a b
b a b
例6.1.1自然数集N上的加法和乘法是N上的二元代 数运算；减法和除法不是N上的二元代数运算， 因为两个自然数相减或相除可能得到的不是自 然数。 例6.1.2 整数集Z上的加法、减法、乘法都是Z上 的二元代数运算;除法不是Z上的二元代数运算. 例6.1.3 非零实数集R*上的乘法、除法是R*上的 二元代数运算；加法和减法不是R*上的二元代 数运算，因为两个非零实数相加或相减可能得 出0。 例6.1.4 矩阵加法和乘法是n阶实矩阵集合上的 二元代数运算。 例6.1.5 设S是一个非空集合，ρ（S） 是S的幂 集，则集合的交运算∩、并运算∪是ρ（S）上 的二元代数运算。
定义6.1.8 设S是一个非空集合，f1，……，fm 是S 上的若干代数运算，把S及其运算f1，…… ，fm看成一个整体来看,叫做一个代数系统， 记为（S， f1，……，fm）
例6.1.11 设S是一个非空集合，ρ（S） 是S的幂 集，∩和∪是ρ（S）上的交运算和并运算, 则（ρ（S），∩，∪）为代数系统。
Galois
第六章 群 、环、域 §6.1 代 数 系 统 对于代数系统而言,运算是它的决定性因 素,因此,必须首先明确运算的概念。 在代数系统中二元代数运算用得最多,所以 我们给出其定义并讨论其性质。 定义6.1.1 设S是一个非空集合，称S×S 到S的一个映射f为S的一个二元代数运 算，即,对于S中任意两个元素a,b,通过f, 唯一确定S中一个元素c： f（a，b）= c，常记为a * b = c。 由于一般情况下,(a,b),(b,a)是S×S中不 同的元，故a * b未必等于b * a。
定义6.1.6 设 * 和 + 是集合S上的两个 二元代数运算，如果对于S中任意两个元 素a，b，等式 a * （a + b） = a ， a + （a * b） = a， 都成立，则称运算 * 和 + 满足吸收律。 例6.1.7 整数集Z上的加法、乘法都满足 结合律和交换律，乘法对加法满足分配 律，但加法对乘法不满足分配律；减法 不满足结合律，也不满足交换律；它们 都不满足等幂律，也不满足吸收律。
例6.1.12 设Z为整数集,Z0为偶数集,N为自然数集 ,+、· 是数的加法和乘法,则(Z,+)、(Z,· )、 (Z,+,· )都是代数系统； (Z0,+)、(Z0,· )、 (Z0,+,· )都是代数系统； (N,+) 、(N,· )、(N,+,· )都是代数系统； 如果用 、⊙分别表示求最大公约数和求最小公 倍数的运算，那么 （Z, ,⊙）、（Z0, ,⊙）与（N， ，⊙）也都是 代数系统。 例6.1.13 设∧、∨是真值集合{0，1}上的合取与 析取运算，则（{0，1}，∧，∨）是代数系统。
* a
a b
b a
b
b
a
定义6.1.4 设 * 是集合S上的二元代数运算，a 是S中的元素，如果a * a = a 则称a是关于运算 * 的幂等元。 如果S中每个元素都是关于*的幂等元，则称运算 “*”满足等幂律。 如在整数中看，1是关于乘法的幂等元，0是关于 加法的幂等元，但乘法和加法都不满足等幂律。 定义6.1.5 设 * 和 + 是集合S上的两个二元代 数运算，如果对于S中任意三个元素a，b，c，等 式 a *(b + c)= (a * b)+ (a * c)， (b + c)* a =(b * a)+(c * a） 都成立，则称运算 * 对 + 满足分配律。
例6.1.8 n阶实矩阵集合上的加法满足结 合律,也满足交换律;乘法满足结合律， 但不满足交换律;它们都不满足等幂律, 也不满足吸收律。 例6.1.9 设S是一个非空集合，ρ(S)是S 的幂集,则ρ(S)上的交运算∩、并运算 ∪都满足结合律,交换律,∪对∩、∩对 ∪都满足分配律,它们都满足等幂律,也 满足吸收律。 定义6.1.7 设 * 是集合S上的二元代数运 算,如果对于S中任意三个元素a,b,c, （1）若 a * b = a * c，则b = c， （2）若 b * a = c * a，则b = c， 就称 * 满足消去律。
例如，整数集Z上的加法满足消去律，但乘法不 满足消去律，因为，3 * 0 = 5 * 0，但3≠5 。 例6.1.10 n阶实矩阵集合上的 加法满足消去律，但乘法不满足 消去律，例如， 1 1 1 1 1 0 11 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 = ,但
作业：181页，3。
§6.2 群 的 定 义 6.2.1 半 群 定义6.2.1 设G是一个非空集合，若· 为G上的二 元代数运算，且满足结合律，则称该代数系 统（G， · ）为半群。 例如，设S是一个非空集合，ρ（S） 是S的幂 集，∩和∪是ρ（S）上的交运算和并运算， 则（ρ（S），∩）为半群， （ρ（S），∪）为半群。 例6.2.1 设Z为整数集,+、-、· 是数的加法、 减法和乘法,则(Z,+)、(Z,· )都是半群； （Z， -）不是半群，因为减法不满足结合律。
例如，S={a,b}, 则S×S={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)} 映射f为： (a,a)----a (a,b)----a (b,a)----b (b,b)----b f称为S的一个二元代数运算，有 f(a,a)=a f(a,b)=a f(b,a)=b f(b,b)=b,也可表示为： a*a=a,a*b=a,b*a=b,b*b=b
定义6.1.2 设 * 是集合S上的二元代数运算， 如果对于S中任意两个元素a，b， 等式a * b = b * a都成立，则称运算“*”满 足交换律。 例如,整数上的加法，整数上的乘法。 例如，S={a,b} 运算*如下,不满足交换律
* a a a b a
b
b
b
定义6.1.3 设 * 是集合S上的二元代数运算， 如果对于S中任意三个元素a，b，c，等式 （a * b） * c = a * （b * c） 都成立，则称运算 * 满足结合律。 例如整数上的加法，整数上的乘法。 例如S={a,b}，运算*如下，则不满足结合律。