2020届高考数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题第4讲不等式、线性规划练习文

第4讲 不等式、线性规划

[考情分析] 不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主．(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题．(2)不等式的相关知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，在解答题中，特别是在解析几何中利用不等式求最值、范围或在解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高．

热点题型分析

热点1 不等式的性质及解法

1.利用不等式的性质比较大小要注意特殊值法的应用．

2.一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax 2

＋bx ＋c ＞0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．

3.简单分式不等式的解法 (1)

f x

g x

>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f x

g x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨

⎪⎧

f x

g x ≥0≤0，g x ≠0.

1.已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2

>b 2

；②2a >2

b －1

；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3

>2a 2

b .

其中一定成立的不等式为( ) A.①②③ B ．①②④ C.①③④ D ．②③④

答案 A

解析 解法一：由a >b >0可得a 2

>b 2

，所以①成立； 由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x

在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1

，所以②成立；

∵a >b >0，∴a >b ，

∴(a －b )2

－(a －b )2

＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，所以③成立； 若a ＝3，b ＝2，则a 3

＋b 3

＝35,2a 2

b ＝36，

有a 3＋b 3<2a 2

b ，所以④不成立．故选A. 解法二：令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2

>b 2

，②2a >2b －1

，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2

b 不成立，故选

A.

2.函数f (x )＝3x －x 2

的定义域为( ) A.[0,3] B.(0,3)

C.(－∞，0]∪[3，＋∞)

D.(－∞，0)∪(3，＋∞) 答案 A

解析 要使函数f (x )＝3x －x 2

有意义，则3x －x 2

≥0，即x 2

－3x ≤0⇔x (x －3)≤0，解得0≤x ≤3，故选A.

3.不等式2x －4

x －1≤1的解集为( )

A.{x |x <1或x ≥3} B ．{x |1≤x ≤3} C.{x |1

答案 C

解析 由2x －4x －1≤1，移项得2x －4x －1－1≤0，即x －3

x －1

≤0，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x －3

x －1≤0，

x ≠1，

解得1

1.判断不等式是否成立，需要利用性质推理判断，也经常采用特值法进行验证或举出反例，如第1题中对于a 与a －b 或者a －b 与0的大小判断易出错，利用不等式的性质a ＞b ＞0，∴a －b ＞b －b ＝0，即a －b ＞0.

2.解一元二次不等式要注意二次项系数的正负，通常先把系数化正再求解，不等式的解集要写成集合或区间的形式．如第2题易忽略二次项系数为负，由3x －x 2

≥0得出选项C.

3.解不等式时同解变形出错，第3题易出现的问题有两个方面：一是错用不等式的性质直接把不等式化为2x －4≤x －1求解；二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件，导致增解.

热点2 基本不等式及其应用

1.利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则

(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)

(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2

.(简记：和定积最大)

2.利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：

(1)通过变形直接利用基本不等式解决．

(2)对条件变形，根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，通过“1”的代换、添项、分离常数等手段使之能运用基本不等式．常见的转化方法有：

①若a x ＋b y

＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )·1＝(mx ＋ny )·⎝ ⎛⎭

⎪⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2mnab (字母均

为正数)；

②x ＋

b

x －a

＝x －a ＋

b

x －a

＋a ≥a ＋2b (x >a ，b >0)．

1.下列结论正确的是( ) A.当x >0且x ≠1，lg x ＋1

lg x

≥2 B.

1

x 2

＋1

<1(x ∈R ) C.当x >0时，x ＋

1

x ≥2

D.当0

x

无最大值 答案 C

解析 对于A ，当0

x 2

＋1

＝1，不等式不成立；对于C ，当x >0时，x ＋

1x

≥2

x ·

1

x

＝2，当且仅当x ＝1时等号成立；

对于D ，当0

2

.故选C.

2.已知0

3

解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦

⎥⎤3x ＋4－3x 22＝4

3，当且仅当3x ＝4－3x ，