弹塑性力学2应变分析详解

x
u x
y
v y
z
w z
（2－5）
当 x， y， z 大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。
z
C
C
B
w
w w dx
A
B
x
A
B
o
u
x
u u dx x
下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。
取变形前的直角BAC或 BAC，变形时，棱边AB转动
一个角度 ，棱边 AC转动一个角度 ，在xoz平面内，角 应变用 zx表示，其值为 和 之和，即：
w dx x
w x
AB dx u dx 1 u
A
o
u
B
x
u u dx x
在分母中 u（
x
x
x
x）与1相比是一个微量，故可以略去，因而
得出，
w
x
9
同理可得： 所以有剪应变：
u
z
zx
u z
w x
同理可得另外两个剪应变 xy， yz 。即有剪应变的表达
式（2－7）
xy
u y
v x
yz
第二章 应变分析
第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系 第二节 应变状态分析 第三节 主应变 第四节 应变张量和应变偏量 第五节 应变协调方程（连续性方程、相容方程）
1
第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系
定义：正应变
x
lim u x0 x
du dx
变形均匀，则有:
x
l l0 l0
l l0
u1
f1(x, y, z)
f1(x, y, z) dx x
1 2 2!
f1(x, y, z) dx2 x 2
略去高阶项后得到：
u1
u
u x
dx
（2－4）
由于AB
dx
则AB在x轴上的投影的伸长量为 u1
u
u x
dx ，
则有：
x
u1 u dx
u x
6
❖ 同理可得平行于 y 轴和 z 的边长的正应变，因此有：
v z
w y
zx
u z
w x
（2－7）
说明：剪应变的正负号 ij 0(i, j x, y, z)表示夹角变小 ij 0(i, j x, y, z)表示夹角变大
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所以，正应变和剪应变为：
x
u ， x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
u z
w x
可知：如果 已知位移分 量可以很简 单的求出应 （2－8） 变分量；反 之，则问题 比较复杂。
N
p dr
x
y z
x y
z o
y
dx ldr，dy mdr，dz ndr
x
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因为 和位移分量的导数都是微小的，它们的平方和 N
乘积可以不计，可得：
(1
2
N
)
l
2
(1
2
u x
)
2lm
u y
2l
n
u z
m2
(1
2
v ) y
2mn v 2ml v l w m w n2 (1 2 w) 2nl w 2nm w
z
x x y
z
x
y
利用 l 2 m2 n2 1 ，上式可得：
N＝l 2
u x
m2
v y
n2
w z
mn( w y
v ) z
l
n(u z
w) x
lm( v x
u ) y
再利用几何方程可得：
N＝l 2 x m2 y n2 z mn yz l n zx lm xz （2－17）
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下面来求PN和 PN 的夹角的改变
，
u z
都是微小量，在展开上式后，略
去二阶以上的微小量得：
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l1
l(1－ N
u ) x
m
u y
பைடு நூலகம்
n
u z
同理可得出 m1，n1，即得出式（2－18）
12
dx ldr，dy mdr，dz ndr （2－13）
设P点的位移分量为u，v，w，则N点的位移分量为：
uN f (x dx, y dy, z dz) f (x, y, z) f dx f dy f dz (dx, dy, dz)的高阶项 x y z
z N
uN
u
u x
dx
zx
（2－6）
若A点在z 轴方向的位移为 w f2 (x, y, z) ，
8 8
则B点在Z 轴方向的位移为
w1
f2 (x dx, y, z)
w
w dx ， x
B点与A点沿Z 轴方向的位移之差为: z
C
C
BB
w1
w
w x
dx
w
A
B
B
w w dx x
在直角三角形 ABB 中，可得：
tg BB
式（2－8）称为柯西（Cauchy）几何关系。[式(2－8)的 提出者：法国工业学院的数学教授柯西（Cauchy）(1789－ 1857)，于1822年发表的论文提出的]
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第二节 应变状态分析
微小线段PN＝dr的正应变，以及经过P
点的微小线段PN和 PN 的夹角的改变。
z N
N
p dr
o
y
x
令PN的方向余弦为l、m、n，则PN在坐标轴上的投影为：
设PN在变形后的方向余弦为 l1，m1，n1 ，则由式（2－13）
和式（2－15）可以得到：
dx u dx u dy u dz
l1
x y z
dr(1 N )
[l(1
u x
)
m
u y
n
u ](1 z
N
) 1
[l(1
u ) m u x y
n
u z
][1
N
N2
]
注意到
N
，u x
，
u y
u y
dy
u dz z
N
p dr
o
y
同理可得 ： vN，wN 即有式（2－14） x
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u u u
u N
u
x
dx
y
dy
z
dz
v N
v v dx x
v dy y
v dz z
z N
N
p dr
o
y
wN
w w dx w dy x y
w dz z
x
在变形后，线段PN在坐标轴上的投影为（2－15）式：即
u u u
dx uN
u
dx
x
dx
y
dy
z
dz
dy
vN
v
dy
v x
dx
v y
dy
v z
dz
dz
wN
w
dz
w x
dx
w y
dy
w z
dz
（2－15）
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令线段PN的正应变为 N ，则该线段变形后的长度为：
dr N dr 而且有
(dr
N dr)2
(dx
u x
dx
u y
dy
u z
即：材料力学的拉伸应变。
（2－1） （2－2）
3
4
设A点的位移是 u，w，它们是坐标的函数，因此有：
u f1(x, y, z) w f2 (x, y, z) （2－3）
5
而B点的坐标为（x+dx，y，z），因此B点在x方向的位移为：
u1 f1(x dx, y, z)
根据泰勒级数展开式，可得：
dz ) 2
（2－16）
(dy v dx v dy v dz)2 (dz w dx w dy w dz)2
x y z
x y z
上式两边同除以 (dr ) 2，并利用（2－13）式得：
(1 N
)2
[l(1
u ) x
m u y
n
u ]2 z
z N
[l v m(1 v ) n v ]2 [l w m w n(1 w)]2