第四章 第一讲 正态分布及其性质

0 . 1587
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
例 3 某 种 器 件 的 寿 命 X 以 小 时 计 ） 服 从 μ 5 0 0， σ 6 0的 正 态 分 布 . （ （1） 求 P { X 5 6 0}（ 2） 求 P { X 5 0 0 2 0 0}（ 3） P { X x } 0 .1, 求 x . ; ;
1.6 1 0 1 P (0 X 1.6) 0.3094 2 2
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) (
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

)
第四章 第一讲 正态分布及其性质
4、标准正态分布的分位数
双侧分位数：
实数 u 满足 P X u ，则称 u 为标准正态分布关于 2 2 (x) 的双侧分位数.
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正态分布的期望和方差 分别为两个参数 μ 和 σ .
2
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
5、正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如
测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;
正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.
第四章 正态分布
第一讲
正态分布及其性质
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
第一讲 正态分布及其性质
• • • • 一、正态分布 二、标准正态分布 三、正态变量的线性组合 四、小结
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
一、正态分布
1、定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) 1 2 πσ
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
6、正态分布下的概率计算
原函数不是 初等函数
P { X x } F ( x )
?
e 2 πσ
1
x

(t μ) 2σ
2
2
dt
方法一:利用MATLAB软件包计算(演示)
方法二:转化为标准正态分布查表计算
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μ)
2
t
2
1 2 πσ
2

( x μ) 2σ
2
2
e
d x.
D(X )
2 t σ te 2 2π 2 σ 0 2π 2π
2π
2


令
dt

x μ σ
t,得
t e
2




t
2
e
2

dt
σ . σ
2 2
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( 1 ) 曲线关于
x μ 对称 ;
( 2 ) 当 x μ 时 , f ( x ) 取得最大值
( 3 ) 当 x 时 , f ( x ) 0 ; ( 4 ) 曲线在 x μ σ 处有拐点 ;
1 2 πσ
;
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
2

X ~ N ( 0 ,1) ，对于给定的 ( 0 1) ，如果

标准正态分布双侧分位数的意义如图1所示 . 双侧分位数的计算方法： 2 由定义知 ( u ) 1
2

2
查标准正态分布函数值表便可得 u 2
0 .1 0 0 .0 5 0 .0 1

( x)d x

x

1 2 πσ

( x μ) 2σ
2
2
e
d x.
令
x μ σ
t x μ σ t,
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所以
E(X )
x
1 2 π 1


1 2 πσ

( x μ) 2σ
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正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定， 当μ和
σ不同时，是不同的正态分布。 下面我们介绍一种最重要的正态分布
标准正态分布
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二、标准正态分布
1、定义
当正态分布 N ( μ , σ ) 中的 μ 0 , σ 1 时 , 这样
2
2
e
dx

( μ σt )e
t
2

t
2
2
dt
t
2
μ
μ. μ
2 π


e
2
dt
σ
2 π


te
2
dt
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D(X )


( x μ) f ( x)d x
2

( x
σ
2

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正态分布所能刻画的随机现象： 若随机变量X 受到众多相互独立的随机因素的影响，每 一个别因素的影响都是微小的，而且这些影响具有加性特征， 则 X 服从正态分布. 例如：
各种测量的误差；人的生理特征指标； 工厂产品的尺寸；农作物的收获量； 海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度；学生们的考试成绩等等. 正态分布是概率论中最重要的分布，体现在以下方面： ⑴正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量 的随机现象都是服从或近似服从正态分布的. 事实上如果一个随 机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定 性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布. ⑵正态分布可以作为许多分布的近似分布. ⑶正态分布有许多其它分布所不具备的良好的性质.
(x μ) 2σ
2 2
高斯资料
e
, x , ,
其中 μ , σ ( σ 0 ) 为常数 , 则称 X 服从参数为 记为 X ~ N ( μ , σ ).
2
μ , σ 的正态分布或高斯分布
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2、正态概率密度函数的几何特征
所以有 P 0 . 84 X 0 . 64 ( 0 . 64 ) ( 0 . 84 )
0 . 7389 0 . 2005 0 . 5384
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例 设X～N(0, 1)，求P(－1＜X≤2)，P(X＞2.5). 解 P( －1＜X≤2 ) = Φ( 2 )－Φ( －1 ) = Φ( 2 )－[1－Φ( 1 )] = 0.9772－(1－0.8413) = 0.8185. P{ X ＞ 2.5 }= 1－Φ( 2.5 )
解 ： 已 知 X ~ N (5 0 0, 6 0 )
（1） P { X 560 } 1 P { X 560 }
2
1 P{
X 500 60

560 500 60
}
560 500 1 60
1 1
1 0 . 8413
正态分布 N ( , 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置，
的陡峭程度.
决定了图形中峰
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3、正态分布的分布函数
F (x) 1 2πσ

x

(t μ ) 2σ
标准正态分布的图形
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2、标准正态分布的概率计算
分布函数
( x ) PX x 1 2
x
e


t
2
2
dt x R
( x ) 1 ( x ) P a X b ( b ) ( a )
u / 2 1 .6 4 5 u / 2 1 .9 6 u / 2 2 .5 7 6
2
u
2
u
2
x
也可直接查依据上式编制的标准正态分布双侧分位数表。
图1
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上侧分位数： X ~ N ( 0,1) ，对于给定的 (0 1) , 如果 实数 u 满足 P X u ，则称 u 为标准正态分布关于 的上侧分位数. (x) 标准正态分布上侧分位数的意义如图2所示.
P {2 < X 5} P ( 23 2 P (U 1) P (U
标准化


53 2 1 2
)
1
) (1) (
) 1 = 0 .5 3 2 8
P {-3 X < 9} P (
2 -3 3

X 3 2

93 2
)
2
P (U 3) P (U 3) 2 (3) 1 = 0 .9 9 7 4 ，
u 2.3 2 6
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例3
某种器件的寿命 X （以小时计）服从 μ 500 ， σ 60 的正态分布。 （1）求 P { X 560 }; 2）求 P { X 500 200 }; 3） P { X x } 0 . 1, 求 x . （ （
2
2
e
dt
正态分布分布函数图形演示
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4、 正态分布的期望与方差
设 X ~ N ( μ , σ ), 其概率密度为
2
f (x)
1 2 πσ

( x μ) 2σ
2
2
e
,
σ 0,
x .
则有
E(X )
xf
利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概 率计算问题。 例1 设随机变量X ~ N ( 0,1) ,试求 解 查表知
P 0 . 84 X 0 . 64
(0.64) 0.7389
( 0 . 84 ) 1 ( 0 . 84 ) 0 . 2005
解 ： （ 2） P { X 5 0 0 2 0 0} 1 P { X 500 200 }
1 P{ 200 60 X 500 60 200 60 }
200 200 1 60 60
= 1－0.9938 = 0.0062.
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(3)正态分布的标准化：
若 X ~ N ( , )， Y 令 2 若 X ~ N (3, 2 )，
2
标准化
X

X 3 2
则 ， Y ~ N (0,1)
求 P {2 < X 5}， P {-4 X < 1 0}， P {|X | 5}， P {3 < X }
2
的正态分布称为标准正
x
2
态分布 , 记为
N ( 0 , 1 ).
标准正态分布的概率密度表示为
(x)
1 2π e
2
,
x ,
标准正态分布的分布函数表示为
(x)

x
1 2π

t
2
e
2
d t,
x .
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
上侧分位数的计算方法： 由定义知 ( u ) 1

u
查标准正态分布函数值表便可得 u
x
图2 也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系,借助于标 准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查 的双侧分位数.
0 .0 5
u 1 .6 4 5
0 .0 1
P {|X | 2}= (2 . (0 . 0.3023 ， P {3< X}= 0.5 5)5)=
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
3、一般正态分布的概率计算
分布函数 F ( x ) P X x
y t
x
1 2
x

e

(t ) 2
2
2
dt


1 2

P a X b (



y
2
e
2
dy (
x
b

)
在求解一般正态分布的概率计算问题时，先将其转化为标准正 态分布问题，然后利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值， 从而解决概率计算问题。 例2 设随机变量 X ~ N (1,2 2 ) ，试求 P 0 X 1 . 6 1 2 解