《高等数学》试题库(有答案)

《高等数学》试题库（有答案）
一、选择题
（一）函数
1、下列集合中（）是空集。

{}{}4,3,02,1,0. a {}{}7,6,53,2,1. b (){}x y x y y x c 2,.==且{}
01.≥〈x x x d 且
2、下列各组函数中是相同的函数有（）。

()()()2
,.x x g x x f a == ()()2,.x x g x x f b == ()()x x x g x f c 22cos sin ,1.+== ()()23
,.x x g x
x x f d == 3、函数()5
lg 1-=x x f 的定义域是（）。

()()+∞∞-,55,. a ()()+∞∞-,66,. b
()()+∞∞-,44,. c ()()()()+∞∞-,66,55,44,. d
4、设函数()⎪⎪
⎪⎪⎪-+2222x x x 〈+∞≤〈≤〈∞〈-x x x 2200 则下列等式中，不成立的是（）。

()()10.f f a = ()()10.-=f f b ()()22.f f c =- ()()31.f f d =- 5、下列函数中，（）是奇函数。

x x
a . x x
b sin .2 11.+-x x a a
c 21010.x
x d -- 6、下列函数中，有界的是（）。

arctgx y a =. tgx y b =. x
y c 1.= x y d 2.= 7、若()()11-=-x x x f ，则()=x f （）。

()1.+x x a ()()21.--x x b ()1.-x x c .d 不存在
8、函数x y sin =的周期是（）。

π4.a π2.b π.c 2.π
d
9、下列函数不是复合函数的有（）。

x y a ⎪⎪
⎪⎪⎪=21. ()21.x y b --= x y c sin lg .= x e y d sin 1.+= 3 10、下列函数是初等函数的有（）。

11.2--=x x y a ⎪⎪⎪+=21.x
x y b 00≤〉x x x y c cos 2.--= ()()2121lg 1sin .⎪⎪⎪⎪⎪⎪+-=x e y d x
11、区间[,)a +∞, 表示不等式（）.
（A ）a x <<+∞（B ）+∞<≤x a （C ）a x < （D ）a x ≥
12、若ϕ3()1t t =+,则ϕ3(1)t +=（）.
（A ）31t
+ （B ）61t + （C ）62t + （D ）963332t t t +++ 13
、函数log (a y x =+ 是（）.
（A ）偶函数（B ）奇函数（C ）非奇非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数14、函数()y f x =与其反函数1()y f x -=的图形对称于直线（）. （A ）0y
= （B ）0x = （C ）y x = （D ）y x =- 15、函数1102x y -=-的反函数是（）.
（A ）1x lg 22y x =
- （B ）log 2x y = （C ）21log y x
= （D ）1lg(2)y x =++ 16、函数sin cos y x x =+是周期函数，它的最小正周期是（）.
（A ）2π（B ）π（C ）
2π（D ）4π17、设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（）．
A ．x
B ．x + 1
C ．x + 2
D ．x + 3
18、下列函数中，（）不是基本初等函数．
A ．x y )e 1
(= B ．2ln x y = C ．x
x y cos sin = D ．35x y = 19、若函数f()1，则f(x)=( ) A. +1
B. 1
C. (1)
D. 1
20、若函数f(1)2，则f(x)=( )
2 B.(1) 2 C. (1) 2 D. x 2-1
21、若函数f(x)，g(x)1，则函数f(g(x))的定义域是( ) >0 ≥0
C ≥1 D. x>-1
22、若函数f(x)的定义域为(0,1)则函数f(1)的定义域是( )
A.(0，1)
B.(-1，0)
C.(1，1)
D. (1
，e)
23、函数f(x)1|是( )
A.偶函数
B.有界函数
C.单调函数
D.连续函数
24、下列函数中为奇函数的是( ) (1) B.⎪⎪⎪⎪⎪++=21ln x x y 2 25、若函数f(x)是定义在(-∞，+∞)内的任意函数，则下列函数中（）是偶函数。

() (x)| C.[f(x)]2 (x)()
26、函数2
1sin x x x y +=是（）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数27、下列函数中（）是偶函数。

1sinx
x y .A 2+= x 1x
1ln
y .B +-= )x (f )x (f y .C -+= )x (f )x (f y .D --= 28、下列各对函数中，（）中的两个函数相等。

x )x (g ,x )x (f .A 2== x 1x ln )x (g ,x x x ln x )x (f .B 2 -=-=
x ln 2)x (g ,x ln )x (f .C 2== 1x )x (g ,1x 1x )x (f .D 2+=--=
（二）极限与连续
1、下列数列发散的是（）。

a 、0.9，0.99，0.999，0.9999，……
b 、5
4,45,32,23……c 、()n f =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪-+n
n n n 212212 为偶数为奇数n n d 、()n f =⎪⎪⎪⎪⎪-+n n n n 11 为偶数为奇数n n 2、当∞→x 时，的极限（）。

a 、2π
= b 、2π
-= c 、∞= d 、不存在，但有界
3、11
lim 1--→x x x （）。

a 、1-=
b 、1=
c 、=0
d 、不存在
4、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（）。

a 、x 1sin
b 、x
x sin c 、12--x d 、x ln 5、下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有（）。

a 、()+→0lg x x b 、()1lg →x x c 、1
32
+x x ()+∞→x d 、()-→01x e x 6、如果()∞=→x f x x 0lim ，()∞=→x g x x 0
lim ，则必有（）。

a 、()()[]∞=+→x g x f x x 0lim
b 、()()[]0lim 0
=-→x g x f x x c 、()()
01lim 0=+→x g x f x x d 、()∞=→x kf x x 0lim （k 为非零常数）7、()=--→1
1sin lim 21x x x （）。

a 、1 b 、2 c 、0 d 、2
1 8、下列等式中成立的是（）。

a 、e n n n =⎪⎪⎪⎪⎪+∞→21lim b 、e n n n =⎪⎪
⎪⎪⎪++∞→211lim c 、e n n n =⎪⎪⎪⎪⎪+∞→211lim d 、e n n n =⎪⎪⎪⎪⎪+∞→211lim
9、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（）。

a 、是低阶无穷小量
b 、是同阶无穷小量
c 、是等阶无穷小量
d 、是高阶无穷小量
10、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（）。

a 、充要条件
b 、充分条件
c 、必要条件
d 、无关的条件
11、若数列{x n }有极限a ,则在a 的ε邻域之外，数列中的点（）. （A ）必不存在（B ）至多只有有限多个
（C ）必定有无穷多个（D ）可以有有限个，也可以有无限多个
12、设0, 0(), lim () , 0x x e x f x f x ax b x →⎪≤=⎪+>⎪若存在, 则必有( ) .
(A) a = 0 , b = 0 (B) a = 2 , b = －1 (C) a = －1 , b = 2
(D)a 为任意常数, b = 1
13、数列0，13，24，35，46
，……（）. （A ）以0为极限（B ）以1为极限（C ）以2n n -为极限（D ）不存在极限14、数列｛y n ｝有界是数列收敛的( ) .
（A ）必要条件(B) 充分条件(C) 充要条件(D)无关条件
15、当x —>0 时，( )是与x 等价的无穷小量.
(A) 2 x (B) x (C)1ln(12)2x + (D) x (2)
16、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（）.
（A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值
（B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值（C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在（D ）如果0()f x 存在则必等于极限值
17、如果0lim ()x x f x →+与0
lim ()x x f x →-存在，则（）.
（A ）0lim ()x x f x →存在且00
lim ()()x x f x f x →= （B ）0lim ()x x f x →存在但不一定有00
lim ()()x x f x f x →= （C ）0
lim ()x x f x →不一定存在（D ）0
lim ()x x f x →一定不存在18、无穷小量是（）.
（A ）比0稍大一点的一个数（B ）一个很小很小的数
（C ）以0为极限的一个变量（D ）0数
19、无穷大量与有界量的关系是（）.
（A ）无穷大量可能是有界量（B ）无穷大量一定不是有界量（C ）有界量可能是无穷大量（D ）不是有界量就一定是无穷大量
20、指出下列函数中当0x +→时（）为无穷大量.
（A ）21x
-- （B ）sin 1sec x x + （C ）x e - （D ）1x e 21、当x →0时，下列变量中（）是无穷小量。

x x sin .A x e 1.B - x x x .C 2- x )x 1ln(.D +
22、下列变量中（）是无穷小量。

0) (x e .A x 1
-→0) (x x 1sin .B →)3 (x 9x 3x .C 2→-- )1x (x ln .D →23、=∞→x
x x 2sin lim （）A.1 B.0 C.1/2 D.2 24、下列极限计算正确的是（）e x 11lim .A x 0x =⎪⎪⎪⎪⎪+→1x 1sin x lim .B x =∞→1x 1sin x lim .C 0x =→1x x sin lim .D x =∞→
25、下列极限计算正确的是（）
1x x sin lim .A x =∞→e x 11lim .B x
0x =⎪⎪⎪⎪⎪+→5126x x 8x lim .C 232x =-+-→1x x lim .D 0x =→
A. f(x)在0处连续
B. f(x)在0处不连续，但有极限
C. f(x)在0处无极限
D. f(x)在0处连续，但无极限
27、若0
lim ()0x x f x →=，则（）. ) (, 0 x 1 x 2 0 x 1 x ) x ( f . 26、2 则下列结论正确的是设⎪⎪⎪≥+ < + =
（A ）当()g x 为任意函数时，才有0
lim ()()0x x f x g x →=成立（B ）仅当0lim ()0x x g x →=时，才有0
lim ()()0x x f x g x →=成立（C ）当()g x 为有界时，有0 lim ()()0x x f x g x →=成立（D ）仅当()g x 为常数时，才能使0
lim ()()0x x f x g x →=成立28、设0lim ()x x f x →及0 lim ()x x g x →都不存在，则（）. （A ）0lim[()()]x x f x g x →+及0
lim[()()]x x f x g x →-一定都不存在（B ）0lim[()()]x x f x g x →+及0
lim[()()]x x f x g x →-一定都存在（C ）0lim[()()]x x f x g x →+及0
lim[()()]x x f x g x →-中恰有一个存在，而另一个不存在（D ）0lim[()()]x x f x g x →+及0
lim[()()]x x f x g x →-有可能都存在29、22212lim(
)n n n n n →∞+++=（）. （A ）22212lim lim lim 0000n n n n n n n
→∞→∞→∞+++=+++= （B ）212lim n n n
→∞+++=∞（C ）2(1)12lim 2
n n n n →∞+= （D ）极限不存在30、201sin lim sin x x x x
→的值为（）. （A ）1 （B ）∞（C ）不存在（D ）0 31、1lim sin x x x
→∞=（）. （A ）∞（B ）不存在（C ）1 （D ）0 32、221sin (1)lim (1)(2)
x x x x →-=++（）. （A ）13 （B ）13- （C ）0 （D ）23
33、21lim(1)x x x →∞
-=（）. （A ）2e - （B ）∞（C ）0 （D ）
12 34、无穷多个无穷小量之和（）.
（A ）必是无穷小量（B ）必是无穷大量
（C ）必是有界量（D ）是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量
35、两个无穷小量α与β之积αβ仍是无穷小量，且与α或β相比（）.
（A ）是高阶无穷小（B ）是同阶无穷小
（C ）可能是高阶无穷小，也可能是同阶无穷小（D ）与阶数较高的那个同阶
36、设1sin 0()30x x f x x a
x ⎪≠⎪=⎪⎪=⎪，要使()f x 在(,)-∞+∞处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 （C ）1/3 （D ）3
37、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎪⎪==⎪⎪->⎪
的（）.
（A ）连续点（B ）第一类非可去间断点
（C ）可去间断点（D ）第二类间断点
38、方程410x x --=至少有一个根的区间是（）.
（A ）(0,1/2) （B ）(1/2,1) （C ）(2,3) （D ）(1,2) 39
、设10()00x f x x x -≠⎪=⎪⎪=⎪
，则0x =是函数()f x 的（）. （A ）可去间断点（B ）无穷间断点（C ）连续点（D ）跳跃间断点
40
、0()0x f x x k x ≠⎪=⎪⎪=⎪
，如果()f x 在0x =处连续，那么k =（）. （A ）0 （B ）2 （C ）1/2 （D ）1
41、下列极限计算正确的是（）．
（A ）e )11(lim 0=+→x x x （B ）e )1(lim 1=+∞→x x x （C ）11sin lim =∞→x x x （D ）1sin lim =∞→x
x x 42
、若31169
x x →=--,则f (x ) = ( ) . (A) 1 (B) 5 (
43、方程x 4 –x –1 = 0至少有一个实根的区间是( ) .
(A) (0,1/2) (B) (1/2, 1) (C) (2, 3) (D) (1, 2)
44、
函数
10()ln x f x x -+的连续区间是( ) . (A) (0, 5) (B) (0, 1) (C)(1, 5) (D) (0, 1) ∪(1,5)
（三）导数与微分
1、设函数()x f 可导且下列极限均存在，则不成立的是（）。

a 、()()()00lim 0f x
f x f x '=-→b 、()()()0000lim x f x x x f x f x '=∆∆--→∆
c 、()()()a f h a f h a f h '=-+→2lim 0
d 、()()()00002lim x f x x x f x x f x '=∆∆--∆+→∆2、设f (x )可导且下列极限均存在，则( ) 成立.
A 、)(21)()2(lim
0000x f x x f x x f x '=∆-∆+→∆
B 、)0()0()(lim 0f x f x f x '=-→
C 、)()()(lim 0000x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆
D 、)()()2(lim 0a f h a f h a f h '=-+→
3、已知函数
⎪⎪⎪>≤-=-001)(x e x x x f x ，则f (x )在x = 0处( ). ①导数(0)1f '=- ②间断
③导数)0(f '=1 ④连续但不可导
4、设()()()()321---=x x x x x f ，则()0f '=（）。

a 、3
b 、3-
c 、6
d 、6-
5、设()x x x f ln =，且()2
0='x f ，则()0x f =（）。

a 、e 2 b 、2
e c 、e d 、1 6、设函数()⎪
⎪⎪-=1ln x x x f 11〈≥x x ，则()x f 在点1处（）。

a 、连续但不可导b 、连续且()11='f c 、连续且()01='f d 、不连续
7、设函数()⎪⎪⎪=x
xe x f x
00≥〈x x 在点0处（）不成立。

a 、可导b 、连续c 、可微d 、连续，不可异
8、函数()x f 在点0x 处连续是在该点处可导的（）。

a 、必要但不充分条件
b 、充分但不必要条件
c 、充要条件
d 、无关条件
9、下列结论正确的是（）。

a 、初等函数的导数一定是初等函数
b 、初等函数的导数未必是初等函数
c 、初等函数在其有定义的区间内是可导的
d 、初等函数在其有定义的区间内是可微的
10、下列函数中（）的导数不等于
x 2sin 2
1。

a 、x 2sin 21 b 、x 2cos 41 c 、x 2cos 21- d 、x 2cos 411- 11、已知x y cos = ，则()8y =（）。

a 、x sin
b 、x cos
c 、x sin -
d 、x cos -
12、设
)1ln(2++=x x y ，则y ′= ( ). ①11
2++x x ②112+x ③122++x x x ④12+x x
13、已知()x f e
y = ，则y ''=（）。

a 、()()x f e
x f '' b 、()x f e c 、()()()[]x f x f e x f ''+' d 、()()[](){}x f x f e x f ''+'2
14、已知44
1x y =，则y ''=（）．A . 3x B . 23x C . x 6 D . 6
15、设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （）．
A ．x x f d )2(cos 2'
B ．x x x f d22sin )2(cos '
C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'
D ．x x x f d22sin )2(cos '-
16、若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的．
A ．函数f (x )在点x 0处有定义
B ．A x f x x =→)(lim 0
，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微
17、下列等式中，（）是正确的。

()x 2d dx x 21.A =
⎪⎪⎪⎪⎪=x 1d dx .B lnx ⎪⎪⎪⎪⎪=2x 1d dx x 1.C - ()cosx d sinxdx .D = 18、设(x)是可微函数，则()= ( )
A. F ´()
B. F ´()
C. ´()
D.
19、下列等式成立的是（）。

x
d dx x
1.A =
⎪⎪⎪⎪⎪-=2x 1d dx x 1.B
()x cos d xdx sin .C =
)
1a 0a (a d a ln 1
x d a .D x x ≠>=且
20、d(2x)=( )
A. 2
B. –2
C. 22
D. –22 21、f(x)，(x)=( )
dx x
.A 1 x
1.B x
1.C
dx x 1.D
22、若x
x f 2)(=，则
()()=∆-∆-→∆x
f x f x 00lim 0（）A.0 .1 C2 D.12 23、曲线2x 在2处切线的斜率是( ) A. e 4 B. e 2 C. 2e 2 D.2
24、曲线11=+=x x y 在处的切线方程是（）2
32x y .A +=
2
32x y .B -=
2
32x y .C --
= 2
3
2x y .D +-
=
25、曲线2
2y x x =-上切线平行于x 轴的点是( ).
A 、(0, 0)
B 、(1, -1)
C 、(–1, -1)
D 、(1, 1)
（四）中值定理与导数的应用
1、下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理的有（）。

a 、x y = []2,1- b 、1542
3
-+-=x x x y []1,0
c 、(
)2
1ln x
y += []3,0 d 、2
12x x
y +=
[]1,1-
2、函数23
++=x x y 在其定义域内（）。

a 、单调减少
b 、单调增加
c 、图形下凹
d 、图形上凹3、下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（
）．
A ．
B ．e x
C ．x 2
D ．3 - x 4、下列结论中正确的有（）。

a 、如果点0x 是函数()x f 的极值点，则有()0x f '=0 ；b 、如果()0x f '=0，则点0x 必是函数()x f 的极值点；
c 、如果点0x 是函数()x f 的极值点，且()0x f '存在，则必有()0x f '=0 ；
d 、函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值。

5、
函数()x f 在点0x 处连续但不可导，则该点一定（）。

a 、是极值点
b 、不是极值点
c 、不是拐点
d 、不是驻点
6、如果函数()x f 在区间()b a ,内恒有()0〉'x f ，()0〈''x f ，则函数的曲线为（）。

a 、上凹上升b 、上凹下降c 、下凹上升d 、下凹下降
7、如果函数22x x y -+=的极大值点是21=
x ，则函数22x x y -+=的极大值是（）。

a 、21
b 、49
c 、1681
d 、2
3 8、当()00〉''〈x f x x 时，；当()00〈''〉x f x x 时，，则下列结论正确的是（）。

a 、点0x 是函数()x f 的极小值点
b 、点0x 是函数()x f 的极大值点
c 、点（0x ，()0x f ）必是曲线()x f y =的拐点
d 、点0x 不一定是曲线()x f y =的拐点
9、当()00〉'〉x f x x 时，；当()00〈'〈x f x x 时，，则点0x 一定是函数()x f 的（）。

a 、极大值点b 、极小值点c 、驻点d 、以上都不对
10、函数f(x)=2x 2的单调增加区间是
⎪⎪⎪⎪⎪+∞⎪⎪⎪⎪⎪-,,.A 21021和⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪-∞-21021,,.B 和⎪⎪⎪⎪⎪210,.C ⎪⎪⎪⎪⎪+
∞,.D 21
11、函数f(x)3在（）()单调减少+∞∞-,.A ()单调增加+∞∞-,.B
()()单调增加单调减少+∞--∞-,,,.C 11 ()()单调增加单调减少+∞∞-,,,.C 00 12、函数f(x)2+1在[0，2]上（）
A.单调增加
B. 单调减少
C.不增不减
D.有增有减
13、若函数f(x)在点x 0处取得极值,则( )
0)x (f .A 0=' 不存在)x (f .B 0' 处连续在点0x )x (f .C 不存在或)x (f 0)x (f .D 00'=' 14、函数12的最小值点是（）。

A.0 .1 C1 D.2
15、函数f(x)1的驻点为（）。

A. 0 2 C. 0，0 1，2
16、若(),0='x f 则0x 是()x f 的（）
A.极大值点
B.最大值点
C.极小值点
D.驻点
17、若函数f (x )在点x 0处可导，则
()()=--→h
x f h x f h 22lim 000 )x (f .A 0' )x (f 2.B 0' )x (f .C 0'- )x (f 2.D 0'-
18、若,)1
(x x
f =则()='x f （）
x 1.A x 1-.B 2x 1.C 2x 1.D -
19、函数x x y -=3
3
单调增加区间是（）A.(-∞，-1) B.( -1，1) C.(1，+∞) D.(-∞1)和(1，+∞)
20、函数x
y 1=单调下降区间是（）A.(-∞，+∞) B. (-∞，0) C. (0，+∞) D. (-∞，0)和(0，+∞)
21、142+-=x x y 在区间（1,2）上是（）；
（A ）单调增加的（B ）单调减少的（C ）先增后减（D ）先减后增
22、曲线122
-x x 的垂直渐近线是（）；
（A ）y =1±（B ）y =0 （C ）x =1±（D ）x =0 23、设五次方程
54320123450a x a x a x a x a x a +++++=有五个不同的实根，则方程4320123454320a x a x a x a x a ++++=最多有
( )实根.
A 、5个
B 、4个
C 、3个
D 、2个
24、设()f x 的导数在x =2连续，又2'()lim 12x f x x →=--, 则
A 、x =2是()f x 的极小值点
B 、x =2是()f x 的极大值点
C 、(2, (2)f )是曲线()y f x =的拐点
D 、x =2不是()f x 的极值点, (2,(2)f )也不是曲线()y f x =的拐点.
25、点(0,1)是曲线
32y ax bx c =++的拐点，则( ). A 、a ≠0，0，c =1 B 、a 为任意实数，b =0，1
C 、a =0，b =1，c =0 ↓
D 、a = -1，b =2, c =1
26、设p 为大于1的实数，则函数()(1)p p
f x x x ==-在区间[0，1]上的最大值是（）. A 、1 B 、2 C 、112p - D 、1
2p
27、下列需求函数中，需求弹性为常数的有（）。

a 、aP Q =
b 、b aP Q +=
c 、12+=P
a Q d 、bP ae Q -= 28、设总成本函数为()Q C ，总收益函数为()Q R ，边际成本函数为MC ，边际收益函数为
MR ，假设当产量为0Q 时，可以取得最大利润，则在0Q Q =处，必有（）
a 、MC MR 〈
b 、MC MR =
c 、MC MR 〉
d 、以上都不对
29、设某商品的需求函数为2e 10)(p
p q -=，则当p =6时，需求弹性为（）．
A ．--53e
B ．－3
C ．3
D ．-
12
30、已知需求函数q(p)=20.4p ，当10时，需求弹性为( )
A. 24
B. -4
C. 4
D. 2e 4
（五）不定积分
1、=-⎪)d(e x x （）．
A ．c x x +-e
B ．c x x x ++--e e
C ．c x x +--e
D ．c x x x +---e e
2、下列等式成立的是( ) ．
A ．x x x 1d d ln =
B ．21d d 1x
x x -= C ．x x x sin d d cos = D ．x x x 1d d 12= 3、若)(x f 是)(x g 的原函数，则（）.
（A ）⎪+=C x g dx x f )()( （B ）⎪+=C x f dx x g )()( （C ）⎪+='C x g dx x g )()( （D ）⎪+='C x g dx x f )()( 4、如果⎪
⎪=)()(x dg x df ，则一定有（）. （A ）)()(x g x f = （B ）)()(x g x f '='
（C ）)()(x dg x df = （D ）⎪⎪=)()(x g d x f d
5、若⎪+=c e x dx x f x 22)(，则=)(x f （）.
（A ）x xe
22 （B ）x e x 222 （C ）x xe
2 （D ）)1(22x xe x + 6、若⎪+=C x F dx x f )()(，则⎪=--dx
e f e x x )(（）.
（A ）c e F x +)( （B ）c e
F x +--)( （C ）c e
F x +-)( （D ）c e F x +)( 7、设x e -是)(x f 的一个原函数，则⎪=dx x xf )(（）.
（A ）c x e x +--)1( （B ）c x e x ++-)1(
（C ）c x e x +--)1( （D ）c x e
x ++--)1( 8、设x e
x f -=)(，则='⎪dx x x f )(ln （）. （A ）c x +-
1 （B ）c x +-ln （C ）
c x +1 （D ）c x +ln 9、若⎪+=c x dx x f 2)(，则⎪=-dx x xf )1(2（）.
（A ）c x +-22)1(2 （B ）c x +--22)1(2
（C ）c x +-22)1(21 （D ）c x +--22)1(2
1 10、⎪
=xdx 2sin （）. （A ）
c x +2cos 2
1 （B ）c x +2sin （C ）c x +-2cos （D ）c x +-2cos
2 1 11、=+⎪x
dx cos 1 （）. （A ）c x tgx +-sec （B ）c x ctgx ++-csc （C ）c x tg +2 （D ）)42(π-x tg 12、已知x e f x +='1)( ，则=)(x f （）.
（A ）C x ++ln 1 （B ）C x x ++
221 （C ）C x x ++2ln 2
1ln （D ）C x x +ln 13、函数x x f sin )(=的一个原函数是（）.
（A ）x cos - （B ）x cos -
（C ）⎪⎪⎪<-≥-=02cos 0cos )(x x x x
x F （D ）⎪⎪⎪<+≥+-=0cos 0cos )(x C
x x C x x F 14、幂函数的原函数一定是（）。

A.幂函数
B.指数函数
C.对数函数
D.幂函数或对数函数
15、已知⎪+=C x F dx x f )()(，则⎪
=dx x f x
)(ln 1（）A. F() B. F() C. c x F x +)(ln 1 D. c x F +)1( 16、下列积分值为零的是（）
+-ππxdx sin x .A ⎪--+11x
x dx 2e e .B
⎪---11x
x dx 2e e .C ()⎪+-+22dx
x x cos .D ππ17、下列等式正确的是（）。

)x (f dx )x (f dx d .A =⎪ C )x (f dx )x (f dx d .B +=⎪)x (f )x (f dx d .C b a =⎪)x (f dx )x (f .D ='⎪18、下列等式成立的是（）。

)x (f dx )x (f dx d .A =⎪)x (f dx )x (f .B ='⎪
)
x (f dx )x (f d .C =⎪)x (f dx )x (df .C =⎪19、若
=+=⎪)(,2sin )(x f c x dx x f 则A.22x B. 22x C. -22x D. -22x 20、若
='+=⎪-)(,)(2x f c e dx x f x 则（）2
2x B.22x 42x D.42x 21、若则,)()(⎪+=c x F dx x f ⎪=-dx x xf )1(2( )
A 、c x F +-)1(2
B 、
c x F +-)1(212 C 、c x F +--)1(212 D 、c x F +--)1(2 22、若=+='⎪)(,)(ln x f c x dx x x f 则（）
B. C. D.
（六）定积分
1、下列积分正确的是（）。

a 、⎪-4
4
cos π
πxdx b 、011ln 11
1=-=⎪-x dx x c 、2ln 22ln 24cos ln 22404
4-===⎪⎪-π
πππtgxdx tgxdx
d 、21111=-=⎪
-x dx 2、下列（）是广义积分。

a 、⎪21
21dx x b 、⎪-111dx x c 、⎪-210211dx x d 、⎪--11dx e x 3、图6—14阴影部分的面积总和可按（）的方法求出。

a 、()⎪b
a dx x f
b 、
()⎪b a dx x f c 、
()⎪c a dx x f +()⎪b c dx x f d 、()⎪c
a dx x f +()⎪b
c dx x f 4、若()⎪=+1
02dx k x ，则（）a 、0 b 、1 c 、1- d 、
23 5、当（）时，广义积分⎪∞--0
dx e kx 收敛。

a 、0>k
b 、0≥k
c 、0<k< p="">
d 、0≤k
6、下列无穷限积分收敛的是（）．
A ．x x x e d ln ⎪∞
+ B ．x x x e d ln ⎪∞+ C ．x x x e d )(ln 12⎪∞+ D ．x x
x e d ln 1⎪∞+ 7、定积分定义∑⎪=→∆=n
i i i b
a x f dx x f 1
0)(lim )(ξλ说明（）. （A ）],[b a 必须n 等分，i ξ是],[1i i x x -端点
（B ）],[b a 可任意分法，i ξ必须是],[1i i x x -端点
（C ）],[b a 可任意分法，0}m ax {→∆=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -内任取
（D ）],[b a 必须等分，0}m ax {→∆=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -内任取
8、积分中值定理))(()(a b f dx x f b
a -=⎪ξ其中（）.
（A ）ξ是],[b a 内任一点（B ）ξ是],[b a 内必定存在的某一点
（C ）ξ是],[b a 内惟一的某点（D ）ξ是],[b a 内中点
9、)(x f 在],[b a 上连续是⎪b
a dx x f )(存在的（）.
（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要
10、若设⎪-=x dt x t dx
d x f 0)sin()(，则必有（）. （A ）x x f sin )(-= （B ）x x f cos 1)(+-=
（C ）x x f sin )(= （D ）x x f sin 1)(-=11、函数⎪+-=x
dt t t t x F 0213)(在区间]1,0[上的最小值为（）.
（A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）0 12、设)(u f ''连续，已知⎪⎪''=''2
010)()2(dt t f t dx x f x n ，则n 应是（）. （A ）2 （B ）1 （C ）4 （D ）
41 13、设⎪=
x dt t f x F 0)()(，则)(x F ∆=（）. （A ）
⎪-∆+x dt t f t t f 0)]()([ （B ）x x f ∆)( （C ）⎪⎪∆+-x x x dt t f dt t f 00)()( （D ）⎪⎪-∆+x x
dt t f t t d x f 00)()()( 14、由连续函数y 1(x)，y 2(x)与直线，(a<b)围成的平面图形的面积为（）。

<="" p="">
[]⎪-b a dx )x (g )x (f .A
[]⎪-b a dx )x (g )x (f .B []⎪-b a dx )x (f )x (g .C ⎪-b
a dx )x (g )x (f .D 15、⎪+-=+ππdx x x e x )sin (2cos （）3π.A 3 3π2.B 3 32π2e .C 3-1+ 32πe-e .D 3-1+
16、⎪=-2
01dx x
A.0
B.1
C.2 2
17、下列无穷积分中（）收敛。

⎪+∞1dx .A x 1 ⎪+∞1dx x 1.B ⎪+∞4dx xlnx 1.C ⎪+∞
13dx x 1.D
18、无穷积分⎪+∞
=12
1dx x （）A.∞B.1 31.C 1
19、=⎪-])(arctan [0
2x dt t dx d （）。

（A ）2211t
+ （B ）2)(arctan x - （C ）2)(arctan x （D ）2)(arctan t - （七）多元函数的微积分：
(1) 设(,)ln ,(,)ln ln ,f x y xy g x y x y ==+则(,)f x y ( )(,).g x y
①> ②< ③= ④≠
(2) 设00(,)(,)f x y x y 在点的偏导数存在，则00(,)( ).x f x y '=
①00000(,)(,)
lim
x f x x y y f x y x ∆→+∆+∆-∆
②00000(,)(,)lim x f x x y f x y x ∆→+∆-∆
高等数学试题库
18 / 43
③0
000
(,)(,)
lim
x x f x y f x y x x →-- ④
0000
(,)(,)
lim
x x f x y f x y x x →--
(3) 设
0000(,)(,)0,
x y f x y f x y ''==则( ).
①00(,)x y 为极值点②00(,)x y 为驻点③(,)f x y 在00(,)x y 有定义④00(,)x y 为连续点
(4) 在空间中,下列方程( )为球面, ( )为抛物面, ( )为柱面.
①2
425x y z -+= ②222
1444y x z ++=
③2y x = ④221x y +=
⑤2z y = ⑥222
22x y y x z ++=-
(5) 设(,)f x y 在00(,)x y 处偏导数存在,则(,)f x y 在该点( ).
①极限存在②连续
③可微④以上结论均不成立
（6）设Ｄ由x 轴、ln y x x e ==、围成，则
(,)d d ( ).
D f x y x y =⎪⎪
①ln 10d (,)d e
x
x f x y y
⎪
⎪
②
ln 00d (,)d e x
x f x y y
⎪⎪
③
1
d (,)d y
e y
f x y x
⎪⎪
④
1
d (,)d y
e
e y
f x y x
⎪⎪
(7) 当( )a =
时，有2
21
d .
x
y x y π+≤=⎪⎪
①1 ②
③
④
二、填空：（一）函数：
1、设2,10()2,011,13x x f x x x x ⎪-≤<⎪=≤<⎪⎪-≤<⎪
，则()f x 的定义域是，(0)f ==，(1)f =.
2、2
2arccos
1x
y x =+的定义域是，值域是. 3、函数x
x x f --
+=21)5ln()(的定义域是
．
4、若
2211
()3f x x x x
+=++，则()f x =.
5
、设1()f x x =+()f x =. 6、若1()1f x x
=-，则(())f f x =，((()))f f f x =. 7、若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f
．8、设函数x x x f -=1)(，则)1(x
f = 。

9、函数2
)(x
x a a x f --=是函数。

10、函数1
12+=x y 的定义域是区间；11、函数13-=x y
的反函数是；
（二）极限与连续：1
、n →∞
=. 2、1111242lim 1111393n n n →∞++++
=++++. 3、已知25lim 232
n a bn n →∞++=+，则a =，b =. 4、设3e )21(lim -∞→=+kx x x
，则=k ．5、2030
50(23)(32)lim (51)
x x x x →+∞-+=+. 6、=+∞→x
x x x sin lim ．7、1
0lim()(0,0,0)x x ax b a b x →+>>>= .
8、如果0x →时，要无穷小量(1cos )x -与2sin 2
x a 等价，a 应等于. 9、设20()()0
ax b x f x a b x x x +≥⎪=⎪++<⎪，0a b +≠，则处处连续的充分必要条件是b =. 10、21/0()0
x e x f x a x -⎪⎪≠=⎪=⎪⎪，则0lim ()x f x →=；若无间断点，则a .
11、函数211()11
x x f x x
A x ⎪-≠-⎪
=+⎪⎪=-⎪
，当A = 时，函数()f x 连续.
12、设3214
lim 1x x ax x x →---++有有限极限值L ，则a ，L =. 13、已知222lim 22
x x ax b x x →++=--，则a ，b .
14、函数)(x f =
1
ln -x x
的间断点是；
15、若105lim(1)kx
x e x
--→∞
+
=，则k = 16、当→x 时，(
)2
1ln x
y +=为无穷大
17、如果函数()x f 当a x →时的左右极限存在，但()x f 在a x =处不连续，则称间断点
a x =为第类间断点
（三）导数与微分
1、若函数3ln =y ，则y '=
．2、若y = x (x –1)(x –2)(x –3)，则y '(0) = ．3、曲线x y =
在点（4, 2）处的切线方程是
．
4、设)(x f 是可导函数且0)0(=f ，则x
x f x )
(lim
→＝；5、曲线x x y arctan +=在0=x 处的切线方程是；6、设由方程0y
x e
e xy -+=可确定y 是x 的隐函数，则
x dy dx
==
7、函数x y tan =在0=x 处的导数为；
（四）中值定理导数的应用
1、函数y x =-312
()的单调增加区间是 . 2、函数y x =-312
()的驻点是 .
3、设某产品的需求量q 为价格p 的函数，且p q 5.0e 1000-=，则需求对价格的弹性
为 . 4、过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程是y = ．5、
函数2x y e -=的拐点为
6、函数2x y e
-=的单调递增区间为，最大值为7、函数x xe y -= 的驻点是，拐点是
8、设函数()x f 在点0x 处具有导数，且在0x 处取得极值，则该函数在0x 处的导数()='0x f 。

（五）不定积分
1、已知)(x f 的一个原函数为x -e ，则)(x f = ．
2、若)(x f '存在且连续，则='⎪])(d [x f ．
3、若c x F x x f +=⎪)(d )(，则x f x x )d e (e --⎪= .
4、若)(x f 连续，则⎪'))((dx x f ＝ .
5、设)(x f =x cos ，则[f ⎪x
dt t f 0)(]=；
6、⎪=-dx x x 2
)1( .
7、⎪=-dx ctgx x x )(csc csc .
8、
⎪+=C e dx x f x 33)(，则=)(x f . 9、⎪+dx x x x sin cos 2cos ＝ .
10、xdx e x sin cos ⎪＝ .
11、=⎪dx x 1
arctan .
12、⎪
-dx tgx x tg )(2= .
13、⎪=+-dx x
x 24
12 . 14、⎪=+-dx x x 26101 .
15、若2()sin ,x xf x dx e C =+⎪则()f x =
16、21ln x x x dx x +-=⎪
（六）定积分及应用
1、已知)(x f 在),(∞+-∞上连续，且2)0(=f ，且设⎪=2
sin )()(x x dt t f x F ，则
(0)F '= .
2、设⎪⎪⎪⎪⎪>⋅<--=⎪-x x x x dt t x x x e x f 0 3220,sin 0,31)(，则0lim ()x f x →= .
3、已知x xe x f =)2(，则
⎪-=11)(dx x f . 4、=-+⎪+-a
a dx x f x f x )]()([ .
5、⎪∞
+2
)(ln k x x dx ，其中k 为常数，当1≤k 时，这积分，当1>k 时，这积分，当这积分收敛时，其值为 .
6、设)(x f 连续，且⎪+=10)(2
)(dt t f x x f 则具体的()f x = .
7、设)(x f 连续，且
⎪=30)(x x dt t f ，则=)8(f . 8、⎪=+∞→101lim dx x
x n
n . 9、20
30sin lim x x t dt x →=⎪10、
15xdx -=⎪
11、3211cos dx x x
π+∞
=⎪12、设20(2)4,()1f f x dx ==⎪，则20()xf x dx '=⎪二、求极限
（一）利用极限的四则运算法则求下列函数的极限
（1）()
432lim 21+-→x x x （2）56312lim 222+--→x x x x （3）34lim 23--→x x x （4）123lim 221-+-→x x x x （5）39lim 9--→x x x （6）3
21lim 3--+→x x x （7）x x x x x x 2424lim 2230++-→（8）22011lim x
x x +-→（9）2321lim 4--+→x x x （10）4332lim 22++-∞→x x x x （11）x
x x x x 7153lim 23+++∞→（12）x x x ++∞→121lim 33 （13）336lim 2+++∞→x x x x （14）2
)1(321lim n n n -++++∞→（15）302010)32()13)(2(lim ++-∞→x x x x （16）302010)31()32()2(lim x x x x ---∞→（17）()
n n n -+∞→1lim （18）⎪⎪⎪⎪⎪---→1112lim 21x x x （19）()
11lim 22--+∞→n n n （20）n n n )1(1lim -+∞→（21）) 1(1321211lim +⨯++⨯+⨯∞→n n n （22）121lim 221---→x x x x （23）2
110lim x x x +∞→（24）5223lim 22-++-∞→n n n n n （25）x x x x ++∞→2312lim （26）4312lim 4--+→x x x （27）21lim t t e t
→-+ （28）/4sin 2lim
2cos()x x x ππ→- （29
）lim x →+∞(30) ⎪⎪
⎪⎪⎪---→x x x 1113lim 31
（二）利用第一重要极限公式求下列极限
（1）x x tgx x sin lim 0-→（2）x x x 5sin 3sin lim 0→（3）x
x x x x sin sin 2lim 0+-→（4）20cos 1lim x
x x -→（5）x x x arcsin lim 0→（6）()11sin lim 21--→x
x x （7）x tgx x 0lim →（8）x
kx x sin lim 0→（9）x x x x sin cos 1lim 0-→（10）sin sin lim x a x a x a
→-- （11）x x x x sin 11lim 20-+→（12）1)1sin(lim 21--→x x x （13）1
)1sin(lim 1--→x x x （14）x x x x sin 11lim 20--→（15）x xctg x 2lim 0→（16）x tg x x 32sin lim 0→（17）222sin lim x
x x ∞→（18）ππ-→x x x sin lim （19）n n n x 2
sin 2lim ∞→
（三）利用第二重要极限公式求下列极限
（1）x x x 311lim ⎪⎪⎪⎪⎪+∞→（2）x x x -∞→⎪⎪⎪⎪⎪+21lim （3）x x x ⎪⎪
⎪⎪⎪-∞→21lim （4）()x x x 1201lim -→（5）12022lim -→⎪⎪⎪⎪⎪-x x x （6）x
x x x ⎪⎪
⎪⎪⎪+∞→1lim （7）()x x x 1031lim +→（8）x x x 211lim ⎪⎪⎪⎪⎪+∞→（9）131lim +∞→⎪⎪⎪⎪⎪+x x x
（10）()x x x 1021lim -→（11）0lim ln(1)
x x x →+ （12）123lim()21x x x x +→∞++ （13）2cot 0 lim(13tan )x x x →+ （14）2
1/0lim(cos )x x x →（15）x x x x )13(lim +-∞→（16）x x x 20)33(lim +→（17）)ln )2(ln(lim n n n n -+∞
→（18））x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪+-∞→11lim （19）x
x x x ⎪⎪⎪⎪⎪+-∞→1212lim （20）x x x 31lim 0-→（21）x x x sec 32
)
cos 1(lim +→π（22）x x x 1
0)sin 21(lim +→（23）x x x x -→-10)41(lim
（四）利用罗必达法则求极限
（1）327lim 33--→x x x （2）()x x x +→1ln lim 0 （3）30sin lim x
x x x -→（4）x
e e x x x -→-0lim （5）x x e x 2lim +∞→（6）2ln lim x x x +∞→（7）5212lim 22--+∞→x x x x （8）tgx x tg x 3lim 2
π→（9）⎪⎪⎪⎪⎪--→x x x ln 111lim 1 （10）⎪⎪⎪⎪⎪⎪-∞→1lim 1x x e x （11
）1lim 1x x →- （12）01lim x x e x →- （13）1/lim (39)x x x x →+∞+ （14）232lim 222+---→x x x x x （15）x e e x x x cos 12lim 220--+-→（16）x
x x 5sin lim 0→（17）ctgx x x 2ln lim 0π-+→（18）x x x 10)sin 1(lim +→（19）x x x sin 0lim +→（20）)1 11(lim 0--→x x e x （21）n n m m a x a x a x --→lim (22) 30tan sin lim x x x x -→(23) )111(lim 0--→x x e x (24) ) 1ln(lim 0x b a x
x x +-→(25) )1(lim 2
x x x x -+∞→(26) 1132lim 23231+--+-→x x x x x x 三、求导数或微分
（一）利用导数的基本运算公式和运算法则求导数
（1）14+-=x x y （2）()23221x x x x y -⎪⎪⎪
⎪⎪+= （3）1
1+-=x x y （4）x x x x y cos sin ln -+= （5）5232+-=x x y （6）112++=x
x y （7）3333++=-x x y （8）()()21--=x x y
（9）x x y ln 2
= （10）1122+-=x x y （11）x
x y cos 1sin -= （12）x x y sin 1cos -= （13）x x x y sin cos += （14）ctgx xtgx y +=
（15）()为常数a a a x y a
x a ++= （16）x y x ln 2= (17)x x y sin 23=
(18) 4tan 3-=x y (19) )32)(23(x x y -+=
(20) x x x y ln 1ln += (21) x x e y x 22+=
(22) t t y cos 1sin 1++=
（二）求复合函数的导数
（1）2sin x y =
（2）x y cos ln = （3）21x y -=
（4）2ln tgx y = （5）()22ln x a y -=
（6）x y 1arcsin = （7）()21ln x y -=
（8）x y ln sin = （9）()53cos -=x y
（10）x tg y 1= （11）12+=x e y
（12）()1052+=x y （13）2arctgx y =
（14）3arcsin x y = （15）22sin x x y =
（16）x e y x cos -= （17）x x y 22sin sin += （18）x tg y 3ln = （19）()32ln x y =
（20）24x y -= （21）121
ln cos -+=x x y
（22）x y 12-= （23）x x y 3sin cos 3-= （24）x x y x +=1sin 2 （25）223x y -= （26）3 2x e y =（27）x y arcsin
= (28))ln(22x a x y ++= （29）2cos ln x e
y -= (30）x y 1arctan = （31）x e y x
2cos 2-= （32）nx x y n cos sin =
（33）x x y 22
ln 2-=
（三）求由方程F （）=0所确定的隐函数(x)的导数
（1）1222+=x y （2）y x y ln =
（3）y xe y +=1 （4）()x xy =cos （5）0=-+a y x （6）122=-+xy y x
（7）y x y ln += （8）y arctgy x =+
（9）0e ln 23=-+y x y x （10）61832
=+-x y xy （11）-)sin(xy ln y
x 1+＝1 （12）y x e xy += （13）)arctan(2xy xy x =+ （14）033=-+a y x （a 为常数）
（四）利用取对数求导法求下列函数的导数
（1）()()()()
4321++++=x x x x y （2）()()()32321+-+=x x x y （3）x x y 1
= （4）x
x x x y +-•-=3312 （5）x
x x y +-•=11
（五）求下列函数的二阶导数
（1）142234-+-=x x x y （2）x x y ln 2=
（3）x e y = （4）x y 1sin
= （5）()1ln 2-=x y （6）x e y x cos -=
（7）x e y x
sin = （8）x
x
e e y sin cos += （9）()2
x xe x f = （10）21x x y += （11）x y arctan = （12）)21(sin 2 x y += （13）)1ln(2
x x y ++= （14）
2(1)arctan y x x =+
（六）求下列函数的微分
（1）5
6x y = （2）12-=x y
（3）2ln x y = （4）2
1sin x
x
y -=
（5）x y arccos = （6）x e y x cos -=
（7）x tg y 2
= （8）x
arctge y =
（9）2
arctgx y = （10）()()3
2
21--=x x y
（11）)11)(
1(-+=x
x y （12）x x y x sin e += （13）)(x f x
x x x
+-+=11ln cos 2 （14）1e )cos(=++y y x （15）)
13sin(+=x e
y （16）x
e y 2cos
=
（17）x y x =+)cos(2
（18）x
sin
2
（19）x
e
x y 22= （20）x e y x
2
sin =
（21）2。