瞬时变化率——导数(1)

近切线.
y
Q
P为已知曲线C上的一点， 如何求出点P处的切线方程？
P
O
x
数学运用：
y
试求f (x)=x2在点(2,4)处的切线斜率． 分析：设P(2，4)，Q(xQ，f(xQ))
则割线PQ的斜率为
kPQ＝ f ( xQ )－4 xQ－2 ＝ xQ 2－4 xQ－2 ＝xQ＋2
Q
4
·
P 2
当Q沿曲线逼近点P时，割线PQ逼 近点P处的切线，从而割线斜率逼近切 线斜率； 当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时， 即xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4．
P O
l2
问题三：在点P附近还能作出比l1，l2 ，l3更加逼近曲线的 直线吗？
建构数学
y
y＝f(x) Q
割 线
切线 l P o x
如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线. 随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当 点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的 直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼
x
O
M X0＋x x
x0
求曲线y=f (x)上一点P(x0,f(x0))处切线斜率的一般步骤： 1.设曲线上另一点Q(x0+Δx,f(x0 + Δx)) 2.求出割线PQ的斜率 k PQ
f ( x0 x) f (x0 ) ，并化简. x
3. 令Δx 趋向于0，若上式中的割线斜率“逼近”一个常数， 则其即为所求切线斜率．
变式训练：
1．已知 f ( x) x 2 ，求曲线 y f ( x) 在 x 1 处的切线斜率和切线方程；
2．已知 f ( x) x 1 ，求曲线 y f ( x) 在 x 1 处的切线斜率和切线方程；
1 处的切线斜率和切线方程． 2
3．已知 f ( x) 1 x ，求曲线 y f ( x) 在 x
当Δx无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数2， 从而曲线f(x)＝x2＋1 在点x＝1处的切线斜率为2．
y Q y = f(x) P
割线
切线 f (x0+x) f (x0)
（即 y)
y=f(x) P（x0,f(x0)) Q(x0+△x,f(x0+ △x))
△x>0时,点Q位于点P的右侧 △x<0时,点Q位于点P的左侧
高中数学 选修２-２
姓名：吴卫东
邵艳
郭红梅
潘翠萍
单位：江苏省泰兴中学
问题情境
放大
放大
问题一
如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
问题二 观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你 看到了怎样的现象？ 问题三 这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其 趋势看几乎成了 什么图形呢？
探究结论
从上面的图形变化过程来看： 1）曲线在点P附近看上去几乎成了直线． 2）继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l，
Baidu Nhomakorabea＝xQ＋2
当xQ无限趋近于2时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4．
x 4x＋x 2 ＝ x ＝4＋x
k PQ＝
当Δx无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4．
练习：试求f (x)＝x2＋1在x＝1处的切线斜率．
练习：试求f (x)＝x2＋1在x=1处的切线斜率．
找到定点P的坐标 设出动点Q的坐标 解：由题意，设P(1，2)， Q(1＋Δx，(1＋Δx)2＋1)，则割线PQ斜率为
求出割 线斜率
[(1＋x) ＋1]－2 k PQ＝ x 2x＋x 2 ＝ x ＝2＋x
2
当△x无限趋近于 0时，割线逼近切线， 割线斜率逼近切线斜 率．
2
课堂练习：
练习：已知 f ( x)
x ，求曲线 y f ( x) 在
1 x 处的切线斜率和切线方程． 2
小 结： 1．曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接 近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由 该点处的切线反映 (局部以直代曲)．
2．根据定义，利用割线逼近切线的方法，可以求出 曲线在一点处的切线斜率和方程．
这条直线是过点P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线． 3）点P附近可以用这条直线代替曲线（即在很小范围内
以直代曲）．
深入探究：
如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线．
问题一：试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；
问题二：在点P附近能作出一条比l1 ， l2更加逼近曲线 l1 的直线l3吗？
O
x
从而曲线f(x)＝x2在点(2，4)处的 切线斜率为4．
解：设P(2，4)，Q(xQ，xQ2)， 解：设P(2，4)，Q(2＋Δx，(2＋Δx)2)， 则割线PQ的斜率为： 则割线PQ的斜率为： (2＋x) 2－4
k PQ＝
xQ －4 xQ－2
2
令xQ－2＝x，
所以xQ＝x＋2
Q无限逼近P时 割线PQ P点处的切线 Q无限逼近P时 令横坐标无限接近 Q无限逼近P时 P点处的切线斜率
割线PQ的斜率
函数在区间[xP ， xQ] P点处的瞬时变化率 (或[xQ，xP]）上的平均 即区间长度趋向于0 (导数) 变化率