工程问题应用题讲解

例1 一项工程，甲队单独做完要12天，乙队单独做完要10天，两队合做多少天就可以完成？

【分析1】把这项工程看作整体“1”，甲每天完成工程的，乙队每天完成工程的，甲乙合做每天完成工程的，工程“1”里包含几个，就是两队合做完成这个工程的天数.

【解法1】两队合做1天完成的工程？

+=

两队合做多少天完成这项工程？

1÷=（天）

综合算式： 1÷（+）

=1÷=（天）.

【分析2】用最小公倍解法.因为12和10的最小公倍数是60，所以可假设这项工程为60.那么甲队工作效率为60÷12=5，乙队工作效率为60÷10=6，甲乙合做效率为5+6=11.用总工作量60除以甲乙效率和11，即得两队合做完成这个工程的天数.

【解法2】假设这项工程总工作量为60.

60÷（60÷12+60÷10）

=60÷（5+6）=60÷11=（天）.

【分析3】由题意可知，甲队每天的工作量，乙队天就可完成，即天.两队合做1天的工作量由乙队独做需要1+天，即天.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用10÷=（天）完成.

【解法3】 10÷（1+10÷12）

=10÷（1+）=10÷=（天）.

【分析4】甲队12天的工作量，乙队10天即可完成，所以乙队1天的工作量，甲队要用天完时，即天。那么甲乙两队合做1天的工作量，甲队要用1+=（天）.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用12÷

=（天）.

【解法4】 12÷（1+12÷10）

=12÷（1+）

=12÷=（天）.

答：两队合做天就可以完成.

【评注】解法1是工程应用题的一般解法，易于理解.是较好的解法。解法2是利用求公倍数法解工程应用题，这种解法其实是假设解法，读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工程量.

例2 一列货车与一列客车同时从甲、乙两站相对开出，经过9小时相遇，相遇后两车都继续以原速前进。已知货车又行了6小时到达乙站，问客车行完全程需要几小时？

【分析1】把甲乙两站全程看作标准“1”.两车同行1小时行完全程的，货车1小时可行全程的，即.那么客车1小时可行全程的-=.全程“1”里包含着多少个，就是客车行全程需要多少小时.

【解法1】 1÷（-）

=1÷=（小时）.

【分析2】货车行全程需9+6=15（小时），9和15的最小公倍数是45，所以两站全程可假设为45，那么两车同时行1小时可行45÷9=5，货车1小时可行45÷15=3，所以客车每小时可行5-3=2.甲乙两站全程45内包含多少个2，就是客车行全程需要多少小时.

【解法2】假设甲乙两站全程为45.

45÷[45÷9-45÷（9+6）]

=45÷[45÷9-45÷15]

=45÷[5-3]=（小时）.

【分析3】两车9小时行完的路程，货车要用9+6=15（小时）行完.而客车9小时行完的路程，货车只需6小时行完.那么货车1小时行完的路程，客车需要9÷6=1.5（小时）.所以货车15小时的行程，客车需要1.5×15=22.5（小时）.

【解法3】 9÷6×（9+6）

=9÷6×15=1.5×15=22.5（小时）.

【分析4】两车同时行全程需9小时，货车行全程需要9+6=15（小时），那么客车行9小时恰好行完全程的×6=，所以客车每小时行全程的

÷9=.由此可求客车行全程的时间.

【解法4】 1÷（×6÷9）

=1÷（÷9）

=1÷=（小时）.

【分析5】把客车行完全程需要的时间看作“1”.货车行全程需9+6=15（小时），而货车6小时的行程和客车9小时的行程恰好相同，由此可求出客车9小时行全程的×6=，即9小时的对应分率，由此可求客车行全程的时间.

【解法5】 9÷（×6）

=9÷（×6）=9÷=（小时）.

答：客车行完全程需要小时.

【评注】比较以上五种解法，解法1是工程应用题的一般解法，思路简明清晰，易于理解和掌握；解法5是运用分数除法应用题的解法，更有益于理解工程应用题，且运算简便，这两种解法是本题的较好解法.

例3 一件工作，甲乙合做8天可以完成，甲独做12天可以完成.现在甲乙合做若干天后，余下的由乙继续做3天才完成.乙一共做了多少天？

【分析1】乙每天完成这件工作的，那么乙3天完成了这件工作的，再求出甲乙合做的工作量1-=，里包含多少个，就是甲乙合做了几天，即乙先做了几天.再加上余下3天即得乙共做多少天.

【解法1】 [1-（）×3]÷+3

=[1-×3]÷+3

=[1-]÷+3

=÷+3=10（天）。

【分析2】根据“甲乙合做的工作量与乙独做完成工作量的和等于总工作量”这一等量关系列方程，先求乙先做了几天，再加上3天即得乙共做了多少天.

【解法2】设甲乙合做了x天.

+=1

=1-

x=7

7+3=10

【分析3】假设总工作量为24，那么甲乙效率和是24÷8=3，甲的效率是24÷12=2，所以乙的效率是3-2=1，它3天完成了1×3=3.因此，甲乙合做（24-3）÷3=7（天），即乙先做了7天，再加上3天即得乙共做的天数.

【解法3】假设工作总量为24.

[24-（24÷8-24÷12）×3]÷（24÷8）+3

=[24-（3-2）×3）÷3+3

=[24-3]÷3+3

=21÷3+3=10（天）.

【分析4】假设甲乙合做了5天，那么比实际少完成1-×5-（-）×3=，甲乙继续合做还要用÷=2（天）.所以乙共做了5+2+3=10天.

【解法4】假设甲乙合做了5天.

[1-×5-（-）×3]÷+5+3

=[1-×5-×3]÷+5+3

=÷+5+3=10（天）.

答：乙一共做了10天.