什么是分形

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“fractal”来描述大自然中各种不规则的事物形态，比如：曲折绵长的海岸线，错 综复杂的血管，延绵起伏的山脉等。他们具有一个共同的特征，那就是他们的形态 是不光滑的，粗糙的，是无法用传统的数学，物理学描述的，这就是分形。
1.2 分形的发展历程
分形某些概念，最早可追述到一百多年前，接着又有不少科学家提出分形的图 例和理论，但是那时由于受传统理论的约束，不仅没有得到应有的发展，而且被一 些科学家视为“异类” ，是不合常理的，是不能接受的。涉及分形理论的典型代表有 1860 年，瑞士一个数学家塞莱里埃(C.Cellerer)提出“连续函数必定可微”是错误 的，并给出反例。1883 年，德国数学家康托(G.Cantor)构造的康托三分集。1890 年 意大利数学家皮亚诺(G.Peano)构造的平面曲线，它是一种充满空间的曲线，称为皮 亚诺曲线。1904 年，瑞典数学家柯赫(H.von Koch)构造出柯赫雪花曲线。1910 年， 德国数学家豪斯道夫(F.Hausdorff)开始了奇异集合性质与量的研究， 提出分数维概 念等。1919 年，豪斯道夫(F.Hausdorff)给出维数的新定义，为维数的非整数化提 供了理论基础。 尽管前人的理论没有得到应有的重视，但是它却为以后分形理论的发展奠定了 基础。曼德尔布罗特于 1967 年在科学杂志上发表了一篇具有启发性的文章： “英国 的海岸线有多长？” ，引起了世人的关注。1975 年曼德尔布罗特用法文出版了第一 部分形著作《分形对象：形、机遇和维数》 。之后，曼德尔布罗特又对该著作加以修 改，加入了他对分形几何的新的思想、观点。1982 年，曼德尔布罗特又出版了《自 然界的分形几何》 。在这该著作中他为分形重新加以定义。在这期间，又有很多科学 家 投 入到 分形的 研究领域， 促 使 分 形得到 长 足的发展，其中有 1982 年 特里科 特 (C.Tricot) 引 入 填 充 维 数 ， 1983 年 格 拉 斯 伯格 (P.Grassberger) 和 普 罗克 西 娅 (I.Procaccia)提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算 法。1985 年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相 似集并可通过仿射映射严格定义。1982 年德金(F.M.Dekking)研究递归集，这类分 形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难。1989 年，钟 红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。随着分形理论的发展和维 数计算方法的逐步提出与改进，1982 年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应用并 越来越广泛。 自然界的物体形态不是固定不变的，稳定的，它们的形态变化多端，所以在描 述它们的时候也应该采用随机方式， 这样才能充分体现其一般性。 基于这一点， 1968 年曼德尔布罗特研究布朗运动的随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运 动。1974 年他又提出了分形渗流模型。1988 年柴叶斯(J.T.Chayes)给出了详细的数 学分析。1984 年，扎乐(U.Zahle)通过随机分形模拟出更真实的自然现象。
第一章 什么是分形
1.1 分形的由来
1975 年 ， 美 籍 法国 数 学 家 曼 德 尔布罗特 (B.Madelbrot) 根 据 拉丁文 形 容 词 “fractus” ，并对其加以改造，成为现今广为人知的“fractal” ，它的含义是不规 则 的， 琐 碎 的， 支 离破碎 的 等 。 我国 则 把 它 翻译 成 “ 分 形 ” 。 曼 德 尔布罗特 使 用
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引言
自然界是宇宙万物的总称，是各种物质系统相互作用相互联系的总体，它包括 大至宇宙天体的形成演化，小到微观世界中基本粒子的运动。随着牛顿经典力学的 创立，爱因斯坦相对论，以及量子力学的发展，人类在自然科学方面已经取得了辉 煌的成就；随着天体物理学以及其他相关学科的迅速发展，人类已经登上月球，进 入太空；人类对微观世界由质点组成的简单系统的运动规律也有了全面而正确的认 识。尽管如此，如果人们稍微注意一下周围环境中发生的大量非线形不可逆现象， 就会发现，人们对这些现象知之甚少，对许多问题甚至于束手无策。举一个通俗的 例子，当你仰望蔚蓝的天空，常常可以看到天空中漂浮着一团团白云，尽管它的形 态是千变万化的，但是如果用不同倍数的望远镜来观察云团时，它的形态几乎是保 持不变，也既是说白云的形态和望远镜的放大倍数无关。 分形的原文 Fractal 是 Mandelbrot 用拉丁词根进行拼造出来的单词， 意思是细 片，破碎，分数等等。它是描述不规则几何形态的有效的工具。自然界中，绝大部 分物体形态不是有序的，稳定的和确定性的，而是处于无序的，不稳定的，非平衡 的和随机的状态之中。然而，曲折绵长的海岸线，凹凸不平的地表，变幻无常的浮 云，错综复杂的血管等等，诸如此类的不规则几何形态都是传统数学和物理学难以 描述和表达的。也正是于此，当 Mandelbrot 提出分形的概念后，才会引起科学界的 极大兴趣和轰动。人们对这一新兴学科感到震惊，因为它是如此的贴近生活，如此 具有诱人的发展前景，如此具有巨大的应用价值。 分形理论使人们能以新的观念，新的手段来处理这些难题，透过扑朔迷离的无 序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律，局部和整体之间 的本质联系。分形理论在某些学科的成功尝试，极大地激发了科学研究工作者的兴 趣，他们把分形理论逐渐扩展到其它的学科领域，更进一步的促进了分形学的发展。 无论是国内还是国外都不定期的召开一些关于分形的学术会议，一时间关于分形理 论的学术论文如火如荼的发表在各种期刊杂志上。 分形所涉及的领域极为广泛，包括哲学，数学，生物学，物理学，材料科学， 医学，农学，气象学，天文学，计算机图形学等，可以说如今的分形无处不在。分 形的发展，一部分得益于由分形产生的图形让人如痴如醉，但是更多的是因为分形 的实用价值。采用分形方法，可以利用少量的数据生成各种不同的复杂的图形。根 据分形的自相似性，能够对图形图像进行有效的压缩。美国著名物理学家惠勒说过： 今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。 尽管分形理论从 Mandelbrot 的提出距今只有短短的三十多年的时间， 但是其发 展速度可谓是日新月异，让人刮目相看。分形理论 20 世纪 70 年代末传入我国，在
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1.3 自相似性
一个系统的自相似性 [1] 是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间 尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。对于 欧氏几何而言，它们的形态是极其规则的，而且是严格对称的，人们描述起来很容 易，例如：我们想要描述一个圆形，那么只要给出圆点和半径，就能很快得出具体 的图形。然而，对于不规则的物体形态，我们就会显得束手无策。凹凸不平的地表， 怪石林立的山峰，诸如此类的实物形态，我们是无法用欧氏理论描述的。尽管大自 然的物体形态是千变万化的，但是如果我们从一个分形上任意选取一个局部区域， 对其进行放大，再将放大后的图形与原图加以比较，我们发现它们之间形状特征呈 现出令人惊讶的自相似性。举一个例子，对于一支花朵，有主干和支干，如果把支 干掰下来和主干比较，那么它们之间极为相似，如果再仔细地看一看花心的话，又 会发现花瓣和花瓣之间是对称的，而且也是相似的。总而言之，物质的各个部分都 或多或少的具有自相似结构。 物体的自相似性为科研人员提供了研究事物新的思路，那就是，既然物体的形 态是有规律可寻的，那么我们就有办法对其进行描述。基于这一思想，我们可以利 用物体的自相似性，定义一个简单的图形规则，再在这个规则的基础上不断的进行 规则迭代，最终会生成让人意想不到的图形。 当然，自然界的事物是自相似的，但不是严格的完全的相似。尽管我们观察的 分形体有很多的相似之处，然而，严格的来说它们还是有一定差别的。这就存在一 个问题，即是相似度 [1] 。它用来表示一个分形的局部与局部以及局部与整体之间的 相似程度。另外，相似并不代表相同或者简单的重复 [1] 。如果我们将局部图形用放 大镜放大 X 倍后，不一定会和原图完全吻合，这一点应该值得注意。
1.4 分形的维数
欧氏几何学具有几千年的历史，它研究的是一些规整的图形，比如：直线，圆， 椭圆，菱形，正方形，立方体，长方体，球体等。这些不同类型的曲线和形状都有 一个共同的基础——欧氏几何，即它们可以被定义为代数方程(例如：Ax + By + Cz = D)或微分方程的解集。从欧氏几何测量中，可以看出点、直线、平面图形、空间 图形的维数分别是 0，1，2，和 3，而且都是整数。 维数是几何对象的重要特征量，维数包含了集合的几何性质的许多信息。一个 图形维数的大小，表示它占有空间的大小。尤其是在分形中，它对如何准确地描述 图形起到了很大的作用。分形维数是判断两个分形是否一致的度量标准之一。
-1-Байду номын сангаас
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我国的科研人员，学者的共同努力下，其理论研究和应用获得了飞速的发展。1986 年北京大学成立了非线性科学中心。1989 年 7 月在成都四川大学召开“第一届全国 分形理论及应用学术讨论会” 。1991 年 11 月在武汉华中理工大学召开第二届会议。 1993 年 10 月在合肥中国科技大学召开第三届会议。仅从这些学术会议就可以看出， 我国对分形研究的重视。我国的科学家们积极进行分形理论的研究，探索，并取得 了丰硕的成果。其中产生了不少分形领域的专家和学者。他们的研究理论成果为推 动我国乃至国际分形的发展做出了不可磨灭的贡献。 虽然分形产生的图形是复杂的，美丽的，实用的，但是描述它们的方法却是简 单的。现在有效的描述方法有林式系统(L-systems，简称 L 系统)和函数迭代系统 (Interated Function System，简称 IFS 系统)。前者是由是林德梅叶 1968 年为模 拟生物形态而设计的，后来史密斯于 1984 年 、普鲁辛凯维奇于 1986 年，分别将它 应用于计算机图形学，引起生物学界和计算机界人士极大兴趣，一时发表了许多论 文和专著。后者是美国佐治亚理工学院的巴恩斯利教授首创的。IFS 系统的理论与 方法是分形自然景观模拟及分形图像压缩的理论基础，其基本思想是认为物体的全 局和局部在仿射变换的意义下具有自相似结构，这就形成了著名的拼接定理。IFS 方 法 的 魅 力 在 于 它 是 分 形 迭 代 生 成 的 “ 反 问 题 ” ， 根 据 拼 接 定 理 (collage theorem)，对于一个给定的图形(比如：一张照片)，求得几个生成规则，就可以大 幅度压缩信息。 分形作为一门新兴学科，其应用潜力是巨大的，尤其是在计算机模拟方面更是 具有很大的实用价值。所以，学习和研究分形，实现分形在实际生活中的应用，都 具有一定的诱惑力。 本文第一章从分形的基本理论知识入手，结合分形的发展历程，阐述了分形的 基本概念，以及分形维数。第二章通过几个典型的分形实例简单的说明了分形的构 造过程。第三章详细地介绍了两种分形的描述方法(L 系统和 IFS 系统)。虽然 L 系 统和 IFS 系统生成分形图形的实现简单明了，但是它们所形成的图形是二维的，这 样的视觉效果和真实自然界的物体形态有很大差别。所以本文在第四章节中探讨了 几种实现三维的算法，这样生成的图形视觉效果得到了很大的改观。