利用递推关系数列求和的技巧与方法

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

1.形如)(1n f a a n n =-+型

（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.

（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.

方法如下： 由 )(1n f a a n n =-+得：

2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，

)2(21-=---n f a a n n ，

)2(23f a a =-

)1(12f a a =-

所以各式相加得 )1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=-

即：∑-=+=1

1

1)(n k n k f a a .

为了书写方便，也可用横式来写：

2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，

∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---

=1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- .

例 1. （天津文） 已知数列｛a n ｝满足)2(3,111

1≥+==--n a a a n n n ,

证明21

3-=n n a

证明：由已知得：故,31

1--=-n n n a a

112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.213133321-=++++--n n n ∴21

3-=n n a .

例 2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案：

12+-n n

例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()

1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：n

a n 12-= 评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

2.形如)(1n f a a n

n =+型 （1）当f(n)为常数，即：

q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.

由)(1n f a a n n =+得 2≥n 时，)1(1

-=-n f a a n n ， ∴112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=

--- =f(n)f(n-1)1)1(a f ⋅⋅ . 例1.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…）

，则它的通项公式是n a =________. 解：已知等式可化为：[]0)1()(11=-++++n n n n na a n a a

0>n a (*N n ∈)∴(n+1)01=-+n n na a , 即

11+=+n n a a n n ∴2≥n 时，

n n a a n n 11-=- ∴112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=--- =121121⋅⋅--⋅- n n n n =n 1.

评注：本题是关于n a 和1+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到n a 与1+n a 的更为明显的关系式，从而求出n a .

例2.已知1,111

->-+=+a n na a n n ,求数列{a n }的通项公式. 解：因为,11

-+=+n na a n n 所以,11n na a n n +=++ 故),1(11+=++n n a n a 又因为11->a ,即011>+a ，

所以由上式可知01>+n a ,所以n a a n n =+++1

11,故由累乘法得 )1(1

1111111111223211+⋅++⋅++⋅⋅++⋅++=+---a a a a a a a a a a n n n n n =)1()!1()1(12)2()1(11

+⋅-=+⋅⋅⋅⋅-⋅-a n a n n 所以=n a )1()!

1(1+⋅-a n -1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式,11-+=+n na a n n 转化为

),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.

3.形如)(1n f a a n n =++型

（1）若d a a n n =++1

（d 为常数），则数列{n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为)(1n f a a n n =-+型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得)1()(11--=--+n f n f a a n n ，，分奇偶项来分求通项.

例1. 数列{n a }满足01=a ,n a a n n 21=++,求数列{a n

}的通项公式. 分析 1：构造 转化为)(1

n f a a n n =-+型 解法1：令n n n

a b )1(-= 则n a a a a b b n n n n n n n n n n 2)1()()1()1()1(111111⋅-=+-=---=-++++++.

2≥n 时,⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=-=⨯⋅-=--⋅-=--⋅-=-----012)1()2(2)1()1(2)1(11212

1211a b b b n b b n b b n n n n n n

各式相加:[]1)1(2)1()2()1()1()1(2231⋅-+⋅-++--+--=- n n b n n n

当n 为偶数时，n n n b n

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-+-=22)1()1(2. 此时n b a n n ==

当n 为奇数时，1)21(2+-=--=n n b n

此时n n

a b -=,所以1-=n a n .