解三角形》基础复习

解三角形 基础知识复习2

一、 正弦定理：

1、在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 。

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使

sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；

（2）sin sin a

b

A B =sin c

C =等价于

s i n s i n a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 定理的表示形式：

sin sin a b A B =sin c C ==()0sin sin sin a b c k k A B C

++=>++ 正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =

； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b

=。 2、一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

练1．在∆ABC 中，已知A=450，B=300，c=10 解三角形。

练2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm, A=450，解三角形

3、三角形面积公式 S= = =

练3：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且此三角形的面积2203S =，则角C ＝＿＿＿＿＿＿

二、余弦定理：

1、三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a 2 = b 2 = c 2= 推论：cosA = CosB= CosC=

2、余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

推广：若ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

练4．在∆ABC 中，已知23=a ，62=+c ，060=B ，求b 及A

练5：在∆ABC 中，a=7，b=3，c=5，求最大角及sinC 。

三、三角形解的个数

练6：（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，此三角形的解有 个。 练7：在∆ABC 中，若1a =，1

2c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。

四、判断三角形的形状。

练8：在∆ABC 中，已知a=6，5b =，c=8， ∆ABC 是 三角形。 练9：在∆ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=5:6:7，则::a b c = ，∆ABC 的类型是 练10：已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。

练11：在∆ABC 中，若bcosB=(2a-c)cosB （1）求角B 的大小 （2）若b=7,a+c=4,求∆ABC 的面积