矢量的基本代数运算

矢量的基本代数运算

《微分几何简介》笔记

Ch.1矢量代数及其在解析几何中的简单应用

§1矢量代数

定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。

1.1直角坐标系-点的坐标与矢的分量

在三维空间中，取任意一点O和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量e i，e2，

e3，构成一个直角坐标系（或标架）。用[O；e,e2,e3]表示；O称为的原点，e i，e2，e3称为的基矢（或底矢）。

若P为空间任意一点，以0为始点，P为终点的矢量r OP称为P点在标架里的径矢。P 点在里的坐

标x i, X2，X3就是r径矢在里的分量：

r X i e i X2e2 X a e a

若P、Q为空间两点，它们在里的径矢依次为

r X i e i X2e2 X a e a，s y i e i y z e? y a e a

则矢量

PQ OQ OP s r （y i xje i （y? X2）e2 （y a X a）e a

其中y i X i （i 1,2,3）就是该矢量在 里的分量。各分量 均为0的矢量称为零矢。

在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是 它们的分量依次相等

若|a 1 , a 为单位矢量（幺矢）。|a 0，则

a i / a

叫做a 在里的方向余弦，它们是a 和e i

间的角［0, 之间的余弦。零矢没有方向余弦。

i ）矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三 角

形）法则。 a B (a i b i )e i (a 2 b 2 )e 2 (a 3 b 3 )e 3

2） 矢量差：矢量减法同样按照平行四边形 （或

三角形）法则，为加法的逆运算。

a B （a i

b i ）e i （a ? b 2）e 2 （a 3 b 3）e 3

3） 纯量（或数量）乘矢量：若 为纯量，则

况 a 〔e i a 2e 2 a 3e 3

4）数积（点乘）：矢量a , B 的数积是纯量

a B a i

b i a 2b 2 a 3b 3 a Bcos

矢量a

a ?e 2 a 3e 3的长为 1.2矢量的基本代数运算

现有矢量a a i e

i a 2e 2 a 3e 3和 B b i e i b 2e 2 b 3e 3 a

2 2 a ? a 3

其中［0,］是a, B之间的角。

矢量a, B相互垂直的充要条件是它们的数积等于零。零矢与任意矢量垂直。

矢量a和单位矢量e的数积等于a在e的方向的垂直投影。

5)矢积(叉乘)：矢量a , (3的矢积是矢量

e i e? e3

a 3 a1a2a3a 3sin n

D b2 b s

其中n为a, 3不平行时，同时垂直于a, 3的幺

矢，且a, 3, n按此次序构成右手系。

a 3 a , a 3 3

矢量a,湘互平行的充要条件是它们的矢积等于零。零矢与任意矢量平行。

运算规律一览

若a, 3, Y是任意矢量，，是任意纯量，则

1 )结合律：

(a

( )

a

(a 3

)Y

a

(

3

丫)

(a) 3 (a 3)

(a 3 (a 3)

2)交换律：

a 3 3 a

必须注意：a (3 Ba

3)分配律：

( )a a a

(a B )

a B a ( 3 Y a 3 a 丫

a ( BY a 3 a Y

根据行列式性质，有

(a , B , Y ( B Y a ( Y , a , B ) 混合积(a ,B Y 的绝对值表示以a , B , 丫为棱的平 行六面体的体积。

三个矢量a , B , Y 共面的充要调价是它们的混 合积等于零。

若三个矢量a , B , 丫共面，且a , B 不平行，则 是a , B 的线性组合:

1.3混合积、三矢矢积、拉格朗日恒等式

1) 是矢量， 丫的分量，

混合积：

已给三个矢量 (a B ) Y 是纯量。若 则其混合积为 a , B , Y ,则 a B a i , b i , C i

依此是 a , B , (

a 3) Y ( a , 3 丫)

a i

b i a 2 b 2 C 2 a 3 b 3 C 3 (a , Y, B ) (B a , Y ( Y, B a)

2) 三矢矢积：若a, B, 丫是矢量，则三矢矢

（a B ） Y （a 丫）卩（卩 丫）a

3）拉格朗日（Lagrange ）恒等式:

(a B ) ( Y 3) (

a 丫)(卩 3) ( a 卩力 特殊地

2 2 (a B ) a

可以证明：只有零矢量同时垂直于三个不共 面的矢量。

1.4对于空间的点、直线和平面的简单应用

不妨在标架

[O ；e i ，e 2，e 31中来考察空间的点、

直线和平面。 显然，空间的任意一点P 可用其径矢r 表示。 1）令空间任意一直线经过某固定点「°

，它与 一单位矢量v 平行，r 为直线上任意点，则该直线 可表示为

r r o tv

其中t 是纯量。

以上方程称为直线的矢方程，其中t 是参数, 因而也叫做参数矢方程。

2）令空间任意一平面经过某固定点「°

，它与 一单位矢量n 垂直，r 为平面上任意点，则该平面 的矢方程为

积为 OP 来