矢量的基本代数运算

矢量的基本代数运算
《微分几何简介》笔记
Ch.1矢量代数及其在解析几何中的简单应用
§1矢量代数
定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。

1.1直角坐标系-点的坐标与矢的分量
在三维空间中，取任意一点O和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量e i，e2，
e3，构成一个直角坐标系（或标架）。

用[O；e,e2,e3]表示；O称为的原点，e i，e2，e3称为的基矢（或底矢）。

若P为空间任意一点，以0为始点，P为终点的矢量r OP称为P点在标架里的径矢。

P 点在里的坐
标x i, X2，X3就是r径矢在里的分量：
r X i e i X2e2 X a e a
若P、Q为空间两点，它们在里的径矢依次为
r X i e i X2e2 X a e a，s y i e i y z e? y a e a
则矢量
PQ OQ OP s r （y i xje i （y? X2）e2 （y a X a）e a
其中y i X i （i 1,2,3）就是该矢量在 里的分量。

各分量 均为0的矢量称为零矢。

在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是 它们的分量依次相等
若|a 1 , a 为单位矢量（幺矢）。

|a 0，则
a i / a
叫做a 在里的方向余弦，它们是a 和e i
间的角［0, 之间的余弦。

零矢没有方向余弦。

i ）矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三 角
形）法则。

a B (a i b i )e i (a 2 b 2 )e 2 (a 3 b 3 )e 3
2） 矢量差：矢量减法同样按照平行四边形 （或
三角形）法则，为加法的逆运算。

a B （a i
b i ）e i （a ? b 2）e 2 （a 3 b 3）e 3
3） 纯量（或数量）乘矢量：若 为纯量，则
况 a 〔e i a 2e 2 a 3e 3
4）数积（点乘）：矢量a , B 的数积是纯量
a B a i
b i a 2b 2 a 3b 3 a Bcos
矢量a
a ?e 2 a 3e 3的长为 1.2矢量的基本代数运算
现有矢量a a i e
i a 2e 2 a 3e 3和 B b i e i b 2e 2 b 3e 3 a
2 2 a ? a 3
其中［0,］是a, B之间的角。

矢量a, B相互垂直的充要条件是它们的数积等于零。

零矢与任意矢量垂直。

矢量a和单位矢量e的数积等于a在e的方向的垂直投影。

5)矢积(叉乘)：矢量a , (3的矢积是矢量
e i e? e3
a 3 a1a2a3a 3sin n
D b2 b s
其中n为a, 3不平行时，同时垂直于a, 3的幺
矢，且a, 3, n按此次序构成右手系。

a 3 a , a 3 3
矢量a,湘互平行的充要条件是它们的矢积等于零。

零矢与任意矢量平行。

运算规律一览
若a, 3, Y是任意矢量，，是任意纯量，则
1 )结合律：
(a
( )
a
(a 3
)Y
a
(
3
丫)
(a) 3 (a 3)
(a 3 (a 3)
2)交换律：
a 3 3 a
必须注意：a (3 Ba
3)分配律：
( )a a a
(a B )
a B a ( 3 Y a 3 a 丫
a ( BY a 3 a Y
根据行列式性质，有
(a , B , Y ( B Y a ( Y , a , B ) 混合积(a ,B Y 的绝对值表示以a , B , 丫为棱的平 行六面体的体积。

三个矢量a , B , Y 共面的充要调价是它们的混 合积等于零。

若三个矢量a , B , 丫共面，且a , B 不平行，则 是a , B 的线性组合:
1.3混合积、三矢矢积、拉格朗日恒等式
1) 是矢量， 丫的分量，
混合积：
已给三个矢量 (a B ) Y 是纯量。

若 则其混合积为 a , B , Y ,则 a B a i , b i , C i
依此是 a , B , (
a 3) Y ( a , 3 丫)
a i
b i a 2 b 2 C 2 a 3 b 3 C 3 (a , Y, B ) (B a , Y ( Y, B a)
2) 三矢矢积：若a, B, 丫是矢量，则三矢矢
（a B ） Y （a 丫）卩（卩 丫）a
3）拉格朗日（Lagrange ）恒等式:
(a B ) ( Y 3) (
a 丫)(卩 3) ( a 卩力 特殊地
2 2 (a B ) a
可以证明：只有零矢量同时垂直于三个不共 面的矢量。

1.4对于空间的点、直线和平面的简单应用
不妨在标架
[O ；e i ，e 2，e 31中来考察空间的点、
直线和平面。

显然，空间的任意一点P 可用其径矢r 表示。

1）令空间任意一直线经过某固定点「°
，它与 一单位矢量v 平行，r 为直线上任意点，则该直线 可表示为
r r o tv
其中t 是纯量。

以上方程称为直线的矢方程，其中t 是参数, 因而也叫做参数矢方程。

2）令空间任意一平面经过某固定点「°
，它与 一单位矢量n 垂直，r 为平面上任意点，则该平面 的矢方程为
积为 OP 来
n (r r °) 0
注意：通常平面具有方向性，与n 同向的一 侧称为正侧。

另外，两点确定一条直线，三个不共线的点、 两条相交直线、两条平行直线也可以确定一个平 面。

3)过点r i ，作直线r r o tv 的垂线，其垂足
r i r o [(「r o ) v]v
点到直线的距离
d r 1 r 1
4)点r i 到平面n (r r o ) 0的距离
d n (r i r o )
点到平面的垂足
r i r i [(r i r °) n]n
5)两相错直线r
i r io t i a i 与J 5 t 2a 2
的公垂线 单位矢量 % a?
a 〔 a ?
它们间的最短距离
§2坐标变换 2.1基矢变换
在研究齿轮啮合运动时，我们通常取三个标
d
架，一个固定在空间，称为基础标架，另两个分别和运动中的两个齿轮相固连。

因此，有必要考察两个标架或坐标之间的相互关系。

设［oe©®］，［Oe©©］为任意两个直角坐标系。

考察基矢ez®和8©®之间的关系，设在坐标系里，标架的基矢eg®为
3
e i 玄泸)(i 1,2,3)
j i
即
a〔i a〔2 a〔3
e? a 2i a 22 a 23 e?
e3 a 31 a32 a33 e3
则a“, a i2, a i3是e：在坐标系里的分量，也是方向余弦，即e i依次和e i,e2,e3之间的角的余弦：
e：e j a：j (i, j 1, 2,3)
而在在坐标系里，标架的基矢e1,e2,e3为
3
e：a»e j (i 1,2,3)
j 1
或
e〔a〔1 a 21 a31 e〔
e? a 12 a 22 a 32 e?
e3 a 13 a23 a33 e3
若引进方阵的概念和符号，令
a i1 a i2 a i3 a i1 a21 a31
T
，A a〔2 a?2 a 32
A a 21 a 22 a?3
a31 a32 a33 a i3 a23 a33
则A, A T互为转置方阵，且
AA T I , A T A I
其中I表示三阶单位方阵。

A和A T都是正常正交方阵表明：从一个坐标系的基矢到另一个坐标系的基矢的变换是具有正常正交方阵的线性变换，称为正常正交变换。

若从到的基矢的变换方
阵是A，则从至V的基矢的变换方阵是A T。

设有三个坐标系，和，若从到的基矢的变换方阵是A，从到的基矢的变换方阵是B，则从到的基矢的变换方阵为
C BA
2.2矢量的分量变换
设X i，X2，X3是任意矢量r在坐标系里的分量，则在坐标系里的分量为
a〔i a〔2 a〔3
卷a?i a 22 a?3 X2
X3 a31 a32 a33 X3
或
X AX
2.3点的坐标变换在坐标系［Oe©®］里的坐标是X ,再设O点在里的坐标是X o，贝0
设任意点P在坐标系[oe©©]里的坐标是X，
X X o AX
§3刚体变换
刚体是指在运动中，其上任意两点的距离始终保持不变的物体。

通常我们假定齿轮是刚体，齿轮运动是刚体运动。

设［0；6©忌］为基础标架，［0 为与齿
轮相固连的标架，那么，研究齿轮运动的过程即可归结为的运动的研究。

标架的原点和基矢在里都是时间t的函数，这样位置的变化，就叫做刚体位置变换或简称刚体变换。