2000数学分析 华南师范大学

2000数学分析研究生入学考试试题

2000年硕士学位研究生入学考试数学分析试题专业：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论

一、填空题（每小题3分，共30分）

1、设=(-1)+sin ,=1,24n n n a n π…，则lim =____ n n a →∞，

lim =____ n n a →∞

；2、设()x x f x x x ⎧=⎨−⎩，为有理数，为无理数

，x R ∈。则()f x 在=____x 处连续；3、10lim =____ ;1+n n x dx x

→∞∫4、10lim(sin +cos )=____ ;

x x x x →5、方程330x x c −+=（c 为实常数）在区间[0,1]中至少有____个根；

6、设22()n n

dx I x a ∫=+，(1,n n >自然数，写出+1n I 的递推公式+1=____ ;

n I 7、设sin cos 0u(,)(),x y x y f t dt +∫=()f t 是可微函数，则=____ ;

du

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8、设(,)f x y 在0(2,0)p 处可微，且在0p 处指向1(2,2)p 的方向导数是1，指向原点的方向导数是3−，则在处指向2(1,2)p 的方向导数是____ ;

9、写出函数2sin x 在0x =处的幂级数展开式，2sin =____ ;

x 10、曲线22cos ,sin ,02x a t y a t t π==≤≤的弧长=____ ;

s 二、（12分）设()f x 在[0,)∞上连续，lim ()x f x →+∞存在，

证明：()f x 在[0,)∞上可取得最大值或最小值。

三、（12分）设函数(,)

z z x y =由方程222()z

x y z yf y ++=所确定，其中f 是可微函数，求证：222()22z z

x y z xy xz

x y ∂∂−−+=∂∂

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四、（12分）求极限222111lim []

122n n n n n n n →+∞++++++++…五、（12分）已知,a b 为实数，且1a b <<，证明不等式(1)(1)Inb Ina

a b +>+六、（12分）计算曲面积分：23S

I xdydz y dzdx z dxdy

∫∫=++其中S 是球面2221x y z ++=的外侧。

七、（10分）设()0n u x ≥在[,]a b 上连续，=1,2n …，1()n n u x ∞=∑在[,]a b 上收敛于连续函数()f x ，

证明：1()n n u x ∞

=∑在

[,]a b 上一致收敛于连续函数()f x ，