建立动态规划数学模型的步骤教学内容

完好机床数 xk+1=0.8xk-0.3uk
125
高负荷机床数 低负荷机床数
uk
xk-uk
0
125
第二年
100
0
100
第三年
80
0
80
第四年
64
64
0
第五年
32
32
0
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解：以年为阶段，k=1，2，3，4，5
取k年初完好的机床数为状态变量xk 以k年初投入高负荷运行的机床数为决策变量uk，则低负荷运 行机床数是xk-uk，于是状态转移方程为：
xk+1=1/2uk+4/5（xk-uk）=0.8xk-0.3uk 以利润为目标函数，则k年利润为：
10uk+6（xk-uk）=4uk+6xk 记fk（xk）为k年至5年末最大总利润，则动态规划基本方程
f2（x2）=0≤mua2≤xx｛2 4u2+6x2+f3（0.8x2-0.3u2）｝
= max｛
0≤u2≤x2
4u2+6x2+18（0.8x2-0.3u2）｝
当k=1时=0≤mua2≤xx｛2 -1.4u2+20.4x2｝=20.4x2
u2=0
f1（x1）=0≤mua1≤xx｛1 4u1+6x1+f2（0.8x1-0.3u1）｝
= max｛
0≤u1≤x1
4u1+6x1+20.4（0.8x1-0.3u1）｝
0==≤2mu21a.≤3xx2｛1×1-225.=1227u91+02（2.万32元x1）｝=22.32x1
u1=0
至此已算得最大总利润2790万元，再按与计算过程相反的 顺序推回去，可得最优计划如下表所示：
年份 k
第一年
终可以算出全过程的最优策略函数值及最优策略。
另一方面，由于k+1阶段的状态xk+1=T(xk, uk)是由前面 的状态xk和决策uk所形成的，在计算fk+1ห้องสมุดไป่ตู้xk+1）时还不能具 体确定xk+1的值，所以，这就要求必须就k+1阶段的各个可 能状态计算fk+1（xk+1），因此动态规划方法不但能求出整 个问题的最优策略和最优目标值，而且还能求出决策过程 中所有可能状态的最优策略及最优目标值。
fn+1（xn+1）=C
k=n,n-1,…,1
以上是建立动态规划模型的过程，这个过程是正确求解动态规
划的基础。
在动态规划基本方程中， rk(xk, uk)， xk+1=T(xk, uk)都是已知函数， 最优子策略fk（xk）与fk+1（xk+1）之间是递推关系，要求出fk（xk） 及uk(xk)，需要先求出fk+1（xk+1），这就决定了应用动态规划基本方 程求最优策略总是逆着阶段的顺序进行的。由后向前逐步计算，最
f当5（k=x45）时=0≤maux5≤｛x5 4u5+6x5+f6（x6）｝=10x5
u5=x5
f4（x4）=0=≤mmua4a≤xxx｛｛4
0≤u4≤x4
4u4+6x4+f5（0.8x4-0.3u4）｝ 4u4+6x4+10（0.8x4-0.3u4）｝
= max｛ 当k=3时0≤u4≤x4
u4+14x4｝=15x4
建立动态规划数学模型的步骤
⒊确定决策变量uk及允许决策变量集合Dk(uk)。 ⒋根据状态变量之间的递推关系，写出状态转移方程：
xk+1=T(xk, uk(xk))
⒌建立指标函数。一般用rk(xk, uk)描写阶段效应，fk（xk）表示 k—n阶段的最优子策略函数。
⒍建立动态规划基本方程：
fk（xk）u=k∈opDt｛k(ukr)k(xk, uk(xk))﹡fk+1（xk+1）｝
为：
fk（xk）=0≤muak≤xx｛k 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝
f6（x6）=0
k=5,4,3,2,1
以上是建立动态模型的过程，下面具体求解。
注意动态规划基本方程为： fk（xk）=0≤mauxk≤｛xk 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝
所以，当k=5时，有
下面就按上述步骤求解例2。
例2（带回收的资源分配问题）某厂新购某种机床125台。据 估计，这种设备5年后将被其它设备所代替。此机床如在高负荷状 态下工作，年损坏率为1/2，年利润为10万元；如在低负荷状态下 工作，年损坏率为1/5，年利润为6万元。问应如何安排这些机床的 生产负荷，才能使5年内获得的利润最大？
u4=x4
f3（x3）=0≤mua3≤xx｛3 4u3+6x3+f4（0.8x3-0.3u3）｝
= max｛
0≤u3≤x3
4u3+6x3+15（0.8x3-0.3u3）｝
= max｛
0≤u3≤x3
-0.5u3+18x3｝=18x3
u3=0
动态规划基本方程为：
fk（xk）=0≤muak≤xx｛k 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝ 当k=2时