2019年四川省眉山市高考数学一诊试卷(文科)

2019年四川省眉山市高考数学一诊试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知集合A {x|log x2}，B {x|2x 2}，则A
2
B ()
A．(2,2)B．(0,2)C．(2，4]D．(0，4]
2．（5分）复数z 34i
34i
(i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）已知(,
2)，sin
3
，则sin()(
54
)
A．72
10
B．
72
10
C．
2
10
D．
2
10
4．（5分）函数y x sin x部分图象大致为()
A．B．
C．D．
5．（5分）中国古代的数学家不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理进行证明．三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．在“赵
爽弦图”中，以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的那个正方形组成．如图，正方形ABCD是某大厅按“赵爽弦图”设计铺设的地板砖．已知4个直角三角形的两直角边分别为a 30cm，
b 40cm．若某小物体落在这块地板砖上任何位置的机会是均等的．则该小物体落在中间小正方形中的概
率是()
A ．
1
25
B ．
1
12
C ．
6
25 D ．
24 25
6．（5 分）下列函数中，在区间 (0, )上为增函数的是 (
)
A ． y
1
x
B ． y
2 x
C ． y x cos x
D ． y
x 3
3x
7．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的值为 (
)
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
8．（5 分）若 x
， y 满足约束条件
x y … 1 x y … 3 ，则 z 2 x y 的最大值为 (
)
x (1)
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
9．（5分）如图，正方体 ABCD A B C D 的棱长为 1，点 P 是面 A B C D 内任意一点，则四棱锥P ABCD 的
1 1 1 1
1 1 1 1
体积为 (
)
A ．
1 6
B ．
1 3
C ．
1 2
D ．
2 3
10．（5 分）已知 a log 2 1
1 ，
b
2 3 ， c
( ) 2 3
2 ，则 a ， b ， c 的大小关系为 (
)
A ． a b c
B ． a c b
C ． b c a
D ． c b a
11．（5分）如图，正三棱锥D ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，底面正三角形的边长为 3，侧棱长为 2 3 ， 则球 O 的表面积是 (
)
1
A ． 4
B ．
32
3
C ． 16
D ． 36
12．（5 分）已知点 A (1,0) 是抛物线 y
2 px 的准线与 x
轴的交点， F 为抛物线的焦点， P 是抛物线上的动
点，则
| PF |
| PA |
的最小值为 (
)
A ．
1 3
B ．
2
2
C ．
4 5
D ．
3 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．（5 分）椭圆
x 2
y 2
1(a 3) 的焦距为
． a 2 a 2 9
14．（5 分）若向量 a (1,1)， b (2,3) ， c (3, x ) 满足条件 (2a b ) c 2 ，则 x
．
15．（5 分）张明同学进入高三后，5 次月考数学成绩的茎叶图如图所示，那么他这 5 次月考数学成绩的平均 数为
．
16．（5 分）已知函数 f ( x ) ae
2 x 1有两个零点，则 a
的取值范围是
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考每个试题考生都必 须作答．第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答．
17．（12 分）设数列 {a }的前 n n
项和为 S ，且 S
n n n
2 16n m ．
（1）当
2 时，求通项公式 a ；
n
（2）设 {a }的各项为正，当 m 15 时，求 的取值范
围． n
18．（12 分）已知 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a
， b ， c
，且 a cos B (2c b )cos A ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 AD 为 BC 边上的高， a 6 ，求 AD 的范围．
19．（12 分）某地方教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了 100 名学生进行检测， 将得到的成绩百分制按照 [50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ， [90 ，100] 分成 5 组，制成如图 2
x
（1）求a，b的值；
（2）已知得分在[90，100]内的男生人数与女生人数的比为2:1
抽取的两人中至少有一名女生的概率．
，若在该组中随机抽取2人进行交流，求所
20．（12分）某商家销售某种商品，已知该商品进货单价由两部分构成：一部分为每件产品的进货固定价为3百元，另一部分为进货浮动价，据市场调查，该产品的销售单价与日销售量的关系如表所示：
销售单价x （单位：百
元）
日销售量y
（单位：
件）
45678 110100908070
该产品的进货浮动价与日销售量关系如下表所示：
日销售量y
（单位：
件）
进货浮动价d
（单位：百
元）120100906045 0.750.91 1.52
（1）分别建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品日销售量y与销售单价x 动价d与日销售量y的关系d(y)；
的关系f(x)、进货浮【注：可选的函数模型有一次函数、二次函数、反比例函数指数函数、对数函数、幂函数】
（2）运用（1）中的函数模型判断，该产品销售单价确定为多少元时，单件产品的利润最大？
【注：单件产品的利润单件售价（进货浮动价进货固定价）】
21．（12分）已知函数f(x)x
2x y 20．
，b的值；
（1）求a
2ax blnx(a,b R)，曲线y f(x)在点(1，f （1）)处的切线方程为
（2）求证：当m…2，x 1时，不等式m(e
[选修4-4：坐标系与参数方程]
x e)…e f(x)恒成立．
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
1x 2t
y 3t
(t为参数，t R)，以坐标原点O为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos 4sin ．
2
（1）求C的普通方程，C的直角坐标方程；
1 2
（2）曲线C与C交于点M，N ，求|MN|的值．
1 2
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f(x)2|x||x 2|．
（1）解不等式f(x)…4；
（2）设函数f(x)的最小值为m，若实数a、b满足a2b2m2，求41
最小值．a2b21
2019年四川省眉山市高考数学一诊试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
【解答】解：集合A {x|log x剟2}{x|0x4}，
2
B {x|2x 2}，
则A B {x|2x4}(2，4]．
故选：C ．
34i (34i)2724
【解答】解：z i
34i (34i)(34i) 2525
，
z在复平面内对应的点的坐标为(故选：C ．724
,)，在第三象限．2525
【解答】解：(
2，)，sin
3
，
5
c os 1sin
4 2，
5
则sin(
2
2)(sin cos )
4210
．
故选：D．
【解答】解：函数y x sin x是偶函数，可知B，C正确；
当x (0,)时，函数y 0，可知函数的图象为：D．
故选：D．
【解答】解：如图，a 30c m，b 40cm，
小正方形的边长为403010，大正方形的边长c a2b250．则小正方形面积为100，大正方形面积为2500
现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，
则由几何概型概率计算公式得飞镖落在小正方形内的概率是：
p 1001
．250025
故选：A．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y 1
x
，为反比例函数，在区间(0,)上为减函数，不能符合题意；
对于B，y 2x
1
()
2
x，为指数函数，在区间(0,)上为减函数，不能符合题意；
对于C，y x cos x，则y 1si n x…0，在R上为增函数，符合题意；
对于D，y x33x，其导数y 3x233(x21)，在区间(0,1)上为减函数，不能符合题意；故选：C ．
【解答】解根据题意运行程序得，i 1，S 0lg21g2；
i 2，S 0lg2lg 3
2
lg3；
i 3，S 0lg2lg 34
lg lg4 23
；
i 9，S lg101满足条件S (1)
故选：C ．
【解答】解：x
x y (1)
，y满足约束条件x y…3，作可行域如图，
x (1)
易知可行域为一个三角形，
其三个顶点为A(2,1)，(1,2)，(1,0)，
验证知在点A(2,1)时取得最大值2
即当直线z 2x y过点A(1,0)时，z最大是5，
故选：C ．
【解答】解：正方体ABCD A B C D的棱长为1，
1 1 1 1
点P是面A B C D内任意一点，
1 1 1 1
点P到平面ABCD的距离d AA 1，
1
S
正方形ABCD 111，
四棱锥P ABCD的体积为：
V
P ABCD
111
AA S 11．
333
故选：B．
【解答】解：a log
2
1
2
log10
2
，
1
b 23201，
11
0c ()2()01．
33
a c b．
故选：B．
【解答】解：如图，设OM x，OB OD r
AB 3，
BM 3，
又DB 23，
D M 3，
在Rt OMB中，(3x)x 3，
得：x 1，
r 2，
，
S
球O
16，
故选：C ．
【解答】解：由题意可得，焦点F(1,0)，准线方程为x 1．过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
由抛物线的定义可得|PF ||P M|，
1 正方形ABCD
2 2
则则|PF||PM |
sin PAM，PAM为锐角．|PA||PA|
故当PAM最小时，则|PF|
|PA|
最小，
故当PA和抛物线相切时，可设切点P(a，2a)，|PF|
|PA|
的最小．
则PA的斜率为k 2a
a 1
，
而函数y 2x的导数为y(2
x )2a1
即为，
a 1a
求得a 1，可得P(1,2)，
则|PM |2，|PA |22，
|PM|22
即有sin PAM ，
|PA|2221
x
，
由抛物线的对称性可得P为(1,2) 时，同样取得最小值故选：B．
2
2
．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
x2y2
【解答】解：椭圆
a2a29
1(a 3)，可得：c a2a293，
可得椭圆x2
a2a
y2
29
1(a 3)的焦距为：6．
故答案为：6．
【解答】解：a (1,1)，b (2,3)，c (3,x)，
2a b (4,5)，
(2a b)c 2，
则435x 2，
x 2
故答案为：2
【解答】解：这5次月考数学成绩分别是：
105，115，118，120，122，
1
故平均数是：(105115118120122)116
5
，
故答案为：116．
【解答】解：根据题意，f(x)ae x 2x 1，其导数f (x)ae x 2，
若函数f(x)ae x 2x 1有两个零点，分2种情况讨论：
①，当a0时，f (x)ae x 20，f(x)在R上为减函数，则函数f(x)最多只有1个零点，不符合题意；
②，当a 0时，令f (x)ae x 20，解可得x ln 2
a
，
22
分析可得：在(,l n)上，f (x)0，函数f(x)为减函数，在(ln
a a
数，
，)上，f (x)0，函数f(x)为增函
则当x ln 2
a
时，函数f(x)取得最小值，
且当x 上，f(x)，当x 上，f(x)，
2
若函数f(x)ae 2x 1有两个零点，则必有f(ln )0，即a e
a
2
，
解可得：a
e
2
)；
又由a 0，则a的取值范围为(0,
e ln
2
a
2
2(ln)10 ，
a
综合可得：a的取值范围为(0,2
e )；
故答案为：(0,2
e )．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．
【解答】解：（1）数列{a}的前n
n 项和为S，且S
n n n2
16n m．
当2时，S 2n216n m①．
x
所以：S
n 1
2(n 1)216(n 1)m②，
①②得：a S S
n n n
1
，
4n 18
14m(n 1)
故：a
4n 18(n…2)
（2）由m 15时，
．
当n 1时，a S
1 1
1，
当n…2时，a S S
n n n
1
2n 16，
所以：由于数列的各项为正数，
10
故：20，
22160
16
解得：
3
故的取值范围是：{|
16
3
}．
【解答】解：（1）由(2c b)cos A a cos B及正弦定理得(2sin C sin B)cos A sin A cos B，得2sin C cos A sin A cos B cos A sin B sin(A B)，
A B C ，
s in(A B)sin C 0，
c os A
1
2
，
A为三角形的内角，
A
3
．
（2）根据（1）的结论，
S
ABC
11
AD BC bc sin A，
22
AD
3
12
bc，
1b2c2a22bc 36
由余弦定理得：cos A …，
22bc2bc
0bc…36（当且仅当b c时等号成立）
0AD…33．
n
a 4b
(0.008a 0.0350.027b)101
，
解得a 0.024，b 0.006．
（2）得分在[90，100]内的男生人数与女生人数的比为2:1，
由频率分布直方图得得分在[90，100]内的频率为0.006100.06，得分在[90，100]内抽取0.061006人，
其中男生有621
4人，女生有62人，33
在该组中随机抽取2人进行交流，
基本事件总数n C2
6
15人，
所抽取的两人中至少有一名女生的对立事件是所抽取的两人都是男生，
所抽取的两人中至少有一名女生的概率p 1C2 6 3 4 1．C2155 6
【解答】解：（1）根据表中数据，销售单价每增加1百元，日销量减少10件，所以销售单价与销售量为一次函数的关系，故可设f(x)kx b，
4k b 110
由，解得k 10，b 150，
5k b 100
即f(x)10x 150，
又根据表中数据，日销售量和进货浮动价的积为一个固定常数90，考虑其为一个反比例函数关系，设d(y)由题意可得m 90，m
y
，
于是d(y)90
y
，
（2）由
15010x 0
x 0
，可得0x 15，设单件产品的利润为P百元，
则P x (d(y)3)x
因为0x 15，
所以15x 0，90909
3x 3x 3 ，f(x)15010x15x
所以P (15x
9
15x
)12，
又15x
9
9…2(15x)
15x15x
6，
当且仅当15x 9
，即x 12时等号成立，
所以P
max
6126，
故单件产品售价定为1200元时，单件产品的利润最大，为600元．
b
【解答】解：（1）f (x)2x a ，故f（1）a 1，f （1）a b 2，
x
将点(1，f （1）)代入切线方程得21f（1）20，得f（1）0 ，所以，
a 1
；
b 1f(1)a 10
f (1)a b 22
，解得
（2）由（1）得：f(x)x2x lnx，当m…2，x 1时，要证不等式m(e x e)…e f(x)，即证m(e x 11)…x2x lnx，先证：当x 1时，2(e x 11)…x2x lnx．
构造函数g(x)2(e 1)x x lnx，其中x 1，
则g (x)2e x 12x 11x 1
2(e x 1x)
x x
，
构造函数h(x)e x 1x，其中x 1，则h(x)e x 11，当x 1时，h(x)0．
所以，函数h(x)在(1,)上单调递增，当x 1时，h(x)h（1）0，则e
所以，当x 1时，h(x)0，
因此，函数g(x)在(1,)上单调递增，所以，g(x)g（1）0，
x 1x 0，
那么，当x 1时，2(e x 11)x2x lnx，
则当m…2且x 1时，m(e 1)…2(e 1)x x lnx，
因此，当m…2，x 1时，不等式m(e
[选修4-4：坐标系与参数方程]
x e)…e f(x)恒成立．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为
1x 2t
y 3t
(t为参数，t R)，
曲线C的普通方程为：3x y 6
0．1
曲线C的极坐标方程为2cos 4sin ，2
即
2
2cos 4sin ，
C的直角坐标方程x y 2x 4y，2
C的直角坐标方程为(x 1) 2(y 2)25．
x 12
x 1x 12
2 2
2
（2）联立3x y 60
(x 1)2 (y 2)2 5
x 2x 3，
得或，
y 0y 3
M(2,0)，N(3,3)，或M(3,3)，N(2,0)，|M N |(32)2(30)210．
[选修4-5：不等式选讲]
【解答】解：（1）当
2
x 0时，则f(x)3x 2…4，解得：…x 0，
3
当0剟x2时，则f(x)x 2…4，解得：0剟x2，当x 2时，则f(x)3x 2…4，此时无解，
2
综上，不等式的解集是{x |剟x2}
3
；
（2）由（1）知，当x 0时，f(x)3x 22，当0剟x2时，则f(x)x 2…2，
当x 2时，则f(x)3x 24，
故函数f(x)的最小值是2，
故m 2，即a2b24，
41
则
a2b21
141
(a2b21)()
5a2 b 2 1
14(b21)a2
[5]
5a2b21
14(b21)a29
厖(52) ，
5a2b215
当且仅当4(b21)a2
a2b21
且a2b24，
即a2102
，b2取“”，33
故419
的最小值是．
a2b215。