第6章 混沌与分岔
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
分岔与混沌
化会引起特征值的变化，当控制参数达到分
岔参数值时，系统稳定性发生质的变化，它
可以表现为 ( ) 在复平面的运动。由此也可以
定义三种分岔类型:
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机械系统与振动国家重点实验室
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叉型分岔
霍普分岔
特征值 为
实数，沿复
平面的实轴由
负变正穿过虚
轴。
平衡点
x 0 和 x＝ ,
x 0,
而对应特征值则为
0
0
x2
对于图3，当 c时，平衡态的一个分支是稳定的；然而当 c时，这
一支就变得不稳定了；一旦当 c 有新的平衡分支解 x 又变成稳
定的了，这种情况被称为超临界分岔。反过来，若新的平衡分支解x
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机械系统与振动国家重点实验室
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庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法
考虑微分方程
x=f（x），x∈Rn
（1）
设f（x）足够光滑，且f（0）=0。
现在研究对于某个给定正整数r≥2，通过坐标的多项式变换，
使得在f的泰勒展开式中直到r次的项都有比较简单的形式。
庞加莱伯克霍夫范式定理 设f（x）是Cr向量场（r≥2），f
23
庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法
需要注意：
1.对于给定的r来说，r阶PB范式的取法一般不是唯一的。
2.在平衡点附近，截断规范形系统与原来的系统的拓扑结
构往往有密切的关系，但并不一定相同。一般来说，对于
给定的r，r阶PB范式到底能在多大程度上反映原系统的定
性性态仍然是一个未完全解决的问题。
3.尽管如此，在大量研究中发现，阶数不太高的PB范式通
第6章 混沌与分岔
➢ 迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非 零的1周期解，同样对应系统的稳定状态。对方程Xn+1=2Xn (1—Xn)作迭 代 ， 取 X1=0.1 则 有 X2=0.18 ， X3=0.2952 ， X4=0.416111392 ， X5=0.485924299 ， X6=0.4999604721 ， X7=0.499999687 ， X8=0.499999999······可见很快收敛于X*=0.5。又对方程Xn+1=2.5Xn (1—Xn) 作迭代，取X1=0.1也只须十几次迭代就收敛于X*=0.6了。不过与上一迭 代趋近方式有所不同，几次迭代后结果就在X*值上下产生小幅振荡，并 最终收敛于X*=0.6。
第六章
混沌与分岔
Content
1. 混沌与分岔的起源与发展 2. 混沌的概念 3. 混沌的特点 4. 混沌现象举例 5. 分岔的概念 6. 分岔现象举例 7. 混沌的研究方法 8. 分岔的研究方法 9. 混沌在现代科技领域的应用
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混沌与分岔的起源与发展
➢ 公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。
➢ 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
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混沌的概念
➢ n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然数 k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
➢ n周期轨道的定义：当x0为f 的一个n周期点时，称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
数学中的混沌动力系统与分岔理论
在数学领域中，混沌动力系统与分岔理论是两个重要而引人注目的主题。
混沌动力系统是指那些对初始条件极其敏感，呈现出难以预测和复杂演化的系统。
分岔理论则是研究系统从一个稳定状态突变为多个稳定状态的过程。
这两个理论在许多领域都有广泛的应用，从自然科学到社会科学，深深地影响了人们对系统运行和演变的理解。
混沌动力系统最早是由美国气象学家、数学家爱德华·洛伦兹在1960年代中期提出的。
他的研究工作主要集中在研究大气运动模型。
在这个系统中，初始条件的微小变化会引起模型的输出结果相差甚远。
这引发了洛伦兹的兴趣，他将这种现象命名为“蝴蝶效应”来形容起初微弱的变化可能会引发大规模的效应。
洛伦兹在混沌动力系统的研究中发现了奇异吸引子的存在，这是一种引导系统演化过程的特殊性质。
奇异吸引子在混沌动力系统理论中起着重要的作用，它不仅提供了对系统行为的定量描述，同时也揭示了系统中的复杂结构。
分岔理论则着重研究系统的稳定性突变过程。
分岔是指当系统参数发生细微变化时，系统从一种稳定状态突变为另一种稳定状态的现象。
最著名的分岔是“费根鲍姆分岔”，早在19世纪末由法国数学家亨利·费根鲍姆提出。
他发现简单的非线性方程可能引起系统从一个稳定状态到周期运动，然后到混沌。
这种突变行为使得分岔理论成为许多自然现象的重要解释机制，例如生物进化、气候变化等。
混沌动力系统和分岔理论在现代科学中有广泛的应用。
在天气预报中，混沌动力系统理论帮助科学家们理解气象系统的复杂行为，进而提高了预测的准确性。
在物理学中，混沌动力系统的研究揭示了粒子运动的随机性和确定性之间的微妙平衡。
在生物学中，分岔理论帮助研究者理解进化过程中物种数量的突变和物种多样性的起源。
在社会科学中，混沌动力系统的影响范围更加广泛，从经济学到心理学，都有许多应用案例。
总之，数学中的混沌动力系统与分岔理论是对系统运行和演化进行研究的重要工具。
混沌动力系统的研究揭示了系统的复杂性和不确定性，而分岔理论则研究了系统从一个稳定状态到多个状态的突变过程。
常微分方程的分岔和混沌现象
常微分方程的分岔和混沌现象在数学中，常微分方程是一种可以描述物理现象的数学模型。
它可以用来研究物体的位置、速度和加速度之间的关系，以及变化的趋势。
常微分方程的分岔和混沌现象是该领域中的一个重要的课题，本文将从这个角度来深入探讨。
一、什么是常微分方程的分岔？在物理现象中，往往有一些参数是可以改变的，比如弹簧的弹性系数，转动惯量等等。
在数学模型中，这些参数往往以某个常数的形式出现，我们称之为控制参数。
当控制参数发生微小变化时，数学模型的解也会发生微小的变化。
分岔就是指，当控制参数发生连续或突然的变化时，数学模型的解出现了明显的差别，显示出了不同的行为特征。
例如，当控制参数发生小变化时，物理现象可能在一个稳定的状态下来回振动，而当控制参数的值超过某个特定的临界点时，物理现象会出现混乱的不规则波动，这就是分岔现象。
二、什么是混沌现象？混沌现象是指，当物理现象受到微小的扰动时，它的运动过程变得高度不稳定和不可预测。
这种不可预测的现象表现为波动或震荡的不规则运动，这种不规则运动又称为混沌运动。
混沌现象在物理、化学、生物等多个领域中都有应用。
三、常微分方程的分岔与混沌现象之间的关系分岔是混沌现象的前提条件之一。
通过调整控制参数，一些数学模型可以表现出非常有规律但是复杂的行为。
随着控制参数的改变，它们会经历一系列的分岔，最终出现混沌现象。
例如，著名的洛伦兹系统，通过改变其参数，可以很容易地使方程产生分岔，最终出现混沌现象。
四、常微分方程的分岔和混沌现象的应用常微分方程的分岔和混沌现象在很多领域都有应用。
在物理领域中，这些现象可以用于描述流体、气体等的运动方式，从而帮助物理学家更好地理解它们的性质和行为。
在经济学中，常微分方程的分岔和混沌现象可以用来研究经济模型中的行为和趋势，以更好地预测和管理经济的发展。
在生物学中，常微分方程的分岔和混沌现象可以用于描述细胞生长和病毒传播的方式，为人们提供更好的治疗和预防方法。
非线性微分方程的分岔和混沌现象
非线性微分方程的分岔和混沌现象非线性微分方程是自然科学中经典的研究对象之一。
在广泛的自然现象和实验研究时，非线性微分方程都是用来描述这些现象的数学工具。
但是，非线性微分方程的动力学特性非常复杂，包括分岔、混沌等现象。
这些现象对于科学家而言是非常重要而且有很多有趣的数学理论成果与实际应用。
在本文中，我们将探讨非线性微分方程的分岔和混沌现象的一些基本概念与数学理论。
一、非线性微分方程的分岔现象分岔现象是指一个系统中的某些参数发生变化时，该系统的稳定性质发生变化。
特别是当这些参数逐渐变化到一定的“临界点”时，系统的稳定性质突然发生改变，这种现象叫做分岔。
通常，这个临界点称为临界参数值。
分岔现象是非线性微分方程的一个根本动力学现象，在自然科学中有着广泛的应用。
1. 常见的分岔类型非线性微分方程的分岔有许多类型，其中比较常见的有：鞍点分岔、极小极大分岔、超过阈值分岔、分支分岔等。
鞍点分岔是指由一个稳定的状态发生分裂从而出现两个不同状态的现象。
这种分岔是由一个简单稳定节点与一个鞍点相遇时产生的。
极小极大分岔是指当参数发生微小的变化时，极小值点和极大值点突然出现的现象。
超过阈值分岔是指当参数超过某些阈值时，系统从一个极限环突变到一个新的解的现象。
分支分岔是指在参数空间中出现分支条件，这通常在响应系统行为的外部变量出现周期性变化时会发生。
2. 分岔的重要性分岔现象对于非线性微分方程而言是非常重要的，因为它可以揭示系统的稳定性和动力学性质。
而且，正是由于分岔现象才使得非线性微分方程在自然科学领域中有着广泛的应用。
例如，在物理领域中，分岔现象可以帮助我们研究光学、空气动力学、气象学等领域中的不同系统。
在生物学领域中，分岔现象可以帮助我们研究細胞過程中的周期性行为、神经行为、化學反應等。
在经济学领域中，分岔现象可以帮助我们理解市場泡沫、动态平衡等问题。
二、非线性微分方程的混沌现象混沌现象是指某些动力学系统（如非线性微分方程）的随时间演化的状态具有无限的、不可预测的细节。
混沌与分岔
? 分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特 (B.B.Mandelbrot)在 70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
? 所谓分形是指 n维空间一个点集的一种几何性质，它们具 有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体 相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数，这种点 集叫分形体。
? 分维就是用非整数维 -分数维来定量地描述分形的基本特 性。
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混沌的特点
5. 普适性
? 普适性包括两种，即结构的普适性和测度的普适性。 ? 当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其
特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。
混沌的特点
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6. 遍历性
? 遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够 到达混沌区域内任何一点。
? 1834年雅可比首次提出分岔这个术语。
? 1885年，庞卡莱提出旋转液体星平衡图形的演化过程的 分岔理论。固体力学的屈曲和流体力学的转捩一直是分岔 研究的重要动力。
? 20世纪30年代，范德波、安德罗诺夫等在非线性振动研 究中发现大量的分岔现象。
? 以后在很长时间内，分岔的研究主要集中在应用领域，直 到 20世纪 60 年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线 性分析等方面逐渐形成了现代数学理论。
n? ?
lim sup f (n) (x) ? f (n) ( p) ? 0, x? S, p为周期点
n? ?
? 则称 f 在S上是混沌的。
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混沌的概念
? Li-Yorke定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系 统应该具有三种性质：
1. 存在所有周期的周期轨道； 2. 存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨
混沌与分岔理论在一类金融风险系统中的应用研究
混沌与分岔理论在一类金融风险系统中的应用研究作者：李博田瑞兰张炜华来源：《河北经贸大学学报》2018年第06期摘要：混沌與分岔理论是非线性动力学中的重要组成部分。
利用混沌与分岔理论对一类金融风险系统的非线性动力学行为及其稳定性展开研究，分析金融风险系统模型分岔图与相图可知，该系统存在复杂的动力学行为。
为此，选择不同参数组合下合适的控制强度参数，可为实现金融风险系统的平稳运行提供参考。
关键词：混沌与分岔;金融风险系统;非线性动力学行为;分岔图;相图;参数组合中图分类号：F830 文献标识码：A 文章编号：1007-2101（2018）06-0095-07一、引言金融系统是国家经济运行的核心部分，如何维护金融系统的稳定运行以及对金融风险进行有效的预测与控制，既是政府部门宏观调控的重要目标，也是学者们研究的热点。
当前，金融系统处于不稳定的波动状态，这是由自身复杂性及其内外部因素共同作用的结果，其中，突发性的金融危机即是金融系统呈现出的一种典型的非线性反应。
传统的金融理论对非线性相互作用机制的忽视导致无法对金融系统进行有效的预测和控制，因此，以非线性动力学为基础的金融理论应运而生，并得到学者们的广泛关注与应用。
宋捷等通过运用非线性经济学重点对市场经济体制下的产销不平衡现象进行了分析[1];黄登仕等运用非线性经济学中的分形理论对金融系统中的寡头垄断市场的竞争与联合关系进行了深入分析[2];伍海华等运用非线性动力学中的分形与混沌理论深入研究了股票的价格分形维问题[3];涂润生等以非线性价值理论为基础对非线性经济学进行详细阐述[4];王凤兰等将非线性经济学知识运用到股票市场，从非线性动力学的视角分析股票市场并确定出影响股票价格波动的因素[5];樊重俊等提出将非线性定量分析运用到国际贸易中，并对与其相关的预测模型进行研究和评述[7];潘明运用非线性动力系统分析国防支出与经济增长之间的复杂关系并建立相关模型[9]等。
分岔、拟周期与混沌现象
(7 6)
2006-2007年于南京
现 代 电 路 理 论
7.2 非线性电路的分歧 南京理工大学自动化学院sunjh
d u1 d du2 d du3 d
2 1 0
1 2 1
k u1 1 u 2 1 u3
混沌现象
非线性电路中的平衡点、周期解、拟周期的共同特征：
1、完全确定性； 2、解对初值的不敏感； 3、对周期解和拟周期解，频谱是离散的； 4、对于周期激励的电路，无论解是周期振荡或是拟周期 振荡，当选取激励信号的周期作等间隔横截其响应时，周 期信号在横截面表现为一个点，或m个点，一个点称周期1， m个点称周期m；拟周期则是一个无限填充的封面椭圆。这 种截面称为庞卡莱截面。
2006-2007年于南京
现 代 电 路 理 论
7.3
非线性电路中的拟周期现象 南京理工大学自动化学院sunjh
7.3
非线性电路的分歧 主要内容
1、分歧
2、过临界分歧
3、叉形分歧
4、Hopf分歧
2006-2007年于南京
现 代 电 路 理 论
7.4 混沌现象 南京理工大学自动化学院sunjh
7.4
局部分歧：讨论平衡点或轨道附近相图的拓扑结构的变化。
全局分歧：研究大范围内拓扑结构的变化。 静态分歧：鞍结分歧、跨临界分歧等。
动态分歧：霍普夫（Hopf）分歧、闭轨分歧、环面分歧、同 宿或异宿分歧等等。
只有平衡点是非双曲平衡点时，才会有分歧现象发生。
2006-2007年于南京
现 代 电 路 理 论
所谓确定的电路，是指所有元件参数全是确定的，不含任何随机 因数。
混沌理论综述很全
拉格朗日
三个等质量旳物体，排成等边三角形绕三角形旳中心做 圆周运动。
近代计算机运算
三个等质量旳物体在一条“8”字形轨道上运动。 ------宇宙中还没找到。
混沌与分岔旳起源与发展
❖ 混沌现象发觉后来，有关分岔与混沌之间联络旳研 究得到迅速发展，如：
❖ Rulle和Takens发觉环面分岔通向混沌； ❖ Feigenbaum发觉倍周期分岔通向混沌； ❖ Pomeou等发觉伴随鞍结分岔旳阵发性通向混沌。
混沌旳特点
5. 普适性
❖ 普适性涉及两种，即构造旳普适性和测度旳普适性。 ❖ 当系统趋于混沌时，所体现出旳特征具有普适意义，其
特征不因详细系统旳不同和系统运动方程旳差别而变化。
混沌旳特点
6. 遍历性
❖ 遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够到达混 沌区域内任何一点。
混沌旳特点
7. 奇怪吸引子
❖ 混沌旳定性描述，“混沌是拟定性非线性系统旳有界旳敏 感初始条件旳非周期行为”。
混沌旳概念
❖ n周期点旳定义：假如对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于不大于n旳自 然数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 旳一种n周期点。
❖ n周期轨道旳定义：当x0为f 旳一种n周期点时，称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 旳n周期轨道。
混沌旳特点
2. 内在随机性
❖ 拟定性行为一定产生于拟定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是拟定性方程。 随机微分方程体现出来旳随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界逼迫所产生，常称为外在随机性。拟 定性方程本身不包括任何随机原因，但在一定旳参数范 围却能产生出看起来很混乱旳成果，把这种由拟定性方 程产生旳随机性称之为内在随机性。
分岔与混沌
3 典型实例
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
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典型实例
3.1 叉型分岔
典型实例是
x x3 x( x2 ) x
（1）
上式中，x 是实数， 是可正可负的参数，令 x =0，可知方程(1)的定态平衡 解是
x 0, x 0和 x ,
•中心流形法
•李雅普诺夫-施密特约化（LS约化）
•幂级数法 •摄动法 •Shilnikov法 •数值法
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奇异性理论方法
奇异性研究可微映射的退化性和分类，首先将分叉问题化 为较简单的范式（Normal Form）进行识别和分类，再通 过“普适开折”得到一般扰动下可能出现的所有分叉性态， 随后讨论分叉图的保持性和转迁集等。可以处理：静态分 叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。 对于高维问题，理论上可借助LS约化方法降维，然后再应 用奇异性方法。 该方法参考：
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机械系统与振动国家重点实验室
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十分明显，叉型分岔和鞍-结分岔是实分岔， 而霍普分岔是复分岔，不论哪一种分岔，它 们在分岔点均满足：
d [Re( ( )] 0 d
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机械系统与振动国家重点实验室
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2.静态分岔和动态分岔 静态分岔，研究当参数发生变化时，平衡点数目和 稳定性如何发生变化，如叉形分岔和鞍结分岔等； 动态分岔，主要是指解的类型发生变化，如由平衡 点变为周期解（Hopf分岔），周期解的分岔（倍周 期分岔）等。 3. 局部分岔和全局分岔 局部分岔研究某个不动点附近动力系统的拓扑结构 如何发生变化。全局分岔则分析向量场的大范围的 拓扑结构。静态分岔和Hopf分岔都属于局部分岔 ，而其它的分岔则属于全局分岔。局部分岔是全局 分岔分析的一个重要内容。一般来说，完整的全局 分岔分析是十分困难的，甚至是不可能的，所以对 局部分岔的研究就显得尤为重要。 机械系统与振动国家重点实验室
分岔与混沌
092071201 李慧丽一类分支出十二个小振幅极限环的三次多项式系统刘一戎 黄文韬这是一篇刘一戎老师和黄文韬老师的论文，该文研究一类三次系统的小振幅极限环问题，用奇点量的的方法计算焦点量，得到了一类三次多项式系统在细焦点分支出12个小振幅极限环的结论。
奇点量的表达式是相对简单的，极限环存在性的证明过程是准确的符号运算。
下面是原文内容的译文。
1 引言在平面微分系统定性理论中，下列多项式系统的极限环分支问题是一个众所周知的困难问题这个问题属于Hilbert 第十六问题的第二部分。
最近的综述文章[1]给出了这个问题的最新进展。
令H(n)表示n 次多项式系统(1)的最大极限环个数，则文[3]证明了H(2)≥4。
文[7，9，37]给出了H(3)≥11。
最近，P.Yu 和韩冒安[10]利用正规型理论研究下列关于原点对称的三次多项式系统：其中22112030312140,,,,,,,2aa b a a a b b a b b b a a b+≠>==-=-=-= 2422212121222212(10101)(40329)2()10(221)a b b ba b b a b a b b b ba +---+=-+--。
发现了这个系统有12个小振幅极限环。
在这12个小振幅极限环中有6个由焦点(0,1)分支出，另外6个由其对称的焦点(0,-1)分支出。
这个结果是迄今为止关于三次多项式系统极限环分支的最好结果。
但我们也看到该文的关于系统(2)的第五个和第六个个焦点量太长，以至无法在正文中表出，而且在极限环存在性的证明中采用了数值近似计算。
我们设想能否将这两点改进？在本文中，我们研究了如下的三次多项式系统的极限环分支问题：这里δ，(1,2,3,4,5)i A i =为实常数。
这个系统关于原点对称，且有两个对称的焦点(1,0)和(-1,0)。
通过奇点量和焦点量的计算，我们用两种方法证明了该系统有12个小振幅极限环，其一的精确地构造了Poincar é后继函数，导出该系统有2m(m=1，2，…，6)个小振幅极限环的一般结论，存在12个极限环则为结论中的一种情形；其二是用文[45]的极限环存在的一个充分条件定理，构造出半径加速递减的极限环，从而得出结论。
第6章 混沌与分岔ppt课件
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1. 对初值的敏感性
混沌的特点
混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未 来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千 里”。 1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz)在 《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著 名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动 流体块中的对流为模型，提出了著名的 Lorenz 方程。 Lorenz 用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发 现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不 同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。
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混沌与分岔的起源与发展
混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的 研究得到迅速发展，如
Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌；
Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌； Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。
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混沌概念
混沌，英文为 chaos ，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生 在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌 作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的 定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一 词由李天岩（Tian-yan Li）和约克（Yorke）于1975年首先 提出。 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
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混沌与分岔的起源与发展
分岔现象最早来源于 1729 年 Musschenbrock 对压杆失稳实 验的观察，这种分岔现象在固体力学中称屈曲。 1834年雅可比首次提出分岔这个术语。 1885年，庞卡莱提出旋转液体星平衡图形的演化过程的分 岔理论。固体力学的屈曲和流体力学的转捩一直是分岔研 究的重要动力。 20世纪30年代，范德波、安德罗诺夫等在非线性振动研究 中发现大量的分岔现象。 以后在很长时间内，分岔的研究主要集中在应用领域，直 到20世纪60年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线性 分析等方面逐渐形成了现代数学理论。
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分岔的概念
分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学 系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。 分岔现象是非线性问题中所特有现象，失稳是其发生的前提。 分岔之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是突 变。然后经过不断地分岔，最后达到的终态即混沌。由此可 见分岔在许多非线性现象中起着桥梁作用。 分岔问题可以分成静态分岔和动态分岔。静态分岔指系统的 平衡点的稳定性在分岔值附近发生变化，如鞍结分岔、跨临 界分岔、叉形分岔等；动态分岔是相轨迹的拓扑结构也发生 变化，如Hopf分岔、环面分岔、同宿或异宿分岔等。 叉形分岔、Hopf分岔和鞍结分岔为三种分岔原型。
混沌现象举例--昆虫繁衍
假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下，即每年夏 天成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化为虫。 很显然，若产卵数大于1，则虫口就会迅速增加，“虫满 为患”。但在虫口数目增大的同时又由于争夺有限的食物 和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接触感染而导 致疾病蔓延，这些又会使虫口减少。综合考虑正增长和负 增长，即鼓励和抑制这两种因素的作用，经过一定的数学 抽象和变换后，在1976年生物学家罗伯特.梅最终得到虫 口方程如下：Xn+1=λXn (1—Xn) 式中各量的取值范围为 n：1，2，3，···∞； Xn：[0，1]； λ：[0，4]
(1)(x 0),
f
lim sup f ( n ) ( x) − f ( n ) ( y ) > 0, x, y ∈ S , x ≠ y
n →∞
lim inf f ( n ) ( x) − f ( n ) ( y ) = 0, x, y ∈ S , x ≠ y
n →∞
lim sup f ( n ) ( x) − f ( n ) ( p ) > 0, x ∈ S , p为周期点
第六章
混沌与分岔
Content
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 混沌与分岔的起源与发展 混沌的概念 混沌的特点 混沌现象举例 分岔的概念 分岔现象举例 混沌的研究方法 分岔的研究方法 混沌在现代科技领域的应用
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混沌与分岔的起源与发展
公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。 直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛 注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。 其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更 在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。
混沌的特点
5. 普适性
普适性包括两种，即结构的普适性和测度的普适性。 当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其 特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。
混沌的特点
6. 遍历性
遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够 到达混沌区域内任何一点。
7. 奇怪吸引子
混沌的特点
相对于简单吸引子（不动点、极限环、环面） 又称混沌吸引子。由无限层的条带经过伸长和折叠的几 何图像。它表示系统的状态随时间呈无规则的非周期变 化; 具有混沌的一切特征，对初始条件的敏感性，具有非整 数的维数，即使原来的微分方程连续的依赖于参数，奇 怪吸引子的结构也不是连续随参数变化，而往往是在参 数变化的过程中其整体结构会发生突变，奇怪吸引子具 有无穷嵌套的自相似结构。
混沌现象举例--昆虫繁衍
3. 取λ：3—3.569迭代 迭代结果开始出现跳跃情况，倍周期分岔开始。其中在3— 3.449之间为2周期，在3.449—3.544间为4周期······随着λ的 增加，分岔越来越密，混沌程度越来越高，直至λ=3.569时 分岔周期变为∞，最后“归宿”可取无穷多的不同值，表现 出极大的随机性。而周期无穷大就等于没有周期，此时系 统开始进入完全的混沌状态。混沌区对应λ取值3.569—4。
混沌现象举例--蝴蝶效应 1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述
气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准 确进行长期天气预报的可能性。 有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从 上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算 的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果， 甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另 一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！后来洛伦兹发现两次计算的差 别只是第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。洛伦兹意识 到，因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程对 初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条件 的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出长 期天气预报是不可能的。 对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国 的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。
n →∞
则称 f 在S上是混沌的。
混沌的概念
Li-Yorke定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系 统应该具有三种性质： 1. 2. 3. 存在所有周期的周期轨道； 存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨 道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现； 任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。
混沌与分岔的起源与发展
混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的 研究得到迅速发展，如 Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌； Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌； Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。
混沌的概念
混沌，英文为chaos，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生 在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌 作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的 定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一 词由李天岩（Tian-yan Li）和约克（Yorke）于1975年首 先提出。 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
混沌现象举例--昆虫繁衍
下面取λ为不同值对虫口方程进行迭代求解： 1. 取λ：0—1迭代 容易验证，λ在0—1之间时，无认初始值取多少，对方程Xn+1=λXn (1— Xn)迭代归宿均为确定值零。这是一个最平凡的1周期解，对应系统的稳 定态。 2. 取λ：1—3迭代 迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非 零的1周期解，同样对应系统的稳定状态。对方程Xn+1=2Xn (1—Xn)作迭 代 ， 取 X1=0.1 则 有 X2=0.18 ， X3=0.2952 ， X4=0.416111392 ， X5=0.485924299 ， X6=0.4999604721 ， X7=0.499999687 ， X8=0.499999999······可见很快收敛于X*=0.5。又对方程Xn+1=2.5Xn (1— Xn)作迭代，取X1=0.1也只须十几次迭代就收敛于X*=0.6了。不过与上一 迭代趋近方式有所不同，几次迭代后结果就在X*值上下产生小幅振荡， 并最终收敛于X*=0.6。
混沌的特点
几种典型的混沌吸引子
Chen’s 吸引子
Lorenz 吸引子
Rossler 吸引子
混沌现象举例
机床切削金属时或打印机机头因冲击而引起的 混沌振动 正常的脑电波则近乎随机讯号，其脑电图曲线 代表的就是典型的混沌现象 单摆是我们熟知的确定性运动的典型，但当角 度大到一定程度并有驱动力和阻力时也居然能 够进入混沌状态 湍流、三体问题、蝴蝶效应、昆虫繁衍
混沌现象举例--昆虫繁衍
假定虫口环境所能支撑和供应的最大虫口限额为N0 ，且 N0>>1。第n代虫口数为Nn，则Xn=Nn/N0，是为第n代的相 对虫口数。显然，1就是最大虫口数目，故Xn 的值不能超 过1。λ是控制参量，虫口模型要求λ取值[0，4]，这是因为 在λ>4时会出现发散现象，方程就将失去意义。如对 Xn+1=5Xn(1—Xn)， 当代入Xn=0.5后会得到Xn+1=1.25，而 最大相对虫口数只能为1，Xn+1=1.25显然没有意义。
分岔的概念
1. 叉形分岔 其典型方程为： = µx − x 3 x 方程的平衡点有三个：x=0和 x = ± µ 平衡态的稳定性由雅可比矩阵的特征值决定： 对于平衡点x=0，雅可比矩阵的特征值为µ。当µ<0时， 平衡点x=0是稳定的；当µ>0时，它是不稳定的。 对于平衡点 x = ± µ ，雅可比矩阵的特征值为-2µ。此时 µ取正值，这两个平衡点都是稳定的。这就是叉形分岔， 又称为倍周期分岔。
1. 对初值的敏感性
混沌的特点
混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未 来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千 里”。 1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz)在 《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著 名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动 流体块中的对流为模型，提出了著名的Lorenz方程。 Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发 现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不 同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。
2. 内在随机性
混沌的特点
确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。 混沌是确定性非线性系统的内在随机性，这是混沌的重 要特征之一。