逻辑第五章推理、简化真值表和形式证明分析
逻辑学第5章
三、假设证明法
1、间接推证法的特点认知 给定前提不够，需要附加。 2、假设证明法的基本思路 附加假设，依据蕴涵引入的规则有条件的推出相 关结论。 3、假设证明法的模式构造 4、应用举例分析 【例析4207－4210】 5、假设证明法的逻辑启示
四、反证法
1、反证法的特点认知
前提不够，需要附加。 附加与结论相矛盾的命题作为假设依据规则进行推导寻求矛盾。 找到矛盾后利用否定引入或销去规则反证结论成立。
2、构造规则(分解规则）
合取并列、析取分枝、多重转化
3、构造步骤及注意事项
多重转化、 合取先行、析取分枝、
4、具体应用
四、真值表法的局限性
1、完全真值表法的局限性 判定多变项命题公式过于繁琐。 2、归谬赋值法的局限性 仅能判定蕴涵式，且当被判定公式的后件为合取式或等值式是 须分情 况讨论多有不便。 3、真值树法的局限性 判定结构复杂的公式时，树冠过大操作不便。 4、问题：
p∧﹁q
*返回*
p T T F F
q T F T F
等值
p→q T F T T
﹁p∨q T F T T
p∧﹁q F T F F
矛盾
实例分析4104：
请用归谬赋值法判定（（p→q）∧﹁q）→﹁P这个推理是否有效？
（（p→q）∧﹁q）→﹁P
0
1
1 1 1 1
0
1
0
由上表可知： q 的赋值出现矛盾，此命题形式是重言式，与之相对应的
2、完全真值表法的判定功能
（1）命题公式的性质判定
(解释、例析4102）
（2）推理形式有效性的判定
（3）命题公式之间关系的判定
（例析4103）
三、简化真值表法
复旦大学《逻辑学》第5章
第五章复合命题地描画——正确地或错误地——现实，必须与现实具有共同的东西，这种形式就是逻辑形式，即现实的形式。
像弗雷格和罗素一样，我把命题看作是其中所包含的式的函数。
——[奥]维特根斯坦《逻辑哲学论》236主要内容•联言命题•选言命题•假言命题•负命题•真值形式与真值函项•真值表237一. 概述1、定义复合命题（compound proposition）是古典命题逻辑的基本概念，指本身包含其他命题的命题，以联结词联结简单命题而成。
例1.人是生而自由的，但却无往不在枷锁之中。
——《社会契约论》例2.仓廪实而知礼节，衣食足而知荣辱。
——《管子》例3.并不是我特别聪明，我只是比较执着于解决问题。
——爱因斯坦2、复合命题的逻辑特征（1）复合命题的基本单位是命题。
在复合命题中，原子命题成为“逻辑变项”，它们被称为“支命题”。
（2）支命题由逻辑联结词（“逻辑常项”）联结，不同的逻辑联结词具有不同的逻辑性质。
（3）复合命题的真假取决于支命题的真假组合和联结词的逻辑性质。
3、复合命题的种类联言命题选言命题假言命题负命题二. 联言命题1、定义联言命题（conjunctive proposition）指关于几种事物情况同时存在的复合命题。
例4.朱门酒肉臭，路有冻死骨。
——杜甫：《自京赴奉先县咏怀五百字》例5.李白和杜甫是唐朝人。
例6.空洞的理论是没有用的，不正确的，应该抛弃的。
2、逻辑形式p并且q，读作“p并且q”。
p∧q，读作“p合取q”。
5、常用联结词…并且…；…和…缺一不可；尽管（虽然）…但是…；既…又…；不但…而且…；除了…还…。
6、需要注意的问题逻辑学中的“并且”与日常用语中的“并且”不完全相同，后者不仅是对“并且”前后两命题的肯定，而且前后两命题在内容方面有联系，或递进，或转折，或并列，而在逻辑学意义上，这一点被抽象掉了。
不论p和q在内容上是否有相关性，只要p、q都为真，那么“p并且q”就为真。
例7.“1+1=2，并且，雪是白的”；例8.“量力而行，尽力而为”和“尽力而为，量力而行”。
简化真值表
真值表检验推理的有效性
p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 (p→q) ∧ p → 1 0 0 0 → 1 1 1 1 q 1 0 1 0
真值表检验推理的有效性
p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 (p→q) ∧ ¬ p → 0 0 1 1 → ¬q 1 1 0 1 0 1 0 1
真值形式中真值联结词的结合力
• ¬、∧、∨、∀、→、←、↔的结合力依次减 → 。（… 最强。 弱。（…）最强。 • 1+2*3=7 • 1+（2*3）=7 • p→¬ ∧p∨r ↔q∀ →¬ ∧q →¬q∧ ↔q∀r→¬ →¬p∧ • 省去的括号如下： 省去的括号如下： • （p→¬ ∧p∨r） ↔（q∀r→¬ ∧q） →¬q∧ →¬p∧ ） →¬ • (p→((¬q∧p)∨r)) ↔((q∀r)→(¬p∧q)) (p→ ¬ ∧ ((q → ¬ ∧
1
(p→q) ∧ p → (p→q) → (p→q) → 1 (p→q) → 10 (p→q) → 010
简化真值表方法的检验过程
→ q 0 ∧p → q 1 0 0 ∧ p → q 1 1 0 0 ∧ p → q 11 0 0 ∧ p → q 1 1 0 0
2 3 4 5
(p→q) ∧ p → q → 110 1 1 0 0 0 判定：产生矛盾，假设不成立，该推理有效。 即：p、q无论如何赋值，该推理都能保证前提真、结论必真。 6
习题
一、填空 1. 若p取值为假，q取值为真 ，则p→q取值为 1 ， ¬ p→¬q取值为 0 。 2. 若“p→q”取值为假，则p取值为 1 ，q取值为 0 。 3. 若p→q取值为假， p∀q取值为真 ，则p取值为 1 ，q取值为 0 。 4. 命题“并非如果买股票，就会发大财。”的命题 形式是 并非如果p，那么q ， 真值形式是 ¬（ p→q） 。 5.与”要么鱼死，要么网破。“等值的命题是 或者鱼死，或者网破，但不会鱼也死，网也破 。 或者鱼死但网不破，或者鱼不死但网破。 鱼死当且仅当网不破。
经典：第五章-复合命题及其推理(11)
第一节 复合命题及其推理概述
2
凤姐是网络红人。 凤姐是网络红人，芙蓉姐姐也是网络红人。 （简单命题/复合命题）
3
复合命题的逻辑结构： 支命题 联结词
4
复
联言命题
合 选言命题
命 假言命题
题
负命题
5
第二节 联言命题及其推理
6
一、联言命题
凤姐是网络红人，并且芙蓉姐姐也是网络红 人。
1、定义：联言命题是反映若干事物情况同 时存在的命题。
39
如梦令 严蕊 道是梨花不是，道是杏花不是。白 白与红红，别是东风情味。曾记，曾 记。人在武陵微醉。
40
白白与红红的要么是梨花，要么是杏花， 要么是桃花。
道是梨花不是，道是杏花不是 所以，是桃花。
41
选言肢是否穷尽问题
鲁人进城
竖着拿竹竿进城 横着拿竹竿进城 据断竹竿进城 直着拿竹竿进城
45
要么做车工，要么做钳工，要么做勤 杂工。 第一家： 爷：车工 父：勤杂工 孙子：钳工 第二家： 爷：勤杂工 父：钳工 孙子：车工 第三家： 爷：钳工 父：车工 孙子：勤杂工
46
甲厂：《黄河，中华民族的摇篮》 乙厂：《孙悟空和小猴子》 丙厂：《白娘子》 甲厂导演：我们三个的姓分别是片名的
30
相容选言推理的有效式
否定肯定式： （小前提否定一个选言肢，结论肯定
另一个选言肢） p或者q 非p 所以， q
((p∨q) ∧¬ p) → q
31
凤凰台上忆吹箫 李清照
香冷金猊，被翻红浪，起来慵自梳 头。任宝奁尘满，日上帘钩。生怕离 怀别苦，多少事，欲说还休。新来瘦， 非干病酒，不是悲秋。
32
p
q
p←q
简化真值表方法
简化真值表方法简化真值表方法是一种用于简化布尔函数的方法，通过构建真值表并进行逐行比较，逐步确定布尔函数的简化形式。
本文将介绍简化真值表方法的基本原理和步骤，并通过一个例子详细说明该方法的具体应用。
简化真值表方法的基本原理是将布尔函数的真值表按照输出结果的不同进行分类，并将相同输出结果的行合并为一个组。
首先，我们需要根据布尔函数的输入变量的个数，构建一个包含所有可能输入组合的真值表。
然后，根据布尔函数的输出结果，将真值表的行分为不同的组。
接下来，我们逐个比较组内的行，找出其中的共同特征，并将其表示为布尔函数的简化形式。
最后，将简化形式表示为布尔函数的逻辑表达式或真值表。
下面，我们通过一个例子来详细说明简化真值表方法的具体步骤。
假设我们有一个布尔函数f(A, B, C)，其真值表如下：```A B C | f(A,B,C)0 0 0 | 00 0 1 | 00 1 0 | 10 1 1 | 11 0 0 | 01 0 1 | 11 1 0 | 11 1 1 | 1```我们可以将真值表的行按照输出结果的不同进行分类，得到以下四个组：```组1：A=0, B=0, C=0, f(A,B,C)=0组2：A=0, B=0, C=1, f(A,B,C)=0组3：A=1, B=0, C=0, f(A,B,C)=0组4：A=0, B=1, C=0, f(A,B,C)=1A=0, B=1, C=1, f(A,B,C)=1A=1, B=0, C=1, f(A,B,C)=1A=1, B=1, C=0, f(A,B,C)=1A=1, B=1, C=1, f(A,B,C)=1```接下来，我们逐个比较组内的行，找出其中的共同特征。
对于组1，所有行的输出结果均为0，因此可以将其简化为A'BC'。
同样地，对于组2、组3和组4，我们可以得到以下简化形式：```组1：A'BC'组2：A'BC组3：ABC'组4：BC```我们将简化形式表示为布尔函数的逻辑表达式或真值表。
逻辑式与真值表 ppt课件
用真值表验证下列等式是否成立：
A B A B (A B )A ( B )
三、例题与练习
A
B
AB
AB
A B AB AB A+B (AB)(AB)
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
可以看出对于逻辑变量的任何一组值，AB AB与(AB)(AB) 的值都相同，所以 ABAB(AB)(AB)．
完成下面的真值表
B A B A+B
01 1 0
A· 0B
0 11 01 0
1 0 0 11 0
1 1 0 01 1
A B ABAB A B A B
A B ABAB A B A B 00 0 1 11 1 01 1 0 10 0 10 1 0 01 0 11 1 0 0 0 0
可以看出对于逻辑变量的任何一组值，A B 与A B 的值都相等
简称逻辑式。
例如
A，A（ B +
C
）， A
B
C
D
,1,
0
等都是逻辑式
将各逻辑变量取定的一组值代入逻辑式，经过运 算，可以得到逻辑式的一个值（0 或 1）.
真值表概念
如何列真值表
一、分析式子中的逻辑变量及其个数
二、利用树形图分析列表的行数 三、根据式子分析列表列数
用真值表验证下列等式是否成立：
A (B C )A B AC
逻辑学[第五章复合命题及其推理] 山东大学期末考试知识点复习
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第五章复合命题及其推理【内容提要】一、复合命题及其结构。
复合命题是包含了其他命题的一种命题，一般地说，它是由若干个(至少一个)简单命题通过一定的逻辑联结词组合而成的。
复合命题的逻辑性质是由逻辑联结词来决定的。
不同的联结词是区别各种类型复合命题的唯一依据。
二、联言命题及其推理。
联言命题是断定若干事物情况共同存在的命题，只有在其联言肢都真的情况下，该联言命题才是真的。
据此逻辑性质而进行的联言推理有两种形式：分解式和组合式。
三、选言命题及其推理。
选言命题是反映若干可能的事物情况至少有一种存在的命题。
根据其肢命题(选言肢)是否相容，可分为相容选言命题和不相容选言命题两种。
关键是掌握相容关系和不相容关系两种命题的逻辑性质，弄清至少一个选言肢真(可以同真)和只有一个选言肢真(不能同真)的不同，从而正确运用选言命题。
能区分相容选言命题和联言命题根本不同的逻辑性质。
在此基础上掌握选言推理的定义以及相容选言推理、不相容选言推理的形式和规则。
四、假言命题及其推理。
假言命题是断定一事物情况是另一事物情况存在条件的命题，因而又称为条件命题。
根据断定的条件性质的不同，假言命题可分为充分条件假言命题、必要条件假言命题和充分必要条件假言命题三种。
其要点是切实把握充分、必要、充要的逻辑含义，弄清三种假言命题之间的区别：充分条件是有前必有后，无后必无前；必要条件是无前必无后，有后必有前；充要条件是充分、必要二者的结合。
在此基础上掌握假言推理的定义以及充分条件假言推理、必要条件假言推理、充分必要条件假言推理的形式和规则。
五、二难推理。
二难推理的四种形式：简单构成式、简单破坏式、复杂构成式、复杂破坏式，以及二难推理的要求和破斥错误二难推理的方法。
六、负命题及其等值推理。
负命题是否定某个命题的命题，是仅有一个肢命题的一种特殊的复合命题。
它与直言命题中的否定命题有着根本的不同。
要点是掌握负命题和原命题之间的矛盾关系及各种负命题的等值命题，利用各种负命题的等值公式进行推理。
逻辑学·第5章 复合命题及其推理
在日常语言中，表达联言判断的语句也常采用
合并或省略形式。
例如：“你我都是可怜人。” “他分不清是非。” “我起了床，叠了被。”
三、联言命题的逻辑值
1、联言命题的逻辑性质（共存性）
一个联言命题真，当且仅当其联言支都真；
如果联言支有假，则联言命题为假。
例如：“矛盾既有同一性，又有斗争性”
如果并且只有“同一性”和“斗争性”都存 在着，这一判断才是真的。
定义：充分条件假言命题是断定一事物情况存在，
另一事物情况就存在的假言判断。 （前件是后件的充分条件）
例如：“如果发生摩擦，物体就会生热”
“如果天下雨，那么路面湿”
联结词的语言表达： 在日常语言中，应当化归为“如果…那么…” 的语言形式有： “假使…就…” “倘若…则…” “只要…就…” “要是…就…” “当…便…” 等
例如：“他又肥胖又消瘦” “他的作品既是长篇小说又是短篇小说”
第三节 选言命题及其推理
一、选言命题概述
1、选言命题的定义
选言命题是反映若干对象情况至少有一种情况 存在或只能有一个情况存在的命题。 “析取关系”
例如：“小张学习成绩差或者因为不够努力或者因 为方法不对。”
选言命题的构成：
支命题 联结词
第二节 联言命题及其推理
一、联言命题的定义 联言命题是反映若干对象情况共同存在命题。
联言命题的基本特性在于对象情况的共存性。
例如：“矛盾既有同一性，又有斗争性”
联言命题的结构： 联言支、联结项 联言支可以是两个或两个以上， 联结项一般应化归为“并且”
例如：“矛盾既有同一性，又有斗争性”化归后为 联结项 “矛盾有同一性并且矛盾有斗争性” 联言支
联言命题的公式: p并且q 或 p∧q
简化真值表
简化真值表
真值表是逻辑学中的重要工具，用于描述逻辑运算中各个输入变量对应的输出值。
但是，对于较为复杂的逻辑运算，真值表往往过于繁琐，难以阅读和分析。
因此，简化真值表的方法成为逻辑学研究的一个重要课题。
简化真值表的基本思路就是寻找逻辑运算中的规律和重复的模式，以此将多个输入变量对应的输出值合并为一个表项。
其中，最常见的简化方法是使用卡诺图法，将真值表中的所有表项按照相邻和重叠的方式进行组合，以得到最简化的逻辑表达式。
除了卡诺图法，还有一些其他的简化方法，例如奎因-麦克拉斯基方法和Petrick方法等。
这些方法不同于卡诺图法，其基本思路是将真值表中的所有表项转化为逻辑方程，并对方程进行简化。
简化真值表的方法可以大大缩减真值表的大小，从而使得逻辑运算更加清晰明了。
同时，简化后的逻辑表达式也更加精简，便于进行逻辑设计和优化。
因此，简化真值表是逻辑学研究中不可或缺的重要内容。
- 1 -。
第五章 数理逻辑
（1）
(2)
我们常把重言式记作1，把矛盾式记作0
定义4、设A,B是命题公式，若A B是重言式，则称A与B等值的,
记作
, 读作A与B等值.
例4 判断下列各组公式是否等值
（1）
(2)
对于命题公式A,B,C,有下列性质
（1）自反性:
;(2) 对称性：若
，则
(3) 传递性：若
且
c
• 重要的等值式，希望同学们牢记
的充分必要条件是
例8、证明
第三节：对偶与范式
• 一、对偶
• 定义1、在仅含有
的命题公式A中，将∧，∨分别换成∨，∧，
若A中有1或0亦互相取代，所得公式 称作A的对偶.
• 显然A也是 的对偶.
• 例1、试写出下列公式的对偶
（1）
(2)
• 定理1、设A与 是互为对偶的两个公式，所有的命题变元为
•则
•或
成的表，称为命题公式A的真值表.
例2、试求下列公式的真值表
（1）
(2)
(3)
定义3、设A是一个命题公式：
（1）若A在它的各种指派下取值均为真，则称A是重言式或永真式.
（2）若A在它的各种指派下取值均为假，则称A是矛盾式或永假式.
（3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式.
例3、用真值表判断下列公式的类型
PQ P
00
第二节 命题公式及公式的等值和蕴含关系
• 我们知道，不含任何联结词的命题称为原子命题，至少包含一个联结 词的命题称作复合命题.原子命题的真值是唯一的，所以也称原子命题 为 命题常项或命题常元.真值可以变化的陈述句称作命题变元或命题 变项（如x+y≥0）
• 一、命题公式 • 由命题变元，联结词和圆括号按一定规则组成的符号串称作合式公式. • 定义1、命题公式是由下列规则产生的符号串： • （1）单一的命题变元本身是一个合式公式. • （2）如果A是合式公式，则 A是合式公式. • （3）如果A和B是合式公式，则A B, A v B, A B,A B都是合式公式. • （4）只有有限次地应用（1），（2），（3），所产生的符号串才是
数理逻辑的推理及形式证明
第一讲引言一、课程内容·数理逻辑：是计算机科学的基础，应熟练掌握将现实生活中的条件化成逻辑公式,并能做适当的推理，这对程序设计等课程是极有用处的。
·集合论:数学的基础，对于学习程序设计、数据结构、编译原理等几乎所有计算机专业课程和数学课程都很有用处。
熟练掌握有关集合、函数、关系等基本概念。
·代数结构：对于抽象数据类型、形式语义的研究很有用处.培养数学思维,将以前学过的知识系统化、形式化和抽象化。
熟练掌握有关代数系统的基本概念，以及群、环、域等代数结构的基本知识.·图论：对于解决许多实际问题很有用处,对于学习数据结构、编译原理课程也很有帮助.要求掌握有关图、树的基本概念，以及如何将图论用于实际问题的解决，并培养其使用数学工具建立模型的思维方式。
·讲课时间为两个学期，第一学期讲授数理逻辑与集合论,第二学期讲授代数结构和图论。
考试内容限于书中的内容和难度,但讲课内容不限于书中的内容和难度。
二、数理逻辑发展史1。
目的·了解有关的背景，加深对计算机学科的全面了解，特别是理论方面的了解，而不限于将计算机看成是一门技术或工程性的学科。
·通过重要的历史事件,了解计算机科学中的一些基本思维方式和一些基本问题.2。
数理逻辑的发展前期·前史时期——古典形式逻辑时期：亚里斯多德的直言三段论理论·初创时期——逻辑代数时期（17世纪末）·资本主义生产力大发展，自然科学取得了长足的进步，数学在认识自然、发展技术方面起到了相当重要的作用。
·人们希望使用数学的方法来研究思维,把思维过程转换为数学的计算。
·莱布尼兹（Leibniz, 1646~1716）完善三段论,提出了建立数理逻辑或者说理性演算的思想：·提出将推理的正确性化归于计算，这种演算能使人们的推理不依赖于对推理过程中的命题的含义内容的思考，将推理的规则变为演算的规则。
简化真值表方法
简化真值表方法简化真值表方法是一种用于简化逻辑函数的方法。
逻辑函数可以用真值表来表示，真值表是根据逻辑变量的取值情况列出的函数的取值情况。
简化真值表方法通过对真值表中具有相同取值的项进行合并，从而得到简化后的逻辑函数。
本文将介绍10条关于简化真值表方法的方法，并展开详细描述。
希望通过本文的介绍，读者能够更好地了解和应用简化真值表方法。
1. 真值表的排列：将逻辑函数的输入变量和输出变量的可能取值列出，并按照字典序的方式排列。
这个排列是为了后续的分组和合并做准备。
2. 真值表的展开：将逻辑函数的真值表完全展开，即将逻辑函数的所有输入变量的所有可能取值与对应的输出变量的取值都列出。
这样可以清楚地了解逻辑函数的取值情况，并对后续的分组和合并操作有所准备。
3. 相同取值项的合并：观察真值表中具有相同取值的项，将它们合并成一个项。
合并后的项的取值为相同的取值，合并后的项的对应输出取值为原始相同取值项的输出取值的共同取值。
4. 不变项的提取：观察真值表中取值始终不变的输入项，将它们提取出来作为不变项。
不变项的取值与输出变量的取值无关，可以直接确定其输出取值。
5. 组合合并：将合并后的项按照输入变量的排列方式进行组合合并。
将具有相同输入变量取值的项进行合并，合并后的项的输出变量取值为合并前的项中输出变量取值的共同取值。
6. 重复步骤4和步骤5：重复执行步骤4和步骤5，直到不能再进行合并为止。
每一次合并都会减少项的数量，使得逻辑函数得到更简化的形式。
7. 零项和全项的处理：观察真值表中的全0项和全1项，将它们提取出来作为零项和全项。
全0项的输出取值为0，全1项的输出取值为1。
8. Minterm的提取：观察真值表中输出变量为1的项，将它们提取出来作为Minterm。
Minterm的输出变量为1，其他输入变量的取值与Minterm一致。
9. Maxterm的提取：观察真值表中输出变量为0的项，将它们提取出来作为Maxterm。
第一讲复合命题及其推理.第五章多重复合命题的推理
R(¬ ∨):
R(¬ →): R(¬←):
¬(p∧q)
¬(p∨q)
5
例如，用真值表判定
p∧ q→r
是否永真式。
q∧ ¬r
∴ ¬p
用蕴涵式表示为: (p∧ q→r) ∧ (q∧ ¬r) → ¬p
p q r ¬p ¬r p∧q p∧ q→r q∧ ¬r (p∧ q→r) ∧ (q∧ ¬r) (p∧ q→r) ∧ (q∧ ¬r) → ¬p
11 1 0 0 1 1 0
0
解：原推理形式为
p ∨ q →r
p∧r ∴ ¬q
用真值表检验 (p ∨ q →r) ∧( p ∧ r) → ¬q 是否永真式:
p q r ¬q (p ∨ q →r) ∧ ( p ∧ r) → ¬q
111 0
1 11
1 00
110 0
1 00
0 11
101 1
1 11
1 00
100 1
1 00
0 11
1
11 0 0 1 1 0 1
0
1
10 1 0 0 0 1 0
0
1
10 0 0 1 0 1 0
0
1
01 1 1 0 0 1 0
0
1
01 0 1 1 0 1 1
1
1
00 1 1 0 0 1 0
0
1
00 0 1 1 0 1 0
0
1
由真值表可见，(p∧ q→r) ∧ (q∧ ¬r) → ¬p 是永真式，故推 理形式 p∧ q→r，q∧ ¬r ⊦ ¬p 是有效式。
6
例如，用真值表判定
p∧ q→r q∧ ¬r
是否永真式。
∴ ¬p 用蕴涵式表示为: (p∧ q→r) ∧ (q∧ ¬r) → ¬p
简化真值表方法
简化真值表方法简化真值表方法是一种用于简化布尔函数的方法，它能够帮助我们更容易地理解和处理复杂的逻辑运算。
在本文中，我们将深入探讨简化真值表方法的原理和应用。
让我们回顾一下布尔代数的基本概念。
布尔代数是一种数学结构，它基于两个值：真（True）和假（False）。
布尔函数是一种将布尔值映射到布尔值的函数，它由变量和逻辑运算符组成。
逻辑运算符包括与（AND）、或（OR）和非（NOT）等。
在布尔函数中，真值表是一种用来列举所有可能的输入组合及其对应输出的表格。
真值表可以帮助我们分析和理解布尔函数的行为。
然而，当布尔函数变得复杂时，真值表会变得非常冗长和难以理解。
因此，简化真值表方法应运而生。
简化真值表方法的核心思想是找到可以简化布尔函数的最小项和最大项。
最小项是使布尔函数为真的最小输入组合，而最大项则是使布尔函数为假的最大输入组合。
通过找到最小项和最大项，我们可以得到一个更简化的布尔函数。
为了更好地理解简化真值表方法，让我们看一个具体的例子。
假设我们有一个布尔函数F(A, B, C)，它的真值表如下：A |B |C | F--------------0 | 0 | 0 | 00 | 0 | 1 | 10 | 1 | 0 | 00 | 1 | 1 | 11 | 0 | 0 | 11 | 0 | 1 | 11 | 1 | 0 | 11 | 1 | 1 | 1通过观察真值表，我们可以发现最小项为A'B'C'和ABC，最大项为A+B+C。
现在，我们可以使用这些最小项和最大项来简化布尔函数。
我们可以使用最小项来构建布尔函数的合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）。
合取范式是一种布尔函数的标准形式，它由多个合取子句组成，每个合取子句由多个文字组成。
对于我们的例子，CNF为：F = (A'B'C') + (ABC)接下来，我们可以使用最大项来构建布尔函数的析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）。
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3.形式证明的结构分为三部分：序列号、 真值形式和理由。
例1： p∨ q ，q→ r, r ┣ p
序列号 真值形式 理由
1.
p∨ q
前提
2.
q→ r
前提
3.
r
前提
4.
q
2、3否后式
5.
p
1、4否肯式
例2： p→ q , p∨ r, q ┣ r∧ p
将前提符号化为：p q, p r, s t, s r, t
根据上述前提作形式证明：
1.
p q
前提
2.
p r
前提
3.
s t
前提
4.
s r
前提
5.
t
前提
6.
s
3、5否后式
7.
r
4、6否前式
8.
p
2、7否后式
9.
q
1、8否肯式
从已知前提中导出结论：杀人者不是张三而是李四， 所以受审者讲的不全是真话。
注意： 1、充分利用已知条件。 2、正确理解自然语言，熟练转换符号语言。
10、11合成式
13.
t
4-12间接证明
说明：间接证明是条件证明的特例
p （前提集合） ¬q 假设前提
…
r
¬r r∧ ¬r q 间接证明
把间接证明转化成条件证明：
p
（前提集合）
¬q
假设前提
…
r
¬r
r∨ q 附加律
q
¬q→ q 条件证明
q∨ q
q
重言律
小结：通常情况下，结论为蕴涵式的 用条件证明，结论为简单命题或负命 题用间接证明。
例8 请用形式证明的方法，证明下列推理的 形式有效（不可使用简化真值表方法） p q, r s, t r, (t p) ┣ q s
证一： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
p q r s t r (t p) t p t p r t p q r q q r rs q s
结论必真 后件必真 后必真
有效式是前提蕴涵结论的蕴涵式
3、前提真实性、形式有效式与结论真实性的 关系
如果要得出一个必然为真的结论，推 理必须具备两个条件：
第一，前提内容真实
第二，推理形式有效
前提真实性、形式有效式与结论真实性的关 系
前提内容
推理形式
结论
真
有效
真
真
无效
真或假
假
有效
假
无效
真或假 真或假
4、11否肯式
13.
¬t∨¬u
12德摩根律
14.
¬t
7、13否肯式
例4： p→¬q, ¬q →¬s, ¬r ∨s, u ∧(t →r∧ p) ┣ t→x
1.
p→ ¬q
前提
2.
¬q →¬s
前提
3.
¬r ∨s
前提
4.
u ∧(t →r∧ p)
前提
5.
t →r∧ p
4分解式
6.
r →s
3蕴涵定义律
7.
¬s→ ¬r
由自然语言翻译成人工语言应注意的问题：
1. “只要p就q”不同于“只有p才q” 2. “或者p或者q”不同于“要么p要么q” 3. “甲、乙两人必须一个上场，一个不上场”不同于“甲、乙
不同时上场”
4. “甲、乙两人都不懂法律”不同于“甲、乙不都懂法律” 5. “并非如果买了股票就能发财”不同于“如果不买股票就不
充分必要条件假言推理
肯定前件式 否定前件式
否定后件式 肯定后件式
复合命题推理有效性的判定
（一）规则判定
例：写出下列推理的形式，并分析是否有 效，简答理由。
如果物体受到摩擦，那么物体生热。物体 受到摩擦。所以，物体生热。
例：写出下列推理的形式，并分析是否 有效，简答理由。
如果我努力用功了，那么只要考试不超 出大纲范围，我就能过关。因此等于说， 如果我努力用功了并且考试不超出大纲 范围，那么我就能过关。
复合命题推理有效式、无效式
类型 负命题推理
联言推理 相容选言推理 不相容选言推理 充分条件假言推理
有效式 双重否定 分解式 合成式 否定肯定式
无效式
p p∧q 肯定否定式
否定肯定式 肯定否定式
肯定前件式 否定后件式 否定前件式 肯定后件式
必要条件假言推理 否定前件式 肯定后件式 肯定前件式 否定后件式
pq 11 10
01
00
(pq) p q
0
10
0
11
1
00
1
11
判定下列推理形式是否有效：
pq，rs，rt┣t p
简化真值表方法（归谬赋值法）
简化真值表方法首先假设一个推理形式无效， 然后对表示这一推理形式的蕴涵式赋值。 1.若赋值过程中无矛盾，则该推理形式无效。 2.若赋值过程中有矛盾（即q q )，则该推 理形式有效。
推理
演绎推理
归纳推理
类比推理
第二、按前提的数量
推理
直接推理
间接推理
第三、推出关系
推理
必然性推理
或然性推理
演绎推理
必然性推理
完全归纳推理 类比推理
或然性推理
不完全归纳推理
如果前提真，则结论必真的推理形式是有效式。 有效式与蕴涵式的共同点表现为：
有效式 前提真 推出 蕴涵式 前件真 蕴涵 共同点 前真
推理的构成
前提、结论和推出关系 ①显性部分：前提和结论
前提与结论之间有个显著的标志——”所以” “所以”前面是前提，后面是结论。 “所以”与“因此、因而、可见、因此可见、总 之、总而言之”等相同。 前提与结论倒置，则用“因为”连接。 ②隐性部分：推出关系 必然性推出关系 或然性推出关系
推理的种类 第一、按思维进程方向
受审者：是的，全是实话。
侦查员：你再重复一遍。
受审者：因为那天只有张三(p)和李四(q)到过死者 的房间，杀人的肯定在他们之中。要是张三杀了 人，他就会伪造现场(r)。要是当时我在现场(s)， 我也会被杀死(t)。除非我在现场，张三不会伪造 现场。我知道的就这些，杀人犯是张三。
问：受审者说的是否都是真话？
逆向思维 例3： ¬(q∧s),r→s ,p→q, ¬(t∧u)∨r ,p∧u ┣ ¬t 1. ¬(t∧ u) ∨r ↔ ¬t ∨ ¬u∨ r 2. p∧ u ┣ u 3. p∧ u ┣ p 4. p→ q ,p ┣ q 5. ¬(q∧ s) ↔ ¬q∨ ¬s 6. ¬q∨ ¬s ,q┣ ¬s 7. r→ s, ¬s┣ ¬r 8. ¬t ∨ ¬u∨ r, u∧ ¬r ┣ ¬t
判定：产生矛盾，该推理有效。
判定“( p p q) p q”是否有效。
赋值技巧
1 变项赋值一般从结论（后件）开始。理由： 结论为假，容易赋值；结论比较简单。
2 如果结论为假的变项组合不止一种： ① 如果一种组合在赋值过程中无矛盾，余下的
组合不必再赋值，即可判定该推理形式无效。 ② 如果所有组合在赋值过程中有矛盾，则该推
p┣ q→ r p （前提集合） q 假设前提
.
.
.
r
q→ r 若前提集合p加上假设前提q能推出r，则前提集 合p必然能推出q→ r。
例7 p∨¬ q, ¬r→¬p┣ q→r
1. p∨¬q 2. ¬r→¬p 3. q 4. p 5. r 6. q→r
前提 前提 假设前提 1、3否肯式 2、4否后式 3-5条件证明
6假言易位律
8.
p →¬r
1、2、7假言连锁
9.
¬p∨ ¬r
8蕴涵定义律
10 .
¬r∨ ¬p
9交换律
11 .
¬(r∧ p)
10德摩根律
12 .
¬t
5、11否肯式
13 .
¬t ∨ x
12附加律
14 .
t →x
13蕴涵定义律
注意：
如果前提中有联言命题，那么联言命题就做为 形式证明的出发点。
形式证明的方法，不但能证明推理的有效性， 而且还可以在已知的前提下推导出相应的结 论。
能发财”
6. “除非p才q”， “除非p不q”不同于“只有p才不q” 7. “甲、乙、丙三人去两人” 8. “甲、乙都去或者甲、乙都不去” 9. “即使甲去乙也不去” 10. “你听从地不是苏格拉底，而是更多地在听从真理”不同
于“你不是在图书馆，就是在去图书馆的路上”
条件证明 p→(q→r)↔ p∧q→ r
例5 一天夜里，某百货商店被窃，经侦查了解到并确认以下情况：
① 盗窃者或者是甲(p)，或者是乙(q)。 ② 如果甲是盗窃者，那么作案时间不在零点之前(r)。 ③ 零点时该商店的灯灭了(s)，而甲此时尚未回家(t)。 ④ 若乙的陈述是真的(u)，则作案时间在零点之前。 ⑤ 只有零点时刻该商店灯未灭，乙的陈述才是撒谎。 问：谁是盗窃者？
原理——归谬推理 p q, p q ├ p p q q ├ p
1.转换：把推理形式转换成蕴涵式。 p q， p ├ q (pq) p q
2.假设：假设该蕴涵式为假。 (pq) p q 0
3.赋值：以蕴涵为假为条件，逐层赋 值。
注意：赋值过程中，无矛盾无效， 有矛盾有效。
1. (pq) p q
p q r s t r (t p) q p t p t r s q s
前提 前提 前提 前提 假设前提 1、5否肯式 4德摩根律 6、7否肯式 3、8否前式 2、9否肯式 5—10条件证明
间接证明（归谬证明）
p （前提集合） ¬q 假设前提