上海市长宁区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案)

2018学年第一学期高三数学教学质量检测试卷

一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．已知集合{

}4,3,2,1=A ，{}6,4,2=b ，则=B A ． 2．已知

32

1

1=-x ，则=x ．

3．二项式6

1⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+x x 的展开式中，常数项为 （结果用数值表示）．

4．已知向量)2,1(),,3(-==b m a

，若向量a ∥b ，则实数m = ．

5．若圆锥的侧面面积为π2，底面面积为π，则该圆锥的体积为 ． 6．已知幂函数α

x x f =)(的图像过点)2

2

,

2(，则)(x f 的定义域为 ． 7．已知角⎪⎭

⎫

⎝⎛∈ππα,2，且2tan -=α，则=-)sin(απ ． 8．已知函数x x f a log )(=和

)2()(-=x k x g 的图像如右图所示，

则不等式

0)

()

(≥x g x f 的解集是 ．

9．如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，

D 为楼顶．线段AB 的长度为m

600，在A 处测得

︒=∠30DAB ，在B 处测得︒=∠105DBA ，且此时看楼顶D 的仰角︒=∠30DBC .已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，

则此楼高度=CD m （精确到1m ）．

10．若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率

为 ．

11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n n a a 2

1

1=

++，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项1a 取值的集合为 ．

A

B

C

D

12．已知321,,a a a 与321,,b b b 是6个不同的实数，若方程

||||||||||||321321b x b x b x a x a x a x -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，

则集合A 中最多有 个元素．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．已知R ∈x ，则“0≥x ”是“3>x ”的 （ ）．

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件

14．有一批种子，对于1颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，……．下表是不同

发芽天数的种子数的记录：

统计每个种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是 （ ）． （A ）2 （B ）3 （C ）5.3 （D ）4 15．已知向量a 和b 的夹角为

3

π

，且2a =，3b =，则()()

22a b a b -⋅+=（ ）． （A ）10- （B ）7- （C ）4- （D ）1- 16．某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：

已知函数)(x f y =的定义域为D ，D x x ∈21,．

①若当0)()(21=+x f x f 时，都有021=+x x ，则函数)(x f y =是D 上的奇函数． ②若当)()(21x f x f <时，都有21x x <，则函数)(x f y =是D 上的增函数． 下列判断正确的是 （ ）．

（A ）①和②都是真命题 （B ）①是真命题，②是假命题 （C ）①和②都是假命题 （D ）①是假命题，②是真命题

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

求下列不等式的解集： （1）235x -<； （2）442120x x -⋅->．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示．在阳马ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ．

（1）已知m CD AD 4==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为︒15，求立柱PD 的长（精确到m 01.0）；

（2）证明：四面体PDBC 为鳖臑．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，复数i 1b a z +=，

B A z cos i cos 2+=（其中i 是虚数单位），且i 321=⋅z z ．

（1）求证：c A b B a =+cos cos ，并求边长c 的值； （2）判断ABC ∆

的形状，并求当b =

A 的大小．

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知函数1)(2

++-=mx x x f ，)6

sin(2)(π

ω+

=x x g ．

（1）若函数x x f y 2)(+=为偶函数，求实数m 的值；

A B

C

D P

（2）若0ω>，()2(

)3g x g π≤，且函数)(x g 在[0,]2

π

上单调，求实数ω的值； （3）令1=ω，若当]2,1[1∈x 时，总有],0[2π∈x ，使得)()(12x f x g =，求实数m 取值范围．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，a a =2． （1）若数列{}n a 是等差数列，且158=a ，求实数a 的值；

（2）若数列{}n a 满足)(2*

2N ∈=-+n a a n n ，且101919a S =，求证：数列{}n a 是等差数

列；

（3）设数列{}n a 是等比数列．试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质M ：对于任意的()

*2n n ≥∈N ，都存在*m ∈N ，使得数列()()10m n m n S a S a +--<．写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a 的集合．

2018学年第一学期高三数学质量检测试卷

参考答案与评分标准

一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．}6,4,3,2,1{ 2．1 3．20 4．6-

5．

π33 6．),0(+∞ 7．5

52 8．)2,1[ 9．212 10．

209 11．⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧31 12．3

二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．B 14．B 15．D 16．C