电磁场与电磁波 第六章答案

Y
I1 a 0 x d 习 题 图 6-6 （ a ）
I2
B1
B2
×
a
X
那么，两个电流在两导线间产生的磁感应强度为
Bo B1 B2 e y
0 I 0 I ey 2x 2 d x
该磁场形成的外磁通为
6
o m Βo ds
s
d a
a
ey
0 I 1 I d a 1 e y d x 0 ln a 2 x d x
8
B1
0 I r 2a 2
r a
那么，内导体单位长度பைடு நூலகம்的磁场能量为
Wm1
0 Ir B dV 2r d r 0 I 2 2 0 V 2 0 2a 16 2 0 1
因此，直导线与线框之间的互感为
21
21
I1

3 0 2d 3a 3 d ln a 3 d 2
6-9 已 知 同 轴 线 的 内 导 体 半 径 为 a ， 外导体的内外半径分 别 为 b 及 c， 内 外 导 体 之 间 为 空 气 ， 当 通 过 恒 定 电 流 I 时，计算单位长度内同轴线中磁场储能及电感。 解 由安培环路定律，求得内导体中的磁场感应强度为
m Β ds e z 5 sin t e z d x d y 0.351 cos t sin t Wb
s s
那么，回路中的感应电动势为
e
d m d1 cos t sin t 0.35 dt dt
0.35cos 2t cos t V
第六章
电磁感应
重点和难点
本章通过电磁感应定律，由静态场过度到时变场。 根据感应电动势导出电磁感应定律，说明时变磁场 可以产生时变电场。感应电动势公式的证明可以略去。 讲解自感与互感时，应强调互感可正可负，以及与 电流方向的关系。 磁场能量与力的讲解与静电场相同。
重要公式 电磁感应定律： 积分形式： 微分形式： 单回路电感：
m 1 s
a 2 a 2
则线框中的感应电动势为
d 1m e1 B0 ab sin t dt
当 B y B0 cos t 时 ， 同 理 可 得 穿 过 线 框 的 磁 通 量 为
2m B0 ab cos 2 t
那么，线框中的感应电动势为
e2
d 2m 2 B0 ab sin t cos t dt
b c b d 0 a cos 2 10 9 t ln 1010 V cd


6-3 设 带 有 滑 条 AB 的 两 根 平 行 导 线 的 终 端 并 联 电 阻
R 0.2 ，导 线 间 距 为 0.2m ，如 习 题 图 6-3 所 示 。若 正 弦
t 0时 刻 框 平 面 与 y 0平 面 重
Z
a B
0 X
b Y
合 ， 试 求 当
B y B0 和
B y B0 cos t 时 线 框 中 的 感 应
习 题 图 6-4
电动势。 解 当 B y B0 时 ，磁 场 为 恒 定 磁 场 ，穿 过 线 框 的 磁 通 量 为
4
Β ds e y B0 e y b cos t d x B0 ab cos t
2
因此，圆盘中心与边缘之间的电压为
e B0 r d r
0 a
1 B0 a 2 2
6-2 一 个 面 积 为 a b 的 矩 形 线圈位于双导线之间，位置 如 习 题 图 6-2 所 示 。 两 导 线 中电流方向始终相反，其变 化规律为
I 1 I 2 10 sin(2 10 9 t )A ，
6-5 两 个 半 径 均 为 a 的 圆 环 导 线 沿 Z 轴 同 轴 地 放 置 ， 如习 题 图 6-5 所 示 。若 线 圈 A 中 通 过 恒 定 电 流 I ，线 圈 B 以 速 度 v 向 正 Z 方 向 运 动 ，且 间 距 d a ，试 证 线 圈 B 中 的 感 应电动势为 A I a 0 d 习 题 图 6-5 解 线圈 A 在线圈 B 处产生的磁感应强度为 B a z
因此回路中的感应电流为
I e 0.35cos 2t cos t R 0.2
1.75cos 2t cos t A
6-4 一 个 面 积 为 a b 的 矩 形 导 线 框 位 于 磁 场 B e y By 中 ， 如 习 题 图 6-4 所 示 。 若 线 框 以 角 速度 绕其轴匀速旋转，在
习 题 图 6-7 解 建 立 的 直 角 坐 标 如 图 6-7 所 示 ， 令长直导线位于 z 轴。 那 么 ， 无 限 长 z 向 电 流 在 x 0 平 面 内 +y 轴 一 侧 产 生 的 磁 感应强度为
B1 e x
0 I1 2y
B 1 产 生 的 磁 通 与 线 圈 电 流 I 2 交 链 的 磁 通 链 21 为
ad 。当 导 体 圆 盘 旋 转 时 ，扇 形 条 切 割 磁 力 线 产 生 的 电 动
势等于圆盘中心与边缘之间的电压。根据书中式 （ 6-1-11 ） ， 在 离 圆 盘 中 心 为 r ， 长 度 为 dr 的 线 元 中 产 生 的电动势为
d e d l v B0 B0 r d r
B1 e x
0 I1 2y
B 1 产 生 的 磁 通 与 线 框 电 流 I 2 交 链 的 磁 通 链 21 为
21 B1 d s e x
s2
0 I1 e x 2 y d tan d y 2y 6

3 0 I1 2d 3a 3 d ln a 3 d 2
为 a 的等边三角形线框平行放 置 ， 电 流 方 向 如 习 题 图 6-8 所 示。计算直导线与三角形线框 之间的互感。
习 题 图 6-8
解 建 立 的 直 角 坐 标 如 图 6-8 所 示 ， 令长直导线位于 z 轴。 那 么 ，无 限 长 z 向 电 流 在 x 0 平 面 内 y > 0 区 域 中 产 生 的 磁感应强度为
常磁通系统：
F
Wm l
m 常数
题
解
6-1
一 个 半 径 为 a 的 导 体 圆 盘 位 于 均 匀 恒 定 磁 场 B0 中 ，
恒 定 磁 场 B0 的 方 向 垂 直 于 圆 盘 平 面 ， 若 该 圆 盘 以 角 速 度
绕其轴线旋转，求圆盘中心与边缘之间的电压。
解 将 导 体 圆 盘 分 割 为 很 多 扇 形 条 ，其 半 径 为 a ，弧 长 为
电 磁 场 B e z 5 sin t 垂 直 穿 过 该 回 路 ， 当 滑 条 AB 的 位 置 以 x 0.35(1 cos t )m 规 律 变 化 时 ， 试 求 回 路 中 的 感 应 电
3
流。 A 0.2m
B
y
R x
B 习 题 图 6-3
o
解 建 立 的 坐 标 如 图 6-3 所 示 。 令 并 联 电 阻 位 于 x 0 处 ， 在 t 时刻回路的磁通量为
1 2 1 LI I 2 2
N 1 多 回 路 的 能 量 ： Wm I j j j 1 2
1
分布电流的能量：
Wm
1 1 A JdV A J S dS 2 V 2 S 1 H B 2 wm 1 H 2 2
恒 定 磁 场 的 能 量 密 度 ： wm
d i
即
0 Ir 3 dr 2a 4
a
i d i
0
0 I 8
故内电感为
Li
习 题 图 6-6 （ b ）
i
I

0 8
z y I1 x d dy a I2 y
6-7
若无限长直导线与半径
为 a 的圆环导线平行放置， 电 流 方 向 如 习 题 图 6-7 所 示 。 计算直导线与圆环之间的互感。
由 于 此 时 磁 通 链 等 于 磁 通 ， 即 om ， 故 外 电 感 为
Lo

I

0 d a ln a
如 习 题 图 6-6 （ b ） 所 示 ， 导 体 内 的 磁 感 应 强 度 为
Bi
0 Ir 2a 2
a o 0
y dr r r x
该磁场形成的内磁通链为
m s
0 Ia 2 e r
2
r
s
3
e r r sin d d
2
0 Ia 4 2 a2 z2


3 2
5
则线圈 B 中的感应电动势为
d m e dt
由于

z d
0Ia 4 da 2 z 2
2 dt

5 2

z d
3 0 Ia 4 2 a2 d
对于各向同性的线性媒质， 磁场力：
安培定律：
F21
0 4
0 4

l
1
I 2dl2 [ I1dl1 (r2 r1 )]
l
2
r2 r1
3
F12

l
1
I1dl1 [ I 2dl2 (r1 r2 )]
l
2
r1 r2
3
常电流系统：
F
Wm l
I 常数
Y

0
dx d a s
b
I
1
x c
I
2
0
d
X
试求线圈中感应电动势。 习 题 图 6-2 解 建 立 的 坐 标 如 图 6-2 所 示 。 在 c x b c 内 ， 两 导 线 产生的磁感应强度为
Β ez
0 I1 0 I 2 ez 2x 2 b c d x

5 2 2

dz dt
dz v，那么 dt
e
3 0 Idva4 2 a2 d 2


5 2
考 虑 到 d a ， 求 得
e
6-6
3 0Iva4 2d 4
已 知 双 导 线 中 的 电 流 I1 I 2 ， 导线半径 a 远小于间
距 d， 计 算 单 位 长 度 内 双 导 线 的 内 电 感 与 外 电 感 。 解 建 立 直 角 坐 标 ，且 令 一 根 导 线 位 于 x = 0 处 。在 双 导 线中取出单位长度，沿长度方向形成一个矩形回路，该 回 路 方 向 与 正 y 方 向 构 成 右 旋 关 系 ， 如 习 题 图 6-6 （ a ） 所 示 。 令 I1 Ie z ， I 2 Ie z
21 B1 d s
s2
0 I1

d a
a 2 d y y
2
d a
d y 0 I1d
因此，直导线与线圈之间的互感为
7
21
21
I1
0 d
可 见 ， 21 为 负 ，这 是 因 为 I 2 产 生 的 磁 通 方 向 与 互 磁 通 方 向相反导致的。 z 6-8 若无限长直导线与边长 I1 x d y dy a a I2 a y
e
3 0Ia 4 v 2d 4
Β
0a 2 I
4r 3
e r 2 cos e sin
因 为 d a ， 可 以 认 为 线 圈 B 处 于 0 位 置 ， 则 线 圈 B 内的磁感应强度为
Β
穿过线圈 B 的磁通量为
0 Ia 2
2r 3
er
Β ds
则穿过回路的磁通量为
m Β ds
s
bc
c
ez
0 I1 1 1 ez a d x 2 x b c d x

0 I 1a b c b d ln 2 cd
则线圈中的感应电动势为
e
a b c b d d I 1 d m 0 ln dt 2 cd dt

E dl t B dS
l S
E
B t
L

I

m
I
N 匝回路电感：
N m L I I

自感：
L11
11
I1
L22
22
I2
互感：
M 12
12
I2
M 21
21
I1
恒定磁场的能量： 单 回 路 的 能 量 ： Wm