专题22 数列中的探究性问题(解析版)

专题22 数列中的探究性问题

数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解，本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： ①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立． 一、题型选讲

题型一 、数列中项存在的问题

例1、(2018无锡期末）已知数列{a n }满足⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2·…·⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1

a n ，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和．

(1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 若a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，求正整数p ，q 的值；

(3) 是否存在k ∈N *，使得a k a k ＋1＋16为数列{a n }中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．

例2、(2019苏州期初调查）已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{a n }前n 项和为S n ，且满足S 3＝a 4，a 5＝a 2＋a 3. (1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 若a m a m ＋1＝a m ＋2，求正整数m 的值；

(3) 是否存在正整数m ，使得S 2m

S 2m －1恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不

存在，说明理由．

题型二、数列中的等差数列或者等比数列的存在问题

例3、(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝a2n＋a n，数列{b n}满足b1

＝1

2，2b n＋1＝b n＋

b n

a n.

(1) 求数列{a n}，{b n}的通项公式；

(2) 设数列{c n}满足c n＝

b n＋2

S n，求和c1＋c2＋…＋c n；

(3) 是否存在正整数p，q，r(p

r；若不存在，请说明理由．

例4、(2019常州期末）已知数列{a n}中，a1＝1，且a n＋1＋3a n＋4＝0，n∈N*.

(1) 求证：{a n＋1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；

(2) 数列{a n}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由．

题型三、数列中的有序实数对的问题

例5、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知数列{}n a 满足1

5

(1)()2

n n n n a

a n *+++-=

∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．

（1）求13a a +的值； （2）若15

32a a a +=．

① 求证：数列{}2n a 为等差数列；

② 求满足224()p m S S p m *=∈N ，的所有数对()p m ，．

题型四、数列中的参数的问题

例6、(2019苏州期末）定义：对于任意n ∈N *，x n ＋x n ＋2－x n ＋1仍为数列{x n }中的项，则称数列{x n }为“回归数列”．

(1) 已知a n ＝2n (n ∈N *)，判断数列{a n }是否为“回归数列”，并说明理由；

(2) 若数列{b n }为“回归数列”，b 3＝3，b 9＝9，且对于任意n ∈N *，均有b n

②求所有的正整数s ，t ，使得等式b 2s

＋3s ＋

1－1b 2s ＋3s －1

＝b t 成立．

二、达标训练

1、已知数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，若

1

2

m m m a a a ++为数列{}n a 中的项，则m =____ 2、(2019扬州期末）记无穷数列{a n }的前n 项中最大值为M n ，最小值为m n ，令b n ＝M n ＋m n

2，数列{a n }

的前n 项和为A n ，数列{b n }的前n 项和为B n .

(1) 若数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，求B n .

(2) 若数列{b n }是等差数列，试问数列{a n }是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明．

3、(2019苏北三市期末）已知数列{a n }满足对任意的n ∈N *，都有a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1·(1－q n a n

＋1

)，且a n ＋1＋a n ≠0，其中a 1＝2，q ≠0.记T n ＝a 1＋qa 2＋q 2a 3＋…＋q n －

1a n . (1) 若q ＝1，求T 2019的值．

(2) 设数列{b n }满足b n ＝(1＋q )T n －q n a n . ①求数列{b n }的通项公式；

②若数列{c n }满足c 1＝1，且当n ≥2时，c n ＝2b n －1－1，是否存在正整数k ，t ，使c 1，c k －c 1，c t －c k 成等

比数列？若存在，求出所有k ，t 的值；若不存在，说明理由．

4、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =-，1320n n a S +++=（*

n ∈N ）.

（1）求2a ，3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）是否存在整数对(,)m n ，使得等式2

48n n a m a m -⋅=+成立？若存在，请求出所有满足条件的