专题22 数列中的探究性问题(解析版)

专题22 数列中的探究性问题
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解，本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： ①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立． 一、题型选讲
题型一 、数列中项存在的问题
例1、(2018无锡期末）已知数列{a n }满足⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2·…·⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1
a n ，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和．
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 若a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，求正整数p ，q 的值；
(3) 是否存在k ∈N *，使得a k a k ＋1＋16为数列{a n }中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．
例2、(2019苏州期初调查）已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{a n }前n 项和为S n ，且满足S 3＝a 4，a 5＝a 2＋a 3. (1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 若a m a m ＋1＝a m ＋2，求正整数m 的值；
(3) 是否存在正整数m ，使得S 2m
S 2m －1恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不
存在，说明理由．
题型二、数列中的等差数列或者等比数列的存在问题
例3、(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝a2n＋a n，数列{b n}满足b1
＝1
2，2b n＋1＝b n＋
b n
a n.
(1) 求数列{a n}，{b n}的通项公式；
(2) 设数列{c n}满足c n＝
b n＋2
S n，求和c1＋c2＋…＋c n；
(3) 是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使得b p，b q，b r成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p，q，
r；若不存在，请说明理由．
例4、(2019常州期末）已知数列{a n}中，a1＝1，且a n＋1＋3a n＋4＝0，n∈N*.
(1) 求证：{a n＋1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
(2) 数列{a n}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由．
题型三、数列中的有序实数对的问题
例5、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知数列{}n a 满足1
5
(1)()2
n n n n a
a n *+++-=
∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．
（1）求13a a +的值； （2）若15
32a a a +=．
① 求证：数列{}2n a 为等差数列；
② 求满足224()p m S S p m *=∈N ，的所有数对()p m ，．
题型四、数列中的参数的问题
例6、(2019苏州期末）定义：对于任意n ∈N *，x n ＋x n ＋2－x n ＋1仍为数列{x n }中的项，则称数列{x n }为“回归数列”．
(1) 已知a n ＝2n (n ∈N *)，判断数列{a n }是否为“回归数列”，并说明理由；
(2) 若数列{b n }为“回归数列”，b 3＝3，b 9＝9，且对于任意n ∈N *，均有b n <b n ＋1成立． ①求数列{b n }的通项公式；
②求所有的正整数s ，t ，使得等式b 2s
＋3s ＋
1－1b 2s ＋3s －1
＝b t 成立．
二、达标训练
1、已知数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，若
1
2
m m m a a a ++为数列{}n a 中的项，则m =____ 2、(2019扬州期末）记无穷数列{a n }的前n 项中最大值为M n ，最小值为m n ，令b n ＝M n ＋m n
2，数列{a n }
的前n 项和为A n ，数列{b n }的前n 项和为B n .
(1) 若数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，求B n .
(2) 若数列{b n }是等差数列，试问数列{a n }是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明．
3、(2019苏北三市期末）已知数列{a n }满足对任意的n ∈N *，都有a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1·(1－q n a n
＋1
)，且a n ＋1＋a n ≠0，其中a 1＝2，q ≠0.记T n ＝a 1＋qa 2＋q 2a 3＋…＋q n －
1a n . (1) 若q ＝1，求T 2019的值．
(2) 设数列{b n }满足b n ＝(1＋q )T n －q n a n . ①求数列{b n }的通项公式；
②若数列{c n }满足c 1＝1，且当n ≥2时，c n ＝2b n －1－1，是否存在正整数k ，t ，使c 1，c k －c 1，c t －c k 成等
比数列？若存在，求出所有k ，t 的值；若不存在，说明理由．
4、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =-，1320n n a S +++=（*
n ∈N ）.
（1）求2a ，3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）是否存在整数对(,)m n ，使得等式2
48n n a m a m -⋅=+成立？若存在，请求出所有满足条件的
(,)
m n；若不存在，请说明理由.
5、(2019南京、盐城一模）已知数列{a n}，其中n∈N*.
(1) 若{a n}满足a n＋1－a n＝q n－1(q>0，n∈N*)．
①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；
②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r＋t，且a r，a s，a t成等差数列，求q的值；
(2)设数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项和为c n，c n＝b n＋2－3，n∈N*，若a1＝1，a2＝2，且|a2n＋1－a n a n＋2|≤k恒成立，求k的最小值．
6、(2017南京学情调研）已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，且a2·a3＝15，S4＝16.
(1) 求数列{a n}的通项公式．
(2) 设数列{b n}满足b1＝a1，b n＋1－b n＝1
a n·a n＋1
.
①求数列{b n}的通项公式；
②是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，b m，b n成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
专题22 数列中的探究性问题
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解，本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： ①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立． 一、题型选讲
题型一 、数列中项存在的问题
例1、(2018无锡期末）已知数列{a n }满足⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2·…·⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1
a n ，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和．
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 若a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，求正整数p ，q 的值；
(3) 是否存在k ∈N *，使得a k a k ＋1＋16为数列{a n }中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．
思路分析 (1)利用关系式⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ＝1a n 对一切n ∈N *恒成立，通过赋值，整体处理，
将复杂的递推关系式转化为a n 与a n －1的关系式，根据定义可求得数列{a n }的通项公式，这也是处理复杂递推数列关系式常用的方法；
(2)利用等差中项、等比中项的性质得到关于正整数p ，q 的方程，通过简单的分类讨论即可解决； (3)本题的难点在于对式子（k ＋1）（k ＋2）＋16＝m ＋1的处理，两边平方得k 2
＋3k ＋18＝m 2
＋2m ＋1，两边同乘以4得4k 2
＋12k ＋72＝4m 2
＋8m ＋4，分组配方得(2m ＋2)2
－(2k ＋3)2
＝63，利用平方差公式因式分解得(2m ＋2k ＋5)(2m －2k －1)＝63，因式分解及一定的代数变形技巧是解决这类不定方程问题的关键． 规范解答 (1) 因为⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2·…·⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1
a n ，n ∈N *， 所以当n ＝1时，1－1a 1＝1
a 1
，所以a 1＝2，(1分)
当n ≥2时，由⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2·…·⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1a n 和⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2…⎝⎛⎭⎫1－1a n －1＝1a n －1，两式相除可得1－1
a n ＝
a n －1
a n
，即a n －a n －1＝1(n ≥2)，
所以，数列{a n }是首项为2，公差为1的等差数列， 于是，a n ＝n ＋1.(4分)
(2) 因为a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a p ＋S q ＝60，a p S q ＝182，于是⎩
⎪⎨⎪⎧a p ＝6，S q ＝54，或⎩⎪⎨⎪⎧a p ＝54，S q ＝6.(7分) 当⎩⎪⎨⎪⎧a p ＝6，S q ＝54时，⎩
⎪
⎨⎪⎧p ＋1＝6，
（q ＋3）q 2
＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5，q ＝9， 当⎩⎪⎨⎪⎧a p ＝54，S q ＝6时，⎩
⎪
⎨⎪⎧p ＋1＝54，
（q ＋3）q 2
＝6，无正整数解， 所以p ＝5，q ＝9.(10分)
(3)假设存在满足条件的正整数k ，使得a k a k ＋1＋16＝a m (m ∈N *)，则（k ＋1）（k ＋2）＋16＝m ＋1， 平方并化简得，(2m ＋2)2－(2k ＋3)2＝63，(11分) 则(2m ＋2k ＋5)(2m －2k －1)＝63，(12分)
所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2k ＋5＝63，2m －2k －1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2k ＋5＝21，2m －2k －1＝3，
或⎩
⎪⎨⎪⎧2m ＋2k ＋5＝9，2m －2k －1＝7，(14分) 解得m ＝15，k ＝14或m ＝5，k ＝3或m ＝3，k ＝－1(舍去)． 综上所述，k ＝3或14.(16分)
例2、(2019苏州期初调查）已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{a n }前n 项和为S n ，且满足S 3＝a 4，a 5＝a 2＋a 3. (1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 若a m a m ＋1＝a m ＋2，求正整数m 的值；
(3) 是否存在正整数m ，使得S 2m S 2m －1恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不
存在，说明理由．
思路分析 (1)建立方程组，求出公比和公差，用分段的形式写出{a n }的通项公式． (2)对m 分奇、偶数，根据通项公式和a m a m ＋1＝a m ＋2建立方程，求出m 的值． (3)运用求和公式求出S 2m 和S 2m －1，计算
S 2m
S 2m －1
，通过分析其值只能为a 1，a 2，a 3，分情况讨论，解方程，
求m 的值．
规范解答 (1)设奇数项的等差数列公差为d ，偶数项的等比数列公比为q. 所以数列{a n }的前5项依次为1，2，1＋d ，2q ，1＋2d.
因为{S 3＝a 4，a 5＝a 2＋a 3，所以{4＋d ＝2q ，1＋2d ＝3＋d ，解得{d ＝2，q ＝3.(2分) 所以a n ＝⎩⎨⎧n ，n 为奇数，2·332－1，n 为偶数.(4分)
(2)因为a m a m ＋1＝a m ＋2. 1° 若m ＝2k(k ∈N *)，
则a 2k a 2k ＋1＝a 2k ＋2，所以2·3k －
1·(2k ＋1)＝2·3k ，即2k ＋1＝3，所以k ＝1，即m ＝2.(6分) 2° 若m ＝2k －1(k ∈N *)，
则a 2k －1a 2k ＝a 2k ＋1，所以(2k －1)×2·3k －1＝2k ＋1，所以2·3k －
1＝2k ＋12k －1＝1＋22k －1.
因为2·3k
－1
为整数，所以2
2k －1
必为整数，所以2k －1＝1，所以k ＝1，此时2·30≠3.不合题意．(8分)
综上可知m ＝2.(9分)
(3) 因为S 2m ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2m －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2m ) ＝m （1＋2m －1）2＋2（1－3m ）1－3＝3m ＋m 2－1.(10分)
S 2m －1＝S 2m －a 2m ＝3m ＋m 2－1－2·3m －
1＝3m －
1＋m 2－1.(11分) 所以S 2m
S 2m －1＝3m ＋m 2－13m －1＋m 2－1＝3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1≤3.(12分)
若
S 2m
S 2m －1
为数列{a n }中的项，则只能为a 1，a 2，a 3. 1° S 2m S 2m －1＝1，则3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝1，所以3m －
1＝0，m 无解．(13分) 2° S 2m S 2m －1＝2，则3－2（m 2－1）3m －1＋m 2
－1＝2，所以3m －1＋1－m 2＝0. 当m ＝1时，等式不成立； 当m ＝2时，等式成立；
当m ≥3时，令f (x )＝3x －
1＋1－x 2＝13·3x ＋1－x 2.
所以f ′(x )＝ln33·3x －2x ，f ″(x )＝ln 233·3x
－2.
因为f ″(x )在(14分)
3° S 2m
S 2m －1＝3，则3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1
＝3，所以m 2－1＝0，即m ＝1.(15分)
综上可知m ＝1或m ＝2.(16分)
题型二、 数列中的等差数列或者等比数列的存在问题
例3、(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a 2n ＋a n ，数列{b n }满足b 1＝12，2b n ＋1＝b n ＋b n a n
. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2) 设数列{c n }满足c n ＝
b n ＋2
S n
，求和c 1＋c 2＋…＋c n ； (3) 是否存在正整数p ，q ，r(p<q<r)，使得b p ，b q ，b r 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p ，q ，r ；若不存在，请说明理由． 规范解答 (1) 2S n ＝a 2n ＋a n ①，
2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1 ②，
②－①得2a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋a n ＋1－a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0.
因为{a n }是正数数列，所以a n ＋1－a n －1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是等差数列，其中公差为1. 在2S n ＝a 2n ＋a n 中，令n ＝1，得a 1＝1， 所以a n ＝n.(2分)
由2b n ＋1＝b n ＋b n a n 得b n ＋1n ＋1＝12·b n n
，
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫b n n 是等比数列，其中首项为12，公比为1
2，
所以b n n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，即b n ＝n
2n .(5分)
(注：也可累乘求b n 的通项．)
(2) 由(1)得c n ＝b n ＋2S n ＝n ＋2（n 2＋n ）2n ＋1，所以c n ＝1n ·2n －1（n ＋1）2n ＋1，(7分) 所以c 1＋c 2＋…＋c n ＝12－1（n ＋1）2n ＋1＝（n ＋1）2n －1（n ＋1）2n ＋1
.(9分)
(3) 假设存在正整数p ，q ，r(p<q<r)，使得b p ，b q ，b r 成等差数列，则b p ＋b r ＝2b q ，即p 2p ＋r 2r ＝2q
2q .
因为b n ＋1－b n ＝
n ＋12n ＋1－
n 2n ＝1－n
2n ＋1
，所以数列{b n }从第二项起单调递减． 当p ＝1时，12＋r 2r ＝2q
2q .
若q ＝2，则r 2r ＝1
2
，此时无解；
若q ＝3，则r 2r ＝1
4，且{b n }从第二项起递减，故r ＝4，所以p ＝1，q ＝3，r ＝4符合要求；(11分)
若q ≥4，则b 1b q ≥b 1
b 4
＝2，即b 1≥2b q ，又因为b 1＋b r ＝2b q ，所以b 1<2b q ，矛盾．此时无解．(12分)
当p ≥2时，一定有q －p ＝1.若q －p ≥2，则b p b q ≥b p b p ＋2＝4p p ＋2＝4
1＋2
p ≥2，即b p ≥2b q ，这与b p ＋b r ＝2b q 矛
盾，所以q －p ＝1.
此时r 2r ＝12p ，则r ＝2r －p .令r －p ＝m ＋1，则r ＝2m ＋1，所以p ＝2m ＋1－m －1，q ＝2m ＋
1－m ，m ∈N *.
综上得，存在p ＝1，q ＝3，r ＝4或p ＝2m ＋
1－m －1，q ＝2m ＋
1－m ，r ＝2m ＋
1(m ∈N *)满足要求．(16分) 例4、(2019常州期末）已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＋3a n ＋4＝0，n ∈N *. (1) 求证：{a n ＋1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；
(2) 数列{a n }中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由．
规范解答 (1) 由a n ＋1＋3a n ＋4＝0得a n ＋1＋1＝－3(a n ＋1)，n ∈N *.(2分) 其中a 1＝1，所以a 1＋1＝2≠0，可得a n ＋1≠0，n ∈N *.(4分)
所以a n ＋1＋1a n ＋1
＝－3，n ∈N *，所以{a n ＋1}是以2为首项，－3为公比的等比数列．(6分)
所以a n ＋1＝2(－3)n －
1，即a n ＝2(－3)n －
1－1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝2(－3)n －
1－1，n ∈N *.(8分) (2)若数列{a n }中存在三项a m ，a n ，a k (m <n <k )符合题意，其中k －n ，k －m ，n －m 都是正整数．(9分) 分以下三种情形：
①a m 位于中间，则2a m ＝a n ＋a k ，即2＝2(－3)n －
1－1＋2(－3)k －
1－1，
所以2(－3)m ＝(－3)n ＋(－3)k ，两边同时除以(－3)m 得2＝(－3)n －
m ＋(－3)k －
m ，等式右边是3的倍数，等式不成立，舍去；
②a n 位于中间，则2a n ＝a m ＋a k ，即2＝2(－3)m －
1－1＋2(－3)k －
1－1，
所以2(－3)n ＝(－3)m ＋(－3)k ，两边同时除以(－3)m 得2(－3)n －
m ＝1＋(－3)k －
m ，即1＝2(－3)n －
m －(－3)k
－
m
，等式右边是3的倍数，等式不成立，舍去；
③a k 位于中间，则2a k ＝a m ＋a n ，即2＝2(－3)m －
1－1＋2(－3)n －
1－1，
所以2(－3)k ＝(－3)m ＋(－3)n ，两边同时除以(－3)m ，得2(－3)k －
m ＝1＋(－3)n －
m ，即1＝2(－3)k －
m －(－3)n
－m
，等式右边是3的倍数，等式不成立，舍去．(15分) 综上可得，数列{a n }中不存在三项满足题意．(16分) 题型三、数列中的有序实数对的问题
例5、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知数列{}n a 满足1
5
(1)()2
n n n n a
a n *+++-=
∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．
（1）求13a a +的值； （2）若15
32a a a +=．
① 求证：数列{}2n a 为等差数列；
② 求满足224()p
m S S p m *=∈N ，的所有数对()p m ，．
【思路分析】（1）直接令1,2n
得到关系式，两式相减，求出13a a +的值
（2）
分别赋值21,2n n ，得到关系式，两式相减，得到212112n n a a -++=，结合1532a a a +=，计算出11
4a ，
从而求
2114n a -=，代入关系式，得出294n a n =+，利用定义法证明{}2n a 为等差数列
（3）求和得到2n S ，代入关系式整理得()
2234322
p m p m +=+，需要转化两个因数相乘的形式，变形处
理，利用平方差公式得到(29)(23)27m p m p ++-+=，因为2912m p ++≥且2923m p m p ++-+，均为正整数，则两个因数只能为27和1，从而求出p m ，的值.
规范解答 （1）由条件，得2132372
a a a a -=⎧⎪⎨+=⎪⎩①
②，②-①得 13
12a a +=．……………………… 3分 （2）①证明：因为15(1)2n n n n a a +++-=，
所以221212242252
n n n n n a a
n a a -++⎧-=⎪⎨+⎪+=⎩③④
，
④-③得 212112n n a a -++=， ……………………………………………… 6分
于是13353111()()422
a a a a a =+=+++=，
所以314a =，从而114a =． ……………………………………………… 8分
所以121231111()(1)()044
4
n n n a a a ----=--==--=，
所以2114n a -=，将其代入③式，得294
n a n =+，
所以2(1)21n n a a +-=（常数），
所以数列{}2n a 为等差数列．……………………………………………… 10分 ②注意到121n a a +=， 所以2122n n S a a a =++
+
2345221()()()n n a a a a a a +=++++
++
2
1
25322n
k k n n =+==+∑，…………………………………………… 12分 由224p
m S S =知()
2234322
p m p m +=+．
所以22(26)(3)27m p +=++，
即(29)(23)27m p m p ++-+=，又*p m ∈N ，， 所以2912m p ++≥且2923m p m p ++-+，均为正整数， 所以2927
231m p m p ++=⎧⎨-+=⎩
，解得104p m ==，，
所以所求数对为(104)，．………………………………………………… 16分
题型四、数列中的参数的问题
例6、(2019苏州期末）定义：对于任意n ∈N *，x n ＋x n ＋2－x n ＋1仍为数列{x n }中的项，则称数列{x n }为“回归数列”．
(1) 已知a n ＝2n (n ∈N *)，判断数列{a n }是否为“回归数列”，并说明理由；
(2) 若数列{b n }为“回归数列”，b 3＝3，b 9＝9，且对于任意n ∈N *，均有b n <b n ＋1成立． ①求数列{b n }的通项公式；
②求所有的正整数s ，t ，使得等式b 2s
＋3s ＋
1－1b 2s ＋3s －1
＝b t 成立．
思路分析 (1) 验证a n ＋a n ＋2－a n ＋1是否是数列{a n }中的项．对于否定结论也可举反例． (2) ①利用数列{b n }是单调递增数列，可得数列{b n }等差数列，易得b n ＝n ；
②先得b 2s ＋3
s ＋
1－1b 22＋3s －1＝s 2＋3s ＋
1－1s 2＋3s －1
∈(1，3]，从而t 的可能取值为2或3.
解：(1) 假设{a n }是“回归数列”，
则对任意n ∈N *，总存在k ∈N *，使a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a k 成立，
即2n ＋4·2n －2·2n ＝2k ，即3·2n ＝2k ，(2分)
此时等式左边为奇数，右边为偶数，不成立，所以假设不成立， 所以{a n }不是“回归数列”；(4分) (2) ①因为b n <b n ＋1，所以b n ＋1<b n ＋2，
所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1>b n 且b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋2－(b n ＋1－b n )<b n ＋2. 又因为{b n }为“回归数列”，所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1， 即b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1，所以数列{b n }为等差数列．(6分) 又因为b 3＝3，b 9＝9，所以b n ＝n (n ∈N *)．(8分) (注：猜出b n ＝n 给1分)
②因为b 2s ＋3s ＋
1
－1b 2s ＋3s －1＝b t ，所以t ＝38＋
1＋s 2－13s ＋s 2－1
，(*)
因为t －3＝2（1－s 2）
3s ＋s 2－1≤0，所以t ≤3，
又因为t ∈N *，所以t ＝1，2，3.(10分)
当t ＝1时，(*)式整理为3s ＝0，不成立．(11分) 当t ＝2时，(*)式整理为s 2－1
3
s ＝1.
设c n ＝n 2－13n (n ∈N *)，因为c n ＋1－c n ＝2n （1－n ）＋3
3n ＋
1， 所以n ＝1时，c n <c n ＋1；n ≥2时，c n >c n ＋1. 所以(c n )max ＝c 2＝1
3
<1，所以s 无解．(14分)
当t ＝3时，(*)式整理为s 2＝1，因为s ∈N *，所以s ＝1.
综合所述，使得等式成立的所有的正整数s ，t 的值是s ＝1，t ＝3.(16分)
二、达标训练
1、已知数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，若1
2
m m m a a a ++为数列{}n a 中的项，则m =____ 【答案】2m =
【解析】()()12272523
m m m m m a a a m ++--=-，{}n a 中的项为大于等于5
-（15a =-）的奇数，所以考虑将12m m m a a a ++
向奇数形式变形：
()()()()234232272523
23
m m m m m m --⋅--⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦
=--
()88236292323m m m m =--+
=-+--，可得823m -应该为大于等于4的偶数，所以8
423m =-或
8
823m =-，解得52m =（舍）或2m =
2、(2019扬州期末）记无穷数列{a n }的前n 项中最大值为M n ，最小值为m n ，令b n ＝M n ＋m n
2，数列{a n }
的前n 项和为A n ，数列{b n }的前n 项和为B n .
(1) 若数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，求B n .
(2) 若数列{b n }是等差数列，试问数列{a n }是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明． 规范解答 (1)因为数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n ，所以m n ＝2，M n ＝a n ＝2n ， 则有b n ＝2＋2n 2＝1＋2n －1，从而B n ＝n ＋1－2n 1－2×1＝2n －1＋n.(4分)
(2)解法1(参数讨论法) 若数列{b n }是等差数列，设其公差为d′. b n －b n －1＝
M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝M n －M n －12＋m n －m n －1
2
＝d′. 根据M n ，m n 的定义，有以下结论：
M n ≥M n －1，m n ≤m n －1，且两个不等式中至少有一个取等号．(6分)
说明：若两不等式均不取等号，即M n >M n －1，m n <m n －1，则a n ＝M n >M n －1≥a n －1，则a n >a n －1>…>a 2>a 1，而此时有m n ＝m n －1＝a 1，不合题意，故两不等式中至少有一个取等号．
①若d′>0，则必有M n >M n －1，所以a n ＝M n >M n －1≥a n －1，即对n ≥2，n ∈N *，都有a n >a n －1， 所以M n ＝a n ，m n ＝a 1，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝a n ＋a 12－a n －1＋a 12＝a n －a n －1
2＝d ′，
所以a n －a n －1＝2d ′，即{a n }为等差数列．(7分)
②若d ′<0时，则必有m n <m n －1，所以a n ＝m n <m n －1≤a n －1，即对n ≥2，n ∈N *，都有a n <a －1， 所以M n ＝a 1，m n ＝a n ，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋M n －12＝a 1＋a n 2－a 1＋a n －12＝a n －a n －1
2＝d ′，
所以a n －a n －1＝2d ′，即{a n }为等差数列；
③当d ′＝0，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝M n －M n －12＋m n －m n －1
2
＝0.
因为M n －M n －1，m n －m n －1中必有一个为0，所以根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 即M n ＝M n －1，m n ＝m n －1，所以{a n }为常数数列，也是等差数列， 综上，数列{a n }一定是等差数列．(10分)
解法2(增项讨论法) 若数列{b n }是等差数列，设通项公式为b n ＝pn ＋q(p ，q ∈R )，则b n ＋1－b n ＝p . 对于数列{a n }：a 1，a 2，…，a n ，增加a n ＋1时，有下列情况：
①若a n ＋1>M n 时，则M n ＋1＝a n ＋1，m n ＋1＝m n ，此时a n ＋1＝M n ＋1>M n ≥a n ，所以a n ＋1>a n 对n ∈N *恒成立， 则M n ＝a n ，m n ＋1＝m n ＝a 1，所以b n ＋1－b n ＝M n ＋1＋M n ＋12－M n ＋m n 2－a n ＋1＋a 12－a n ＋a 12＝a n ＋1－a n
2＝p ，
即a n ＋1－a n ＝2p ，为常数，则数列{a n }是等差数列．(7分) ②若m n ≤a n ＋1≤M n 时，则M n ＋1＝M n ，m n ＋1＝m n, 所以b n ＋1＝b n . 因为数列{b n }是等差数列且b n ＝pn ＋q ，所以p ＝0，b n ＝q ，
所以M n ＋1＝M n ＝M n －1＝…＝M 1＝a 1＝q ，m n ＋1＝m n ＝m n －1＝…＝m 1＝a 1＝q ，所以q ≤a n ＋1≤q ，即a n ＝q ，即{a n }为常数数列，所以数列{a n }是公差为0的等差数列．(8分)
③若a n ＋1<m n 时，则M n ＋1＝M n ，m n ＋1＝a n ＋1，此时a n ＋1＝m n ＋1<m n ≤a n ，所以a n ＋1<a n 对n ∈N *恒成立， 则M n ＋1＝M n ＝a 1，m n ＝a n ，所以b n ＋1－b n ＝M n ＋1＋m n ＋12－M n ＋m n 2＝a 1＋a n ＋12－a 1＋a n 2＝a n ＋1－a n
2＝p ，
即a n ＋1－a n ＝2p ，为常数，则数列{a n }是等差数列．(10分)
3、(2019苏北三市期末）已知数列{a n }满足对任意的n ∈N *，都有a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1·(1－q n a n
＋1
)，且a n ＋1＋a n ≠0，其中a 1＝2，q ≠0.记T n ＝a 1＋qa 2＋q 2a 3＋…＋q n －
1a n . (1) 若q ＝1，求T 2019的值．
(2) 设数列{b n }满足b n ＝(1＋q )T n －q n a n . ①求数列{b n }的通项公式；
②若数列{c n }满足c 1＝1，且当n ≥2时，c n ＝2b n －1－1，是否存在正整数k ，t ，使c 1，c k －c 1，c t －c k 成等
比数列？若存在，求出所有k ，t 的值；若不存在，说明理由．
思路分析 第(2)问中第一小问，展开并整理后，得到一个完全平方公式，得到a n ＋1＋a n ＝1
q n 后就可以
顺利解决．第2小问求出c n 以后，根据成等比数列，再利用整数的奇偶性分析解决即可．
规范解答 (1)当q ＝1时，由a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1(1－q n a n ＋1)，得(a n ＋1＋a n )2＝a n ＋1＋a n .又a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1＋a n ＝1.(2分)
又a 1＝2，所以T 2019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2018＋a 2019)＝1011.(4分)
(2)①由a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1(1－q n a n ＋1)，得q n (a n ＋1＋a n )2＝a n ＋1＋a n .又a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1＋a n ＝1
q
n .(6分) 又因为T n ＝a 1＋qa 2＋q 2a 3＋…＋q n －
1a n ，所以qT n ＝qa 1＋q 2a 2＋q 3a 3＋…＋q n a n ，所以(1＋q)T n ＝a 1＋q(a 1＋
a 2)＋q 2(a 2＋a 3)＋q 3(a 3＋a 4)＋…＋q n －
1(a n －1＋a n )＋q n a n ，b n ＝(1＋q)T n －q n a n ＝a 1＋1＋1＋…＋1＋q n a n －q n a n ＝a 1＋n －1＝n ＋1，所以b n ＝n ＋1. (10分)
②由题意，得c n ＝2b n －1－1＝2n －1，n ≥2.若c 1，c k －c 1，c t －c k 成等比数列，则(c k －c 1)2＝c 1(c t －c k )，即(2k －2)2＝2t －2k, (12分) 所以2t ＝(2k )2－3
由于c k －c 1≠0，所以k ≠1，即k ≥2. 当k ＝2时，2t ＝8，得t ＝3.(14分)
当k ≥3时，由(*)，得(2k －
1)2－3·2k －
2＋1为奇数，所以t －2＝0，即t ＝2，代入(*)得22k －
2－3＝0，即2k ＝3，此时k 无正整数解．
综上，k ＝2，t ＝3满足题意．(16分)
4、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =-，1320n n a S +++=（*n ∈N ）. （1）求2a ，3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）是否存在整数对(,)m n ，使得等式2
48n n a m a m -⋅=+成立？若存在，请求出所有满足条件的
(,)m n ；若不存在，请说明理由.
解：（1）在1320n n a S +++=中，令1n =，得：21320a S ++=
21123234a S a ∴=--=--=
再令2n =，得：3233208a S a ++=⇒=-
（2）由1320n n a S +++= ①，可得：()13202n n a S n -++=≥② ①-②可得：()113022n n n n n a a a a a n ++-+=⇒=-≥
{}n a ∴从第二项开始成等比关系，公比为2-
()
()()2
2222n n
n a a n -∴=⋅-=-≥ 而12a =-符合上式
()2n
n a ∴=-
由（2）得：()
()22248n
n
m m ---=+
()()()()()()22
282168
824242424
n n n n n n
m ⎡⎤⎡⎤----+⎣⎦⎣⎦∴===--+-+-+-+ m Z ∈ 且()24n
Z --∈ ∴只需
()
8
24
n
Z ∈-+，即()241,2,4,8n
-+=±±±±
经计算可得：1,2,3n =时，
()
8
24
n
Z ∈-+
∴ 解得：123
,,2114n n n m m m ===⎧⎧⎧⎨
⎨⎨
=-==-⎩⎩⎩
∴ 共有三组符合题意：()()()2,1,1,2,14,3--
5、(2019南京、盐城一模）已知数列{a n }，其中n ∈N *. (1) 若{a n }满足a n ＋1－a n ＝q n －
1(q >0，n ∈N *)． ①当q ＝2，且a 1＝1时，求a 4的值；
②若存在互不相等的正整数r ，s ，t ，满足2s ＝r ＋t ，且a r ，a s ，a t 成等差数列，求q 的值；
(2) 设数列{a n }的前n 项和为b n ，数列{b n }的前n 项和为c n ，c n ＝b n ＋2－3，n ∈N *，若a 1＝1，a 2＝2，且|a 2n ＋1－a n a n ＋2|≤k 恒成立，求k 的最小值．
规范解答 (1)①由a 4－a 3＝4，a 3－a 2＝2，a 2－a 1＝1，a 1＝1，累加得a 4＝8.(3分) ②因a n ＋1－a n ＝q n －
1，所以n ≥2时，a n －a n －1＝q n －
2，…，a 2－a 1＝1.
(i )当q ＝1时，a n ＝n －1＋a 1 (n ≥2)．又因为a 1满足a n ＝n －1＋a 1，所以a n ＝n －1＋a 1 (n ∈N *)． 因为2s ＝r ＋t ，所以2a s ＝a r ＋a t ，所以q ＝1满足条件． (ii)当q ≠1且q ＞0时，a n ＝1－q n －
1
1－q
＋a 1 (n ≥2)．
又因为a 1满足a n ＝1－q n －
11－q ＋a 1，所以a n ＝1－q n －
1
1－q
＋a 1 (n ∈N *.(5分)
因为2s ＝r ＋t ，若存在r ，s ，t 满足条件，即2a s ＝a r ＋a t ，化简得2q s ＝q r ＋q t ，则2＝q r －
s ＋q t －
s ≥2q r ＋t －2s
＝2，
此时r ＝t ＝s ，这与r ，s ，t 互不相等矛盾． 所以q ≠1且q ＞0不满足条件．(7分) 综上所述，符合条件q 的值为1. (8分)
(2)由c n ＝b n ＋2－3，n ∈N *，可知c n ＋1＝b n ＋3－3，两式作差可得b n ＋3＝b n ＋2＋b n ＋1.
又因为a 1＝1，a 2＝2，所以b 1＝1，b 2＝3，
从而c 1＝1，c 2＝4，可得b 3＝4，b 4＝7，故b 3＝b 2＋b 1， 所以b n ＋2＝b n ＋1＋b n 对一切的n ∈N *恒成立．(11分)
对b n ＋3＝b n ＋2＋b n ＋1，b n ＋2＝b n ＋1＋b n 两式进行作差可得a n ＋3＝a n ＋2＋a n ＋1. 又由b 3＝4，b 4＝7，可知a 3＝1，a 4＝3，故a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ≥2)．(13分)
又由a 2n ＋2－a n ＋1a n ＋3＝(a n ＋1＋a n )2－a n ＋1·(a n ＋2＋a n ＋1)＝(a n ＋1＋a n )2－a n ＋1·(a n ＋2a n ＋1)＝－a 2
n ＋1＋a n a n ＋2，n
≥2，
所以|a 2n ＋2－a n ＋1a n ＋3|＝|a 2n ＋1－a n a n ＋2|，(15分)
所以当n ≥2时，|a 2n ＋1－a n a n ＋2|＝5，当n ＝1时|a 2n ＋1－a n a n ＋2|＝3，故k 的最小值为5.(16分)
6、(2017南京学情调研）已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16.
(1) 求数列{a n }的通项公式．
(2) 设数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n ＋1.
①求数列{b n }的通项公式；
②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．
规范解答 (1) 设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0.
由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧
(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，
4a 1＋6d ＝16，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝7，d ＝－2
(舍去)．所以a n ＝2n －1.(4分) (2) ①因为b 1＝a 1＝1，
b n ＋1－b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)·(2n ＋1)＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， (6分)
即b 2－b 1＝1
2⎝⎛⎭⎫1－13， b 3－b 2＝12⎝⎛⎭⎫13－15， …
b n －b n －1＝12⎝⎛⎭⎫1
2n －3－12n －1，n ≥2，
累加得b n －b 1＝1
2⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝
n －12n －1，(9分)
所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －2
2n －1.
又b 1＝1也符合上式，故b n ＝
3n －2
2n －1
，n ∈N *.(11分) ②假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m . 又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2
，b m ＝32－1
4m －2，
所以43＋⎝⎛⎭⎫32－14n －2＝2⎝⎛⎭⎫32－14m －2，即12m －1＝16＋14n －2，化简得2m ＝7n －2n ＋1＝7－9
n ＋1.(14分)
当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2(舍去)； 当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．
所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．(16分)。