回归课本集合、简易逻辑 (1)

(一)集合、简易逻辑
一.考试内容：集合.子集.补集.交集.并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.
二.考试要求：
(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意
义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.
(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.理解四种命题及其相互关系.掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.
【注意】近年的高考题中，集合的考查通常以两种方式出现：①考查集合的概念、集合的关系、集合的运算；②在考查其他部分内容时涉及到集合的知识.很少有正面考查逻辑的内容.逻辑与充要条件的知识往往是和其他知识结合起来考查.
三.基础回顾:
1. 元素与集合的关系
U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.
2.德摩根公式
();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.
3.包含关系
A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=
4.容斥原理
()()card A B cardA cardB card A B =+-
)
()()()()(A C card C B card B A card C B A card cardC cardB cardA C B A card ---+++=
5．集合12{,,
,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有
2n –2个.
6.真值表ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假
7.原结论 反设词 原结论
反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个 至多有（1n -）个 小于 不小于 至多有n 个 至少有（1n +）个
对所有x ，成立 存在某x ，不成立
p 或q p ⌝且q ⌝
对任何x ，不成立
存在某x ，成立
p 且q p ⌝或q ⌝
8.四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互
互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否
否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
9.充要条件
（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.
（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.
（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.
四.基本方法和数学思想
1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；
2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；
3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，例如：陈述句、反诘问句都是命题，而祈使句、疑问句、感叹句都不是命题；
4.判断命题的真假要以真值表为依据。

原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；
5.判断命题充要条件的三种方法： （1）定义法；
（2）利用集合间的包含关系判断，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；
（3）等价法：即利用等价关系"A B B A "⇒⇔⇒判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；
6.（1）含n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集（非空子集）个数为2n －1； （2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆
（3）;)(,)(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I ==
五.典型高考题
1.（全国卷Ⅰ）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是( )
A ．Φ=⋃⋂）（321S S S C I
B ．123I I S
C S C S ⊆⋂（）
C ．Φ=⋂⋂）
321S C S C S C I I I
D ．123I I S C S C S ⊆⋃（）
2．（福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = 。

3.（浙江卷）设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下
的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 ( ) A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①②都是真命题 D ．①②都是假命题
4. 以下同个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的
轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1
(),2
OP OA OB =
+则动点 P 的轨迹为椭圆；③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线
221259x y -=与椭圆2
2135
x y +=有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
5.（04年湖北卷.文16理15）设A 、B 为两个集合。

下列四个命题：
①A B ⊂≠⇔对任意A x ∈，有B x ∉； ②A B ⊂≠⇔A ∩B =φ；
③A B ⊂≠⇔A B ⊃≠； ④A B ⊂≠⇔存在A x ∈，使得B x ∉。

其中真命题的序号是
________。

（把符合要求的命题序号都填上）
6.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。

那么p 是q 成立的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 命题p ：若a 、b ∈R ，则||||1a b +>|是||1a b +>的充要条件. 命题q ：函数|1|2y x =--的定义域是
(,1][3,)-∞-+∞. 则（）.
A.“p 或q ”为假
B. “p 且q ”为真
C. p 真q 假
D. p 假q 真
8.（湖北卷）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合
P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是 （ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6
9.（04年上海卷.文理19）记函数3
()21
x f x x +=-+A , g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1) 的定义域为
B.(1) 求A ；(2) 若B A ⊆, 求实数a 的取值范围.
六.课本习题回顾 集合
1 由小于10的所有质数组成的集合是 。

2 由不大于50的所有质数组成的集合是 。

3 设全集U=Z ，M= {10}x N x ∈≤，P={23}x Z x ∈-≤≤。

则M
P = ，M P = ，
U M
C P = 。

4 由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数有 。

5 由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字所组成的自然数中，不超过321的有 个，其中3的倍数有 个。

6 集合{a,b}的子集有 ，其中真子集有 个。

7 若{a}⊆A ⊆{a,b,c},则集合A 的个数有 个。

8设U=Z ，M={2,}x x k k z =∈，N={21,}x x k k z =+∈，P={21,}x x k k z =±∈，Q={41,}x x k k z =±∈，则下列结论不正确的是 （ ）
A ．U C M N =
B ．U
C P M = C ．P Q =∅
D ．U C M N P Q ===
9 设A={2}x x >-，B={3}x x <，则A B = 。

10 设A={12}x x -<<，B={13}x x <<，则A
B = 。

11 设A={(,)46}x y y x =-+，B={(,)53}x y y x =-，则A B = 。

12 设A=2{46}y y x =--，B=2{530}y x y --=，则A B = ,A B =
13 设A=2{46}y y x =--，B= 2{50}y x y m --=，若A B ≠∅，
则实数m 的取值范围是 ，若A B R ≠，则实数m 的取值范围是 。

简易逻辑：逻辑联结词、四种命题、充要条件
1 .已知命题P ：26x x -≥，命题Q ：x Z ∈，且“P 且Q ”与“非Q ”同时为假命题，则x 的值等
于 。

2 .下列命题是假命题的是 （ ）
A ．命题“若2
2
0,x y +=则,x y 全为0”的逆命题； B ．命题“全等三角形是相似三角形”的否命题；
C ．命题“若0,m >则2
0x x m +-=有实数根”的逆否命题；
D ．命题“ABC ∆中，如果0
90C ∠=，那么2
2
2
c a b =+” 的逆否命题； 3 .下列命题是真命题的是 （ ）
A ．“a b >”是“2
2
a b >”的充分条件； B ．“a b >”是“2
2
a b >”的必要条件； C ．“a b >”是“2
2
ac bc >” 的充分条件； D ．“a b >”是“a c b c +>+”的充要条件。

4 .命题：“a,b 是整数”是命题：“2
0x ax b ++=有且仅有整数解”的 条件。

5 .命题：“1a b +=” 是命题：“3322
0a b ab a b ++--=” 的 条件。

6 .已知p,q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，则 （1）s 是q 的 条件， （2）r 是q 的 条件， （3）p 是q 的 条件， （4）s 是p 的 条件.
7 .2
10ax x ++=至少有一个负的实根的充要条件是 （ ）
A 01a <≤
B 1a <
C 1a ≤
D 01a <≤ 或0a <
8 .2
10ax x ++=至少有一个正的实根的充要条件是 。

9 .2
10ax x ++=有两个负的实根的充要条件是 。

10 .2
10ax x ++=至少有一个正的实根的一个充分不必要条件是 。

11 .2
10ax x ++=至少有一个负的实根的一个必要不充分条件是 。

12 .2
3100x x k -+=有两个同号且不相等实根的充要条件是 。

13 .2
3100x x k -+=有两个同号的实根的充要条件是 。

14 .2
3100x x k -+=有两个异号的实根的充要条件是 。