3.4 三维晶格振动

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

0
只取决于两个元胞之间的相对位置,而与他们之间的绝对位 置无关,即
������������������������,������′ ������ ′ ������′ = ������������������ ′ ������������′ (������������ − ������������′ )
������������������������ ′ ������′ ������������ ������ −������������∙R������
������
������������������������ ′ ������′ ������ ≡
是������������������������ ′������′ ������������ 的傅里叶变换,它组成一个3n阶矩阵,称为动力学矩 阵
������∙������������ −������������
=
������ ′ ������ ′ ������′
������������ ′ ������′ ������ ������������������������ ′ ������′ (������������ − ������������′ )������ ������
纵振动
横振动
声学 质心运动
光学
原子的相对运动
以金刚石为例,可将上述讨论更加具体化。金刚石是复式格 子,每一个原胞中有两个原子,有3支声学波和3支光学波。对 于某一传播方向,频率和波矢q的关系曲线如图所示。 光学波的频率随q变化很小,在实际计算中,将其视为与波矢q 无关的常数。在三支声学波中一支是纵波,两支是横波。 当q 很小时, 与q 成比例,这时,声学波与弹性波一样,波速为 常数,而且就是弹性波的速度。
ℎ������ ������ ������������ ������
因为������ ∈ 1������������,所以

������������ ������������ < ℎ������ ≤ 2 2
独立的波矢数:
波矢密度:
������ Ω∗
=
3 ������=1 ������������ ������ 2������ 3
������������������
• 系统势能 1 ������ = 2
������������ ′ ,������������ ′ ,������������ ′
������ 2 ������ ������������������������������ ������������������′������ ′ ������′
q 空间中波矢q 的密度 =
Na 2
Na
第一布里渊内 q 点的取值数=
2
2 a N 2 Na
Na
a
o
q a
N个原子组成的一维单原子链
q 第一布区 a a
2 Na
相邻 q 点距离 Na
2


a
o

a
第一布区内,波矢 q 可取值数

2
a 2 Na
N
(N=初 基元胞数=原子数)
, gi 是简并度。
二、格波量子 – 声子
• 一个振子的平均声子占据数是
������������������ ������ = ������������������ =
������������������
������������������������ ������������������ =
������������������
������
/
������������������
������ −������������������������ ℏ������������
������
麦克斯韦尔 − 玻尔兹曼分布: ������������ =
������
������ − ������ ������������ ������ ������������ ������������ − ������������ ������ ������������ ������
������∙������������′ −������������
得到

������������ ������2 ������������������������ =
������������ ′
������������������������ ′ ������′ ������ ������������ ′ ������′ ������
������������������������ ������ ������(������∙������������ −������������) = ������������������������ ������ ������(������∙
������������ +������������������������ −������������)
一、三维晶格振动
• 令格波解
������������������������ = ������������������������ ������ ������
������∙������������ −������������
代入运动方程
������������ ������2 ������������������������ ������ ������
������ ′ ������ ′ ������′
其中原子力常数
������������������������,������′ ������ ′ ������′
������ 2 ������ ≡ ������������������������������ ������������������′ ������ ′ ������′
频率 和波矢q的关系 曲线。沿[100]及[111] 轴两支横波简并。 (图中横坐标以2/l为单 位,其中l代表有关轴 向的格点间距)
一、三维晶格振动 – 边界条件
• 设晶体是一个规则的平行六面体,三条棱沿三个基矢 (������1 , ������2 , ������3 ),长度(������1 ������1 , ������2 ������2 , ������3 ������3 ),元胞数(N1 N2 N3 ) • 晶体体积为������ = ������1 ������1 ∙ ������2 ������2 × ������3 ������3 = ������Ω • 冯恩-冯卡门边界������������,������������ = ������������+������������,������������ ,将其代入格波解
这要求
������ ������������∙������������������������ ≡ 1 ������ ∙ ������1 ������1 = 2������ℎ1 ������ ∙ ������2 ������2 = 2������ℎ2 ������ ∙ ������3 ������3 = 2������ℎ3
3.4 三维晶格振动 格波量子-声子
一、三维晶格振动
• • • • • 晶体中有N个元胞,每个元胞中有n个原子 元胞的位置:������������ = ������1 ������1 + ������2 ������2 + ������3 ������3 第j个原子质量:������������ 晶体位移矢量分量:������������������������ 系统动能: 1 2 ������ = ������������ ������������������������ 2
于是
������������ ������ = ������������ (������ + ������ℎ )
同时注意到
������ ������������∙������������ = ������ ������(������+������ℎ )∙������������
所以独立的波矢������应该限制在一个倒格子元胞范围内,通常 选择在第一布里渊区内
纵波:原子振动方向与波传播方向一致
横波:原子振动方向与波传播方向垂直
对于声学支:
横声学支(Transverse acoustic branch,TA) 纵声学支(Longitudinal acoustic branch,LA)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对于光学支: 横光学支(Transverse optic branch,TO) 纵光学支(Longitudinal optic branch,LO)
• 三支声学波
– 在布里渊区高对称点或连线上:两支横波,一支纵波
• 3n-3支光学波
– 在布里渊区高对称点或连线上:2(n-1)支横波,n-1支纵波
一、三维晶格振动
• 容易证明
������������������������ ′ ������′ ������ + ������ℎ = ������������������������ ′ ������′ (������ )
能量是量子化的,定义格波的量子为声子
• 在温度T达到热平衡时,ℏ������������ ������ 振子具有������������������ 个声子的概率
������������������������ = ������ −������������������������ ℏ������������
������������������ ������ −������������������������ ℏ������������
一、三维晶格振动
• 新方程组有解的条件是系数行列式为0
������������������������ ′ ������′ ������ − ������������������ ������������������ ′ ������������������′
3������×3������
=0
可以解出3n个色散关系������������ ������
������ ∙ ������������ ������������ = 2������ℎ������
一、三维晶格振动 – 边界条件
• 可以选择波矢
ℎ1 ℎ2 ℎ3 ������ = ������ + ������ + ������ = ������1 1 ������2 2 ������3 3
������
V
V
3
L
q点的密度
L 2
2
S
2
2
3
二、格波量子 – 声子
• 一个独立的格波等价于简正坐标������������������ 描述的谐振子,能量 本征值为
������������������ 1 = ������������������ + ℏ������������ ������ 2
= ������1 ������2 ������3 = ������(元胞数)
独立格波数:3������������
补充:关于波矢q (1)一维 m 2 q m, q b ,
Na
Na
N
m = 0 , ±1 , ±2 ...
一个 m 值对应一个q 点,波矢取分离值,均匀分布相 邻 q 点 “距离”为 2 ,一个 q 点的“长度”为 2
一维 q 的 取值 q
2
二维
三维
Na
a
m1 m2 m1 m2 m3 m q b1 b2 q b1 b2 b3 b N1 N2 N1 N2 N3 N qy qz q qx a
qy
一个q点占的体积
2
Na

2
2
S
2
2
������������������������ ������������′������ ′ ������′
0
一、三维晶格振动
• 运动方程
������������ ������������������������ = − ������������������������,������′ ������ ′ ������′ ������������′ ������ ′ ������′
运动方程改写为
������������ ������������������������ = −
������ ′ ������ ′ ������′
������������������������ ′ ������′ (������������ − ������������′ )������������′ ������ ′ ������′
相关文档
最新文档