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2023年河南省各地市中考数学三模压轴题精选之四边形和相似三角形(含解析)

2023年河南省各地市中考数学三模压轴题精选之四边形和相似三角形1.(2023·河南省商丘市·三模)如图，平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，对角线AC和OB交于点D，作∠ABO的平分线，交OA于点P，交AC于点Q.若OP=2，则点Q的坐标为( )A. (3,2)B. (2+1,1)C. (2+2,2)D. (3,1)2.(2023·河南省天宏大联考·三模)如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F.若∠ABC=120°，AB=2，则PE―PF的值为( )A. 32B. 3 C. 2 D. 523.(2023·河南省天一大联考·三模)如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以AC为底边在右侧作等腰三角形ADC，连接BD，交AC于点O，过点D作DF//AB交AC于点E，交BC于点F，若AD=5，则DF的长为( )A. 32B. 3+3C. 4+3D. 3+324.(2023·河南省天宏大联考·三模)如图，在△ABC中，OA=4，OB=3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上(点P不与点A、C重合)，满足∠BPQ=∠BAO.当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是______．5.(2023·河南省天一大联考·三模)如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，BC=1，点E是直线AB上一点，连接CE，将△BCE沿直线CE折叠，点B落在点B′处，若四边形BEB′C是菱形，则CE的长为______．6.(2023·河南省商丘市·三模)如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD=6，∠ABD=30°，点E为CD 的中点，点P为BC，AB上一个动点，将△PEC沿PE折叠得到△PEQ，点C的对应点为点Q，当点Q落在矩形ABCD的对角线上时，PC的长为______．7.(2023·河南省郑州市外国语学校·三模)如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，点E是边AC 上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是．8.(2023·河南省郑州一中·三模)如图，在△ABC中，AB=AC=3+1，∠BAC=120°，P、Q是边BC上两点，将△ABP沿直线AP折叠，△ACQ沿直线AQ折叠，使得B、C的对应点重合于点R.当△PQR为直角三角形时，线段AP的长为______．9.(2023·河南省洛阳市·三模)如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F.且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H.EN=1，AB=4，当点H为GN三等分点时，MD的长为______．10.(2023·河南省濮阳市·三模)矩形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC、BD交于点O，点M是BC边上一动点，连接OM，以OM为折痕，将△COM折叠，点C的对应点为E，ME与OB交于点G，若△BGM为直角三角形，则BM的长为______．11.(2023·河南省商丘一中·三模)折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片ABC，其中，∠A=60°，AC=1，找出BC的中点M，在AB上找任意一点P，以MP为对称轴折叠△MPB，得到△MPD，点B的对应点为点D，小明发现，当点P的位置不同时，DP与△ABC的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当DP⊥BC 时，AP的长为______．12.(2023·河南省驻马店市二中·三模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，AC=12，E为AB上的点，将EB绕点E在平面内旋转，点B的对应点为点D，且点D在△ABC的边上，当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为______．13.(2023·河南省驻马店市确山县·三模)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=23，∠B=30°，点D在AB上且AD=2，点P为AC的中点，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ、DQ.当∠DAQ=60°时，DQ的长为______．14.(2023·河南省周口市西华县·三模)如图1，将两个等腰直角△ABC和△DEF如图1放置，∠C=∠F=90°，AC=DF=2，D为AB的中点.如图2，将△DEF绕点D在平面内旋转，当△DEF的边恰好经过点C时，AF的长为______．15.(2023·河南省天宏大联考·三模)(1)如图1，正方形ABCD和正方形DEFG(其中AB>DE)，连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系______，位置关系______；(2)如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，3AD=2DG，3AB=2DE，DC=DG，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°<α<360°)，连接AG，CE交于点H，(1)中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)矩形ABCD和矩形DEFG，3AD=2DG=6，3AB=2DE=12，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α(0°<α<360°)，直线AG，CE交于点H，当点B、E、G在同一条直线上时，请直接写出线段BE的长．16.(2023·河南省天一大联考·三模)综合与实践【问题发现】(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH于点O.试猜想线段EG与FH的数量关系为______；【类比探究】(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=a，BC=2a，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，连接EG，FH，且EG⊥FH，垂足为O.试写出线段EG与FH的数量关系，并说明理由；【拓展应用】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠BCD=60°，点M，N分别在边AB，BC上，连接CM，DN，且CM⊥DN，垂足为O.已知AB=3，BC=DC=4，若点M为AB的三等分点，直接写出线段DN的长．17.(2023·河南省郑州市外国语学校·三模)【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图1，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=6，点M和点P分别是斜边AB上的动点，并且满足AM=BP，分别过点M和点P作AC边的垂线，垂足分别为点N和点Q，那么MN+PQ的值是一个定值．问题：若AM=BP=2时，MN+PQ值为______；【操作探究】如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AB=m；爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当AM=BP时，MN+PQ的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图2进行证明，并用含α和m的式子表示MN+PQ的值．【解决问题】如图3，在菱形ABCD中，AB=8，BD=14.若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM=BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为______．18.(2023·河南省郑州市十九中·三模)如图，在矩形ABCD中，点M、N分别为AD、BC上的点，将矩形ABCD 沿MN折叠，使点B落在CD边上的点E处(不与点C，D重合)，连接BE，过点M作MH⊥BC于点H．(1)如图①，若BC=AB，求证：△EBC≌△NMH；(2)如图②，当BC=2AB时，①求证：△EBC∽△NMH；②若点E为CD的三等分点，请直接写出AM的值．BN【问题背景】如图(1)，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E为边BC上一点，沿直线DE将矩形折叠，使点C落在AB边上的点C′处．(1)【问题解决】填空：AC′的长为______；(2)如图(2)，展开后，将△DC′E沿线段AB向右平移，使点C′的对应点与点B重合，得到△D′BE′，D′E′与BC 交于点F，求线段EF的长．(3)【拓展探究】如图(3)，在△DC′E沿射线AB向右平移的过程中，设点C′的对应点为C″，则当△D′C″E′在线段BC上截得的线段PQ的长度为1时，直接写出平移的距离．=k，F是AC边上一动点，将△AFB沿着BF翻折得点A 【问题情景】如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,ACBC的对应点D，连接CD，将射线CD绕点C顺时针旋转90°交BF于点E．【问题发现】(1)如图1，若k=1，设∠ABF=α．①求∠DAC的度数.(用含α的式子表示)②求证：CD=CE．【拓展应用】(2)如图2，若k=3，BC=2，在点F移动的过程中，当△ACD为直角三角形时，请直接写出BE的长．21.(2023·河南省商丘一中·三模)如图，矩形ABCD中，点M为CD上一点，AM⊥BM，点P为直线CD上一个动点，将射线PB绕点P逆时针旋转90°交直线AM于点Q．(1)当△AMB为等腰直角三角形时，①如图1，当点Q落在线段MA上时，试判断MB，MQ，MP的数量关系______；②如图2，当点Q落在射线MA上时，①中的结论是否变化，若不变，请证明.若变化，请说明理由；(2)如图3，若其他条件不变，Rt△AMB中，∠ABM=60°，AB=4，MQ=3，请直接写出MP的长．22.(2023·河南省周口市西华县·三模)实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．(1)折痕BM______(填“是”或“不是”)线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答______；进一步计算出∠MNE=______；(2)继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN=______；拓展延伸：(3)如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA′交ST于点O，连接AT、A′S.求证：四边形SATA′是菱形．解决问题：(4)如图④，矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交AB 边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值______．23.(2023·河南省驻马店二中·三模)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．《数学的发现》是2006年科学出版社出版的图书，作者是(美)乔治⋅波利亚.本书通过对各种类型生动而有趣的典型问题(有些是非数学的))进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型．共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形．共高定理：如图①，设点M在直线AB上，点P为直线外一点，则有S△PAMS△PBM =AMBM．下面是该结论的证明过程：证明：如图①，过点P作PQ⊥AB于点Q，……按要求完成下列任务：(1)请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明；(2)如图②，△ABC，①画出∠BAC的平分线(不写画法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图)；②若∠BAC的平分线交BC于D，求证：ABAC =BDCD．(3)如图③，E是平行四边形ABCD边CD上一点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，连接AE，CF，若△ADE的面积为2，则△CEF的面积为______．24.(2023·河南省新乡市封丘县·三模)综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：正方形透明纸片ABCD，点E在BC边上，如图1，连接AE，沿经过点B的直线折叠，使点E的对应点E′落AE在上，如图2，把纸片展平，得到折痕BF，如图3，折痕BF交AE于点G．根据以上操作，请直接写出图3中AE与BF的位置关系：______，BE与CF的数量关系：______．(2)迁移探究小华将正方形透明纸片换成矩形透明纸片，继续探究，过程如下：将矩形透明纸片ABCD按照(1)中的方式操作，得到折痕BF，折痕BF交AE于点G，如图4.若mAB=nAD，改变点E在BC上的位置，那么BFAE 的值是否能用含m，n的代数式表示？如果能，请推理BFAE的值，如果不能，请说明理由；(3)拓展应用如图5，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E在AD边上由点A向终点D匀速运动，动点F在DC边上由点D 向终点C匀速运动，动点E，F同时开始运动，且速度相同，连接AF，BE，交于点G，连接DG，则线段DG长度的最小值为：______，点G的运动路径长度为：______(直接写出答案即可)．参考答案1.【答案】B【解析】解：如图，过顶点P作PE⊥OB于点E，∵四边形ABCD为正方形，∴OC=BC=AB=OA，∠OAB=90°，∴∠AOB=45°，∵PE⊥OB，∴△OPE为等腰直角三角形，∴PE=OP2=22=2，∵BP为∠ABO的平分线，PA⊥AB，PE⊥OB，∴PE=PA=2，∴OA=OP+PA=2+2，∴C(0,2+2)，A(2+2,0)，P(2,0)，B(2+2,2+2)，设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将C(0,2+2)，A(2+2,0)代入得，b=2+2(2+2)k+b=0，解得：k=―1b=2+2，∴直线AC的解析式为y=―x+2+2，设直线BP的解析式为y=mx+n(m≠0)，将P(2,0)，B(2+2,2+2)代入得，2m+n=0(2+2)m+n=2+2，解得：m=2+1n=―22―2，∴直线BP的解析式为y=(2+1)x―22―2，联立直线AC 与直线BP 的解析式得，y =―x +2+ 2y =( 2+1)x ―2 2―2，解得：x = 2+1y =1，∴Q( 2+1,1)．故选：B ．过顶点P 作PE ⊥OB 于点E ，根据矩形的性质可得∠AOB =45°，则△OPE 为等腰直角三角形，PE =OP 2= 2，根据角平分线的性质可得PE =PA = 2，进而求出OA =2+ 2，于是C(0,2+ 2)，A(2+ 2,0)，P(2,0)，B(2+ 2,2+ 2)再利用待定系数法分别求出直线AC 与直线BP 的解析式，最后联立求解即可．本题主要考查正方形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质、用待定系数法求一次函数解析式，解题关键是利用待定系数法正确求出一次函数解析式是解题关键．2.【答案】B【解析】解：设AC 交BD 于O ，如图：∵菱形ABCD ，∠ABC =120°，AB =2，∴∠BAD =∠BCD =60°，∠DAC =∠DCA =30°，AD =AB =2，BD ⊥AC ，Rt △AOD 中，OD =12AD =1，OA = AD 2―OA 2= 3，∴AC =2OA =2 3，Rt △APE 中，∠DAC =30°，PE =12AP ，Rt △CPF 中，∠PCF =∠DCA =30°，PF =12CP ，∴PE ―PF =12AP ―12CP =12(AP ―CP)=12AC ，∴PE ―PF = 3，故选：B ．设AC 交BD 于O ，根据已知可得AC =2 3，而PE ―PF =12AP ―12CP =12(AP ―CP)=12AC ，即可得到答案．本题考查菱形的性质及应用，解题的关键是求出AC ，把PE ―PF 转化为12AC ．3.【答案】C【解析】解：在等边△ABC 中，AB =BC =AC =8，在等腰△ADC 中，AD =DC =5，∴BD 垂直平分AC ，∴AO =4，∠AOD =∠AOB =90°，∴∠ABO =∠CBO =30°，根据勾股定理，得OD = AD 2―AO 2= 52―42=3，BO = AB 2―AO 2= 82―42=4 3，∴BD =3+4 3，∵DF//AB ，∴∠FDB =∠ABD =30°，∴∠FDB =∠FBD =30°，∴DF =BF ，过点F 作FH ⊥BD 于点H ，则H 是BD 的中点，∴DH =12BD =3+432，设DF =x ，则FH =12x ，根据勾股定理，得(12x )2+(3+4 32)2=x 2，解得x =4+ 3或x =―4― 3(舍去)，∴DF =4+ 3，故选：C ．根据等边三角形和等腰三角形的性质可知BD 垂直平分AC ，再根据勾股定理求出OD 和BO 的长，进一步可得BD 的长，根据平行线的性质进一步可得DF =BF ，过点F 作FH ⊥BD 于点H ，根据等腰三角形的性质可得DH 的长，设DF =x ，则FH =12x ，根据勾股定理列方程，求解即可．本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键．4.【答案】1或78【解析】【分析】分为三种情况：①PQ =BP ，②BQ =QP ，③BQ =BP ，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解．本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质的应用，题目综合性比较强，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．【解答】解：∵OA=4，OB=3，C点与A点关于直线OB对称，∴BC=AB=42+32=5，分为3种情况：①当PB=PQ时，∵C点与A点关于直线OB对称，∴∠BAO=∠BCO，∵∠BPQ=∠BAO，∴∠BPQ=∠BCO，∵∠APB=∠APQ+∠BPQ=∠BCO+∠CBP，∴∠APQ=∠CBP，在△APQ与△CBP中，∠QAP=∠PCB∠APQ=∠CBP，QP=PB∴△APQ≌△CBP(AAS)，∴PA=BC=5，此时OP=5―4=1；②当BQ=BP时，∠BPQ=∠BQP，∵∠BPQ=∠BAO，∴∠BAO=∠BQP，根据三角形外角性质得：∠BQP>∠BAO，∴这种情况不存在；③当QB=QP时，∠QBP=∠BPQ=∠BAO，∴PB=PA，设OP=x，则PB=PA=4―x在Rt△OBP中，PB2=OP2+OB2，∴(4―x)2=x2+32，解得：x=7；8∵点P在AC上，∴点P在点O左边，．此时OP=78∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或7．8故答案为：1或7．85.【答案】1【解析】解：∵四边形BEB′C是菱形，∴BC=BE=B′E=B′C=1，∵∠B=60°，∴△BCE是等边三角形，∴CE=BC=1，故答案为：1．根据菱形的性质证明△BCE是等边三角形，进而可以解决问题．本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，菱形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．6.【答案】3或63【解析】解：当点P在BC上时，如图：由折叠的性质可知，DE=EQ，PC=PQ，∠EQP=90°，∵∠ABD=30°，四边形ABCD是矩形，∴∠EDQ=∠EQD=30°，∠PBQ=60°，∴∠PQB=60°，∴△PBQ是等边三角形，BC=3，∴PC=PQ=PB=12当点P在AB上时，Q刚好和点D重合，如图：由勾股定理得AB=63，∵E是中点，∴DE=33，由折叠的性质知PE⊥DC，在Rt△PEC中，CE=33，PE=6，∴PC=CE2+PE2=63．故答案为：3或63．分两种情况讨论，当点P在BC上时，可得△PBQ是等边三角形，从而得出PC=PQ=PB，此时PC=3，当点P在AB上时，Q刚好和点D重合，此时PC=63．本题考查矩形的性质和折叠的性质及勾股定理，本题要数形结合即可解答．7.【答案】2【解析】【分析】取AB的中点D，连接DE，过点D作DH⊥AC于点H，可证得△BCF≌△BDE(SAS)，得出CF=DE，当且仅当AD=2为DE的最小值，即可得出CF的最小值为2．DE⊥AC，即点E与点H重合时，DE=DH=12本题考查了直角三角形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．【解答】解：如图，取AB的中点D，连接DE，过点D作DH⊥AC于点H，则AD =BD =12AB ，∠AHD =∠ACB =90°，∵∠A =30°，BC =4，∴AB =2BC =8，∠ABC =90°―30°=60°，由旋转得：BF =BE ，∠EBF =60°，∴∠EBC +∠CBF =60°，∵∠EBC +∠DBE =60°，∴∠CBF =∠DBE ，∵AD =BD =12AB =4，∴BC =BD ，在△BCF 和△BDE 中BF =BE ∠CBF =∠DBE BC =BD∴△BCF ≌△BDE(SAS)，∴CF =DE ，当且仅当DE ⊥AC ，即点E 与点H 重合时，DE =DH =12AD =2为DE 的最小值，∴CF 的最小值为2．故答案为：2．8.【答案】 2或 6+ 22【解析】【分析】由翻折的性质，等腰三角形的性质可得∠PRQ =60°，要使△PQR 为直角三角形，于是有两种情况：即∠RPQ =90°或∠RQP =90°，分别画出相应的图形，根据等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理进行计算即可．本题考查翻折变换的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系，掌握翻折变换的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理是正确解答的前提．【解答】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，由翻折可知，∠ARQ =∠C ，∠ARP =∠B ，在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC = 3+1，∴∠B =∠C =30°，AD =12AB = 3+12，BD =CD = 32AB =3+32，∴∠PRQ =∠B +∠C =60°，①当∠RPQ =90°时，如图1，设AR 与BC 交于点E ，∴RP//AD ，∴∠EAD =∠ERP =∠B =30°，在Rt △ADE 中，AD =3+12，∠EAD =30°，∴DE = 33AD =3+ 36，设BP =a ，则PR =a ，PE =BD ―BP ―DE =3+ 32―a ―3+ 36=3+33―a ，在Rt △PRE 中，∠PRE =30°，∴PR = 3PE ，即a = 3×(3+33―a)，解得a =1，∴BP =PR =1，PE =3+ 33―1=33，∴PD =PE +DE = 33+3+ 36=3+12=AD ，∴△PAD 是等腰直角三角形，∴AP = 2AD = 6+22；②当∠RQP =90°时，如图2，由①可得，CQ =QR =1，DQ =AD =3+12，设PD =b ，则BP =PR =BD ―PD =3+32―b ，在Rt △PQR 中，由勾股定理得，PR 2―PQ 2=QR 2，即(3+ 32―b )2―( 3+12+b )2=1，解得b =3―12，即PD =3―12，在Rt △APD 中，由勾股定理得，AP 2=AD 2+PD 2=( 3+12)2+(3―12)2=2，∴AP=2，综上所述，AP=2或AP=6+22，故答案为：2或6+22．9.【答案】73―12或3【解析】【分析】根据点H为GN三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明∠GMN=∠MNG，得到MG=NG，证明△FGH∽△ENH，求出FG的长，过点G作GP⊥AD于点P，则PG=AB=4，设MD=MF=x，根据勾股定理列方程求出x即可．本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．【解答】解：当HN=13GN时，GH=2HN，∵将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，∴MF=MD，CN=EN，∠E=∠C=∠D=∠MFE=90°，∠DMN=∠GMN，AD//BC，∴∠GFH=90°，∠DMN=∠MNG，∴∠GMN=∠MNG，∴MG=NG，∵∠GFH=∠E=90°，∠FHG=∠EHN，∴△FGH∽△ENH，∴FG EN =GHHN=2，∴FG=2EN=2，过点G作GP⊥AD于点P，则PG=AB=4，设MD=MF=x，则MG =GN =x +2，∴CG =x +3，∴PM =3，∵GP 2+PM 2=MG 2，∴42+32=(x +2)2，解得：x =3或―7(舍去)，∴MD =3；当GH =13GN 时，HN =2GH ，∵△FGH ∽△ENH ，∴FG EN =GH HN =12，∴FG =12EN =12，∴MG =GN =x +12，∴CG =x +32，∴PM =32，∵GP 2+PM 2=MG 2，∴42+(32)2=(x +12)2，解得：x =73―12或― 73―12(舍去)，∴MD = 73―12；故答案为：73―12或3．10.【答案】0.5或1.5【解析】解：①∠BMG 是直角，如图，过O 点作OH ⊥BC 于H ，∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，∴AC=5，∴BH=CH=2，∴CO=2.5，∴OH=1.5，由折叠的性质可得∠OMH=45°，∴MH=OH=1.5，∴BM=BH―MH=4―2―1.5=0.5；②∠BGM是直角，如图，由折叠的性质可得OE=OC=2.5，∠ACB=∠E，∵∠ABC=∠EGO=90°，∴△OEG∽△ACB，∴OG：OE=AB：AC，即OG：2.5=3：5，解得OG=1.5，∴BG=2.5―1.5=1，∵∠ACB=∠MBG，∠ABC=∠MGB=90°，∴△ABC∽△MGB，∴BM：BG=CA：CB，即BM：1=5：4，解得BM=1.25．综上所述，线段BM的长为0.5或1.25．故答案为：0.5或1.25．分两种情况：①∠BMG是直角和②∠BGM是直角，进行讨论即可求解．本题考查了矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，勾股定理是解决问题的关键．11.【答案】12或32【解析】【分析】分两种情形：如图1中，当DP ⊥BC ，延长DP 交BC 于点J.如图2中，当PD ⊥BC 于点J 时，分别求出PB ，可得结论．本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图1中，当DP ⊥BC ，延长DP 交BC 于点J ．∵∠C =90°，AC =1，∠A =60°，∴∠B =30°，∴AB =2AC =2，BC = 3AC = 3，由翻折变换的性质可知，∠D =∠B =30°，DM =BM =32，∴JM =12DM =34，∴BJ =BM ―JM =34，∴PB =BJ cos 30∘=12，∴AP =AB ―PB =2―12=32．如图2中，当PD ⊥BC 于点J 时，同法可得MJ =JC =34，∴BJ =334，∴PB =BJ cos 30∘=32，∴AP =AB ―PB =2―32=12．综上所述，AP 的值为12或32．故答案为：12或32．12.【答案】458或457【解析】解：∵∠ACB =90°，AB =15，AC =12，∴BC = 152―122=9.△ADE 为直角三角形时分两种情况：①如图，当∠ADE =90°时，设DE =x =BE ，由∠ADE =∠ACB ，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴DE CB =AE AB，∴x 9=15―x 15，解得x =458；②当∠AED =90°时，设DE =y =BE ，同理可得：△AED ∽△ACB ，∴DE CB =AE AC，∴y 9=15―y 12，解得y =457．故答案为：458或457．先求解BC =9，再分两种情况讨论：如图，当∠ADE =90°时，当∠AED =90°时，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，作出正确的图形是解本题的关键．13.【答案】 7或 3【解析】解：∵∠ACB =90°，BC =2 3，∠B =30°，点P 为AC 的中点，∴∠BAC =60°，AC =BC ⋅tan30°=2，AP =12AC =1，AB AC 2+BC 2= 22+(2 3)2=4．∵AD =2，∴D 是AB 的中点．当∠DAQ =60°时，存在两种情况，当点Q 与点P 重合时，如图1所示，AQ =AP =1，此时DQ 为△ABC 的中位线，∴DQ=1BC=3；2当点Q在AP延长线上时，连接DP、DQ，如图2所示，∵PD为△ABC的中位线，∴PD//BC，∴∠DPQ+∠ACB=180°，∴∠DPQ=90°，∴DQ=PD2+PQ2=(3)2+22=7，综上，DQ的长为7或3，故答案为：7或3．AC=1，AB AC2+BC2=根据直角三角形的性质得到∠BAC=60°，AC=BC⋅tan30°=2，AP=1222+(23)2=4.求得D是AB的中点．当∠DAQ=60°时，存在两种情况，当点Q与点P重合时，如图1所示，AQ=AP=1，当点Q在AP延长线上时，连接DP、DQ，根据三角形的中位线定理即可得到结论．本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．14.【答案】2或6【解析】【分析】分两种情况讨论，由等腰直角三角形的性质可得AD=CD=2，利用勾股定理和平行四边形的性质可求解．本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【解答】解：如图，当点C落在DF上时，∵AC=DF=2，∠CAB=∠EDF=45°，∠ACB=∠DFE=90°，△ACB和△DFE都是等腰直角三角形，∴AB=DE=22，∵点D是AB的中点，∴AD=CD=2，∴AF=AD2+DF2=2+4=6；当点C落在DE上时，连接CF，∵DE=AB=22，CD=2，∴CE=CD=2，∵△EFD是等腰直角三角形，∴CF=CD=2=AD，CF⊥DE，∴CF//AD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF=CD=2，故答案为：2或6．15.【答案】相等垂直【解析】解：(1)如图1，在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADE+∠EDG=∠ADC+∠ADE，即∠ADG=∠CDE，∵DG=DE，DA=DC，∴△GDA≌△EDC(SAS)，∴AG=CE，∠GAD=∠ECD，∵∠COD=∠AOH，∴∠AHO=∠CDO=90°，∴AG⊥CE，故答案为：相等，垂直；(2)不成立，新结论：3CE=2AG，AG⊥CE，理由如下：如图2，由(1)知，∠EDC=∠ADG，∵3AD=2DG，3AB=2DE，AD=DE，∴DG AD =32，DECD=DEAB=32，∴DG AD =EDDC=32，∴△GDA ∽△EDC ，∴AG CE =AD DC =32，即3CE =2AG ，∵△GDA ∽△EDC ，∴∠ECD =∠GAD ，∵∠COD =∠AOH ，∴∠AHO =∠CDO =90°，∴AG ⊥CE ；(3)①当点G 在线段BE 上时，如图3―1，连接BD ，过点D 作DT ⊥BE 于点T ．∵3AD =2DG =6，3AB =2DE =12，∴AD =2，DG =3，AB =4，DE =6，∵∠A =∠EDG =90°，∴BD = AD 2+AB 2= 22+42=2 5，EG = DG 2+DE 2= 32+62=3 5，∵DT ⊥EG ，∴12⋅DE ⋅DG =12⋅EG ⋅DT ，∴DT =3×63 5=6 55，∴ET =DE 2―DT 2=12 55，BT =BD 2―DT 2=(25)2―(655)2=855，∴BE =ET +BT =4 5．②当点G在EB放延长线上时，如图3―2，同法可得BE=ET―BT=1255―855=455，综上所述，满足条件的BE的值为45或455．(1)证明△GDA≌△EDC(SAS)，即可求解；(2)根据两边对应成比例且夹角相等证明△GDA∽△EDC，即可求解；(3)①当点G在线段BE上时，如图3―1，利用勾股定理求出ET，TB即可；②当点G在EB的延长线上时，如图3―2，同法可解．本题是四边形综合题，涉及旋转的性质，矩形的性质，三角形全等和相似的性质和判定，勾股定理等知识，难度适中，其中(3)正确画图和分类讨论是解题的关键．16.【答案】EG=FH【解析】(1)证明：过点H作HN⊥BC交于N，过点G作GM⊥BA交于M，∵四边形ABCD是正方形，∴MG=HN，∵HF⊥EG，∴∠MGE=∠NHF，∴△HFN≌△GEM(ASA)，∴HF=EG；故答案为：HF=EG；(2)解：EG=2FH；理由：过点H作HQ⊥BC交于Q，过点G作GP⊥AB交于P，由(1)可得，∠QHF=∠PGE，∴△QHF∽△PGE，∴HF GE =HQPG，∵AB=a，BC=2a，∴PG=2a，HQ=a，∴HF GE =a2a=12；∴EG=2FH；(3)解：如图3，过点D作DS⊥BC于S，∴∠DSN=∠DSC=∠B=90°，∵∠DCS=60°，CD=4，∴DS=32CD=23，∵点M为AB的三等分点，AB=3，∴BM=2或BM=1，∵BC=4，∴CM=BC2+BM2=25或17，由(1)知△BCM∽△SDN，∴CM DN =BCSD，∴25DN =423或17DN=423，解得DN=15或512．(1)过点H作HN⊥BC交于N，过点G作GM⊥BA交于M，证明△HFN≌△GEM(ASA)即可求解；(2)过点H作HQ⊥BC交于Q，过点G作GP⊥AB交于P，由(1)可得△QHF∽△PGE；(3)如图3，过点D作DS⊥BC于S，根据垂直的定义得到∠DSN=∠DSC=∠B=90°，根据已知条件得到BM=2或BM=1，根据勾股定理得到CM=BC2+BM2=25或17，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．17.【答案】解：【问题发现】3；【操作探究】对，证明：∵MN⊥AC于点N，PQ⊥AC于点Q，AM=BP，∴∠ANM=∠AQP=∠C=90°，∵∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC，△APQ∽△ABC，∴MNBC =AMAB，PQBC=APAB，∵AP=AM+MP=BP+MP=MB，∴PQ BC =MBAB，∴MNBC +PQBC=AMAB+MBAB=ABAB=1，∴MN+PQ=BC，∵BCAB=sinA，∠A=α，AB=m，∴BC=AB⋅sinA=m⋅sinα，∴MN+PQ=m⋅sinα，∴MN+PQ的值为定值，MN+PQ=m⋅sinα．【解决问题】15．【解析】【分析】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．【问题发现】由∠ANM =∠AQP =∠C =90°，∠A =30°，得MN =12AM ，PQ =12AP =12(AM +PM)，而AM =BP ，则MN +PQ =12AM +12BM =12AB =3，于是得到问题的答案．【操作探究】由∠ANM =∠AQP =∠C =90°，∠A =∠A ，可证明△AMN ∽△ABC ，△APQ ∽△ABC ，得MN BC=AM AB ，PQ BC =APBC ，因为AP =AM +MP =BP +MP =MB ，则PQ BC =MB AB ，于是可推导出MN BC +PQ BC =AB AB=1，所以MN +PQ =BC =m ⋅sinα；【解决问题】连AC 交BC 于点O ，在BC 上截取BL =DM ，作LI ⊥BO 于点I ，由菱形的性质得BC =AB =AD =8，BO =DO =12BD =7，∠BOC =90°，可求得CO = BC 2―BO 2= 15，再由AD =BC ，AM =BN ，证明DM =CN ，再证明△BLI ≌△DME ，得LI =ME ，则BL =CN ，由∠BOC =90°，LI ⊥BO ，NF ⊥BO ，得LI +NF =CO = 15，则ME +NF = 15．【解答】解：【问题发现】∵MN ⊥AC 于点N ，PQ ⊥AC 于点Q ，∴∠ANM =∠AQP =∠C =90°，∵∠A =30°，∴MN =12AM ，PQ =12AP =12(AM +PM)，∵AM =BP ，∴PQ =12(BP +PM)=12BM ，∴MN +PQ =12AM +12BM =12AB ，∵AB =6，∴MN +PQ =12×6=3，故答案为：3．【操作探究】见答案；【解决问题】如图3，连AC 交BC 于点O ，在BC 上截取BL =DM ，作LI ⊥BO 于点I ，∵四边形ABCD 是菱形，AB =8，BD =14，∴BC =AB =AD =8，BO =DO =12BD =12×14=7，AC ⊥BD ，∴∠BOC =90°，∴CO = BC 2―BO 2= 82―72= 15，∵AD =BC ，AM =BN ，∴AD ―AM =BC ―BN ，∴DM =CN ，∵BC//AD ，∴∠LBI =∠MDE ，∵ME ⊥BD ，LI ⊥BO ，∴∠BIL =∠DEM =90°，在△BLI 和△DME 中，∠LBI =∠MDE∠BIL =∠DEM =90°BL =DM ,∴△BLI ≌△DME(AAS)，∴LI =ME ，∵AM =BN ，AD =BC ，∴DM =CN ，∴BL =CN ，∵∠BOC =90°，LI ⊥BO ，NF ⊥BO ，∴△BIL ∽△BFN ∽△BOC ，∴LI CO =BL BC ,NF CO =BN BC ，∴LI CO +NF CO =BL BC +BNBC ，即LI +NF CO =BL +BNBC=1，∴LI +NF =CO = 15，∴ME +NF = 15，故答案为： 15．18.【答案】(1)证明：如图①，BE 与MN 的交点记作点O ，由折叠知，∠BON =90°，∴∠CBE+∠BNM=90°，∵MH⊥BC，∴∠MHN=90°，∴∠HMN+∠BNM=90°，∴∠CBE=∠HMN，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=90°=∠BHM，∴四边形ABHM是矩形，∴AB=MH，∵BC=AB，∴BC=MH，在△EBC和△NMH中，∠C=∠BHMBC=MH∠CBE=∠HMN，∴△EBC≌△NMH(ASA)；(2)①证明：同(1)的方法得，∠C=∠BHM，∠CBE=∠HMN，∴△EBC∽△NMH；②解：设DE=x(x>0)，∵点E为CD的三等分点，Ⅰ、当CE=2DE时，∴CE=2x，CD=3x，∵BC=2BA，∴BC=6x，同①的方法得，四边形CDMH是矩形，∴MH=CD=3x，由①知，△EBC∽△NMH，∴EC NH =BCMH，∴2xNH =6x 3x，∴NH =x ，设AM =y(y >0)，同①的方法得，四边形AMHB 是矩形，∴BH =AM =y ，∴BN =x +y ，∴CN =BC ―BN =5x ―y ，由折叠知，EN =BN =x +y ，在Rt △ECN 中，根据勾股定理得，CN 2+CE 2=EN 2，∴(5x ―y )2+(2x )2=(x +y )2，∴y =73x 或x =0(舍)，∴AM =73x ，BN =x +y =103x ，∴AM BN =73x 103x =710，Ⅱ、当DE =2DE 时，同Ⅰ的方法得．AM BN=3137，即AMBN=710或3137．【解析】(1)根据同角的余角相等得出∠CBE =∠HMN ，再判断出四边形ABHM 是矩形，得出AB =MH ，进而判断出△EBC ≌△NMH ；(2)①同(1)的方法得，∠C =∠BHM ，∠CBE =∠HMN ，即可得出结论；②设DE =x(x >0)，Ⅰ、当CE =2DE 时，则CE =2x ，CD =3x ，BC =6x ，进而得出MH =CD =3x ，再根据△EBC ∽△NMH ，得出NH =x ，设AM =y(y >0)，表示出BH =AM =y ，BN =x +y ，CN =BC ―BN =5x ―y ，再根据勾股定理得，CN 2+CE 2=EN 2，建立方程得出y =73x 或x =0(舍)，Ⅱ、当DE =2CE 时，同Ⅰ的方法，即可求出答案．此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理得出y =73x 是解本题的关键．19.【答案】解：(1)3．(2)由(1)得：AC′=3，∴BC′=AB ―AC′=2，由折叠的性质得：C′E =CE ，设BE =x ，则C′E =CE =4―x ，在Rt △BEC′中，BE 2+BC′2=C′E 2，即x 2+22=(4―x )2，解得x =32，即BE =32，CE =4―32=52，连接EE′，如图所示：由平移的性质得：E′E =BC′=2，EE′//AB//CD ，D′E′//DE ，∴△FEE′∽△FCD′∽△ECD ，∴EF EE′=CE CD =525=12，∴EF =12EE′=1．(3)45或195．【解析】【分析】本题考查四边形综合，矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、平移的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．(1)由矩形的性质得∠A =90°，AB =CD =5，BC =AD =4，再由折叠的性质得C′D =CD =5，然后由勾股定理求解即可；(2)由折叠的性质得C′E =CE ，设BE =x ，则C′E =CE =4―x ，在Rt △BEC′中，由BE 2+BC′2=C′E 2求出BE =32，CE =52，连接EE′，根据相似三角形的判定可得△FEE′∽△FCD′∽△ECD ，即可求解；(3)分类讨论：当C″在AB 内(B 的左侧)时，连接EE′，根据相似三角形的判定和性质可得E′E E′Q =45，根据平移的性质和等角对等边的性质可得PQ =QE′=1，即可求得；当C″在射线AB 上(B 的右侧)时，连接EE′，根据相似三角形的判定和性质可得CD′=2CP ，CD′=34CQ ，求解可得CP =35，即可求得．【解答】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠B =90°，AB =CD =5，BC =AD =4，由折叠的性质得：C′D =CD =5，∴AC′= C′D 2―AD 2= 52―42=3，故答案为：3．(2)见答案．(3)当C″在AB 内(B 的左侧)时，连接EE′，如图所示：由平移的性质得：E′E =C′C″，EE′//AB ，C″E′//C′E ，∴△QEE′∽△QBC″∽△EBC′，∴E′E E ′Q =C′B C ′E =252=45，∵∠CPD′=∠EPE′=∠CED =∠D′E′Q ，∴PQ =QE′=1，∴E′E =45E′Q =45；当C″在射线AB 上(B 的右侧)时，连接EE′，如图，由平移的性质得：E′E =DD′，DE//D′E ，DC′//D′C″，∴△CD′P ∽△CDE ，△CD′Q ∽△AC′D ，。

2024河南中考数学一轮知识点训练复习专题相似三角形 (课件)

求的长.
[答案] 设 = = ,得 = − , = + .
在 △ 中，由勾股定理,得 −
解得 =
∴ =

，

.

+ = +

，
考点3 相似三角形的应用
[2023郑州二模] 凸
13.
透镜成像的原理如图所示, //// .若缩小
；使边落在边上，点落在点处，
折痕为．若矩形与原矩形相似， = 1 ，则的长为
+
________.
12.[2023浙江杭州] 如图，在边长为1的正方形中，点
在边上（不与点，重合），连接 ,分别延长
∵ = ， ∠ = ∘ , =
∴ =

= ， = =
，
， ∴ = .
∵ ∠ = ∠ ， ∠ = ∠ = ∘ ，
∴△ ∼△ , ∴

=

=

= .
设 = ，则 = ， ∴ =
到 △ ，连接， .当旋转角满足 0∘ < < 360∘ ，点 , , 在
同一直线上时，利用所提供的备用图探究 ∠ 与 ∠ 的数量关系，并说
明理由.
[答案] 当点，，在同一条直线上，且点在线段上时，如图
（2）， ∠ + ∠ = ∘ .理由如下：
1
，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，
2
两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结

2024河南中考数学专题复习全等、相似三角形的性质与判定课件

已知三角形的两条边相等，需证明夹角相等
SAS
)
2016 22 解答题 10
已知三角形的两条边相等，需证明夹角相等
SAS
2015 17(1) 解答题 5 已知三角形的一条边相等，需证明另外一条边和夹角相等 SAS
【考情总结】1. 除2015和2023年外，每年都会在压轴题涉及考查；2. 其中2017，2019，2020，2023年
边为角的邻边找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS
找夹边→ASA 3.已知两角找其中一角的对边→AAS
全等模型分析平移型旋转型
一题串讲重难点
对称型
有公共边有公共顶点
(1)找等边：公共边、中点、等底角、相等边、通过线段和差关系解题得对应边相等；思路 (2)找等角：公共角、对顶角、垂直找直角、等腰得等角、平行线
形全等(SSS)(基本事实) 三角形相似
一条直角边和斜边一条直角边与斜边分别相
成比例的两个直角等的两个直角三角形全等
三角形相似(使用 (HL)
时需证明)
全等判定思路
1.已知两边
找夹角→SAS 找直角→HL或SAS 找第三边→SSS
2.已知一边和一角
边为角的对边→找另一角→AAS 找夹角的另一边→SAS
每年涉及2道题考查全等三角形的证明与性质．
命题点2 相似三角形的性质与判定(9年9考)
课标要求
1. 通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比； 2. 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 3. 了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．*了解相似三角形判定定理的证明； 4. 了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方； 5. 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．

中考数学复习专题综合过关检测—图形的相似与位似(含解析)

中考数学复习专题综合过关检测—图形的相似与位似（含解析）（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1．若，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵，∴设x＝10k，y＝7k，∴＝＝＝，故选：C．2．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，AB＝6，则＝（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AD＝2，AB＝6，∴DB＝AB﹣AD＝4，∴＝＝，故选：C．3．如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵DF∥AC，∴＝，所以A选项错误；∵DE∥BC，∴＝，所以C选项错误；而＝，∴＝，∵DE∥CF，DF∥CE，∴四边形DECF为平行四边形，∴CF＝DE，∴＝，即＝，所以B选项错误；∵DE∥BC，∴＝，即＝，所以D选项正确．故选：D．4．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：3B．2：3C．4：5D．1：9【答案】D【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴AB：DE＝OA：OD＝1：3，∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，故选：D．5．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°，∴△DEC∽△ABC，故A不符合题意；B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，∴△CDE∽△CBA，故B不符合题意；C、由图形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3，∵，，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC，故C不符合题意；D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似，故D符合题意，故选：D．6．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小明与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为12m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【答案】C【解答】解：如图，由题意得，AB＝1.6m，BC＝2m，CD＝12m，根据镜面反射可知：∠ACB＝∠ECD，∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∴△ACB∽△ECD，∴，即，∴ED＝9.6（m），故选：C．7．在三角形ABO中，已知点A（﹣6，3），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，则点A的对称点A′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】D【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标为（﹣6，3），∴点A的对称点A′的坐标为（﹣6×，3×）或（6×，﹣3×），即（﹣2，1）或（2，﹣1），故选：D．8．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，点D是边AB上一点，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P 两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（）A．4B．C．D．5【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BDP+∠BPD＝180°﹣∠B＝120°，∵∠DPE＝60°，∴∠BPD+∠CPE＝120°，∴∠BDP＝∠CPE，∵∠B＝∠C＝60°，∴△BDP∽△CPE；∴，∴，∴BP2﹣6BP+2a＝0，∵满足条件的点P有且只有一个，∴方程BP2﹣6BP+2a＝0有两个相等的实数根，∴△＝62﹣4×2a＝0，∴a＝．故选：C．9．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形A BCD相似，AD＝1，则CD的长为（）A．﹣1B．﹣1C．+1D．+1【答案】C【解答】解：设HG＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，由折叠得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，∴四边形ADHE是矩形，∵AD＝DH，∴四边形ADHE是正方形，∴AD＝HE＝1，∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1，经检验：x＝﹣1或x＝﹣﹣1都是原方程的根，∵GH＞0，∴GH＝﹣1，∴DC＝2+x＝+1，故选：C．10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接D F，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为3；③CF2＝GE•AE；④S△ADM＝6．其中正确的是（）A．①②B．②③④C．①③④D．①③【答案】D【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，∵BF＝CE，∴BC﹣BF＝DC﹣CE，即CF＝DE，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠DAE+∠ADG＝90°，∴∠AGD＝90°，∴∠AGM＝90°，∴∠AGM＝∠AGD，∵AE平分∠CAD，∴∠MAG＝∠DAG，又AG为公共边，∴△AGM≌△AGD（ASA），∴GM＝GD，又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，∴AE垂直平分DM，故①正确；②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即DO⊥AM，∵AE垂直平分DM，∴HM＝HD，当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，此时PM+PN＝HM+HO＝HD+HO＝DO，即PM+PN的最小值是DO的长，∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝BD＝，∴，即PM+PN的最小值为，故②错误；③∵AE垂直平分DM，∴∠DGE＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠DGE＝∠ADE，又∵∠DEG＝∠AED，∴△DGE∽△ADE，∴，即DE2＝GE•AE，由①知CF＝DE，∴CF2＝GE•AE，故③正确；④∵AE垂直平分DM，∴AM＝AD＝4，又，∴，故④错误；综上，正确的是：①③，故选：D．二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。

2024年河南省中考真题数学试卷含答案解析

2024年河南省中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，数轴上点P表示的数是（）A．1-B．0C．1D．2【答案】A【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为1-，从而求解．【详解】解：根据题意可知点P表示的数为1-，故选：A．2．据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示为（）A．8⨯D．12⨯0.5784105.78410⨯C．11⨯B．105784105.784103．如图，乙地在甲地的北偏东50︒方向上，则∠1的度数为（）A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．30︒【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案．【详解】解：如图，由题意得，50BAC ∠=︒，AB CD ∥，∴150BAC ∠=∠=︒，故选：B ．4．信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，根据主视图的定义求解即可．从正面看，在后面的部分会被遮挡，看见的为矩形，注意有两条侧棱出现在正面．【详解】解：主视图从前往后看（即从正面看）时，能看得见的棱，则主视图中对应为实线，且图形为矩形，左右两边各有一个小矩形；故选A ．5．下列不等式中，与1x ->组成的不等式组无解的是（）A ．2x >B ．0x <C ．<2x -D ．3x >-【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可．【详解】根据题意1x ->，可得1x <-，A 、此不等式组无解，符合题意；B 、此不等式组解集为1x <-，不符合题意；C 、此不等式组解集为<2x -，不符合题意；D 、此不等式组解集为31x -<<-，不符合题意；故选：A6．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为OC 的中点，EF AB ∥交BC 于点F ．若4AB =，则EF 的长为（）A ．12B ．1C ．43D ．2故选：B ．7．计算3···a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 个的结果是（）A ．5a B ．6a C ．3a a +D ．3aa 【答案】D 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案．【详解】解：()()333···a a a a a a a a == 个，故选D8．豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（）A ．19B ．16C ．15D ．13【答案】D【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．【详解】解：把3张卡片分别记为A 、B 、C ，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，9．如图，O 是边长为ABC 的外接圆，点D 是 BC的中点，连接BD ，CD ．以点D 为圆心，BD 的长为半径在O 内画弧，则阴影部分的面积为（）A ．8π3B ．4πC ．16π3D ．16π∵O 是边长为43∴43B C =，A ∠=∴120BDC ∠=︒，∵点D 是 BC的中点，10．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I 与使用电器的总功率P 的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q 与I 的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（）A ．当440W P =时，2A I =B ．Q 随I 的增大而增大C ．I 每增加1A ，Q 的增加量相同D ．P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．【详解】解∶根据图1知：当440W P =时，2A I =，故选项A 正确，但不符合题意；根据图2知：Q 随I 的增大而增大，故选项B 正确，但不符合题意；根据图2知：Q 随I 的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C 错误，符合题意；根据图1知：I 随P 的增大而增大，又Q 随I 的增大而增大，则P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多，故选项D 正确，但不符合题意；故选：C ．二、填空题11．请写出2m 的一个同类项：．【答案】m （答案不唯一）【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案．【详解】解：2m 的一个同类项为m ，故答案为：m12．2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为分．【答案】9【分析】本题考查了众数的概念，解题的关键是熟知相关概念，出现次数最多的数叫做众数．根据众数的概念求解即可．【详解】解：根据得分情况图可知：9分数的班级数最多，即得分的众数为9．故答案为：9．13．若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()20-，，点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，，则点E 的坐标为．【答案】()3,10【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，先判断四边形AOGD 是矩形，得出OG AD a ==，DG AO =，90EGF ∠=︒，根据折叠的性质得出BF BC a ==，CE FE =，在Rt BOF △中，利用勾股定理构建关于a 的方程，求出a 的值，在Rt EGF 中，利用勾股定理构建关于CE 的方程，求出CE 的值，即可求解．【详解】解∶设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，则四边形AOGD 是矩形，∴OG AD a ==，DG AO =，90EGF ∠=︒，∵折叠，∴BF BC a ==，CE FE =，∵点A 的坐标为()20-，，点F 的坐标为()06，，∴2AO =，6FO =，∴2BO AB AO a =-=-，在Rt BOF △中，222BO FO BF +=，∴()22226a a -+=，解得10a =，∴4FG OG OF =-=，8GE CD DG CE CE =--=-，在Rt EGF 中，222GE FG EF +=，∴()22284CE CE -+=，解得5CE =，∴3GE =，∴点E 的坐标为()3,10，故答案为：()3,10．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．15．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA CB ==，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E ．若1CD =，则AE 的最大值为，最小值为 .则CD AE ⊥，∴90ADE CDE ∠=∠=︒，∴222231AD AC CD =-=-∵ AC AC =，∴45CED ABC ==︒∠∠，∵90CDE ∠=︒，则CD AE ⊥，∴90CDE ∠=︒，∴222231AD AC CD =-=-=∵四边形ABCE 为圆内接四边形，∴180135CEA ABC =︒-=︒∠∠，∴18045CED CEA =︒-=︒∠∠，∵90CDE ∠=︒，三、解答题16．（1(01；（2）化简：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭．【答案】（1）9（2）2a +【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是：17．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．技术统计表队员平均每场得分平均每场篮板平均每场失误甲26.582乙26103根据以上信息，回答下列问题．(1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分．(2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．(3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误()1⨯-，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．18．如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点A ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．(3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．（3）解：∵()6,4E 向左平移后，E 在反比例函数的图象上，∴平移后点E 对应点的纵坐标为4，当4y =时，64x=，解得32x =，∴平移距离为39622-=．故答案为：9．19．如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，∥B E DC 交AC 的延长线于点E ．(1)请用无刻度的直尺和圆规作ECM ∠，使ECM A ∠=∠，且射线CM 交BE 于点F （保留作图痕迹，不写作法）．(2)证明（1）中得到的四边形CDBF 是菱形【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：（2）证明：∵ECM A ∠=∠∴CM AB ∥，∵∥B E DC ，∴四边形CDBF 是平行四边形，∵在Rt ABC △中，CD 是斜边20．如图1，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置．当点B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A ，B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2），在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时APB ∠为最大视角．(1)请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠．(2)经测量，最大视角APB ∠为30︒，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒，点P 到塑像的水平距离PH 为6m ．求塑像AB 的高（结果精确到0.1m 1.73≈）．则AMB APB ∠=∠．∵AMB ADB ∠>∠，∴APB ADB ∠>∠．（2）解：在Rt AHP 中，APH ∠∵tan AH APH PH∠=，答：塑像AB的高约为6.9m．21．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下．(1)若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？【答案】(1)选用A种食品4包，B种食品2包(2)选用A种食品3包，B种食品4包【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质”列方程组求解即可；（2）设选用A种食品a包，则选用B种食品()7-a包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于90g”列不等式求解即可．【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得7009004600, 101570.x yx y+=⎧⎨+=⎩解方程组，得4,2. xy=⎧⎨=⎩答：选用A种食品4包，B种食品2包．（2）解：设选用A种食品a包，则选用B种食品()7-a包，根据题意，得()1015790a a +-≥．∴3a ≤．设总热量为kJ w ，则()70090072006300w a a a =+-=-+．∵2000-<，∴w 随a 的增大而减小．∴当3a =时，w 最小．∴7734a -=-=．答：选用A 种食品3包，B 种食品4包．22．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度()m h 满足关系式205h t v t =-+，其中()s t 是物体运动的时间，()0m /s v 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后_________s 时离地面的高度最大（用含0v 的式子表示）．(2)若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度．(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s ．”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．23．综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．(1)操作判断用分别含有30︒和45︒角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．(2)性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形ABCD 是邻等对补四边形，AB AD =，AC 是它的一条对角线．①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC m =，DC n =，2BCD θ∠=，求AC 的长（用含m ，n ，θ的式子表示）．(3)拓展应用如图3，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =，4BC =，分别在边BC ，AC 上取点M ，N ，使四边形ABMN 是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN 的长．∵四边形ABCD 是邻等对补四边形，∴180ABC D ∠+∠=︒，∵180ABC ABE ∠+∠=︒，∴ABE D ∠=∠，∵AE AC =，∴()()1112222m n CF CE BC BE BC DC +==+=+=，∵2BCD θ∠=，∴ACD ACB θ∠=∠=，∴22218AM AB BM =+=，在Rt AMN 中22MN AM AN =-在Rt CMN 中22MN CM CN =-∴()()22218435AN AN -=---∵AM AM =，∵90MNC ABC ∠=∠=︒，C ∠∴CMN CAB ∽△△，∴CN MN BC AB=，即543CN CN -=解得20CN =，∵AM AM =，∴Rt Rt ABM ANM ≌，∴AN AB =，故不符合题意，舍去；。

2025年河南九年级中考数学一轮复习课件：课时20相似三角形

FD＝2，则
BE EC
3 的值为____2____．
第1题图
2．如图，五线谱是由五条等距离的平行横线组成的，同一条直线
上的三个点A，B，C都在横线上．若AB＝6，则线段BC的长是( B )
A．4
B．3
C．2
D．1
第2题图
考点2 相似三角形的判定及性质(8年8考)
3．如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽
2．相似三角形的判定
判定方法
图形
两角分别相等的两个三角形相似
三边成比例的两个三角形相似
几何语言
∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′
∵AA′BB′ ＝BB′CC′ ＝CC′AA′ ， ∴△ABC∽△A′B′C′
判定方法
两边成比例且夹角⑥__相__等____
的两个三角形相似
1.确定位似中心
2.确定原图形中的关键点关于位似中心的
利用位似将一个图形放大或缩小，其步骤为
对应点
3.描出新图形
8.在平面直角坐标系中，已知点E(－6，3)，F(－2，－2)，以
原点O为位似中心，将△EFO缩小为△E′F′O，其相似比为3，则点E的对应点E′的坐标为_(－__2_，__1_)_或__(_2_，__－__1_) ．
题9，1分
题9，1分
性质
题23，3分
题20(2)，1分题23，3分
Байду номын сангаас位似
2022版新课标重要变化
①在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上)(删除)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的

数学知识点【河南中考面对面】届中考数学总复习 4.2 三角形及其性质课堂过关检测(pdf)【含解析】

若ＢＤ＝ＣＤ，ＤＥ，ＤＥ＝２，则ＡＢ的长度是 ∠Ｂ＝ ∠Ｃ（㊀㊀）考点三Ａ．４Ｂ．５Ｃ．６Ｄ．７㊀㊀㊀第３题图第４题图．（新人教八上Ｐ习题第１题改编）如图，ＣＢ＝ ∠Ａ４１４
９．２３㊀【解析】 ȵ∠Ａ＝３０ ʎ ，９０ ʎ ， ʑ∠ＡＣＢ＝１８０ ʎ －３０ ʎ －９０ ʎ ＝ ∠Ｂ＝槡６０ ʎ ， ȵＤＥ垂直平分斜边ＡＣ， ʑＡＤ＝ＣＤ，ＣＤ＝３０ ʎ ， ∠Ａ＝∠Ａ ʑ∠ＤＣＢ＝６０ ʎ －３０ ʎ ＝３０ ʎ ， ȵＢＤ＝１， ʑＣＤ＝２＝ＡＤ， ʑＡＢ＝１＋２＝，在ＲｔＣＤ中，由勾股定理得：ＣＢ＝３，在ＲｔＢＣ中，由勾股定３ △Ｂ △Ａ槡
１．在 △ＡＢＣ中，２０ ʎ ，６０ ʎ ，则 △ＡＢＣ的形 ∠Ａ＝ ∠Ｂ＝状是（㊀㊀）Ａ．等边三角形㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．锐角三角形Ｃ．直角三角形Ｄ．钝角三角形考点一２．已知三角形两边的长分别是４和１０，则此三角形第三边的长可能是（㊀㊀）Ａ．５㊀㊀㊀Ｂ．６㊀㊀㊀Ｃ．１１㊀㊀㊀Ｄ．１６考点二３．如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ、Ｅ两点分别在ＢＣ、ＡＣ边上．
，若 ∠Ｂ＝３０ ʎ ，０ ʎ ，则 ∠ＢＡＣ＝ ∠Ｅ＝２长线于点Ｅ㊀㊀㊀㊀．考点二㊀㊀㊀第７题图第８题图．如图，ＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，若 ∠Ｂ＝５０ ʎ ，则 ∠Ａ＝ △Ａ８考点四㊀㊀㊀㊀．９．如图，在ＲｔＢＣ中，３０ ʎ ，ＤＥ垂直平分斜边 △Ａ ∠Ａ＝Ｃ，交ＡＢ于Ｄ，Ｅ为垂足，连接ＣＤ，若ＢＤ＝１，则Ａ考点四Ｃ的长是㊀㊀㊀㊀．Ａ㊀㊀㊀第９题图第１０题图１０．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤＣ，垂足为点Ｄ，Ｅ ⊥Ｂ是ＡＣ的中点．若ＤＥ＝５，则ＡＢ的长为㊀㊀㊀㊀．考点四

河南版中考数学第四节相似三角形(含相似多边形)

第四节　相似三角形(含相似多边形)A 组　基础题组一、选择题1.(2017重庆A 卷)若△ABC ∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为( ) A.3∶2B.3∶5C.9∶4D.4∶92.(2018河南许昌一模)如图,四边形ABCD 是平行四边形,点E 在BA 的延长线上,点F 在BC 的延长线上,连接EF,分别交AD,CD 于点G,H,则下列结论错误的是( )A.=B.=EA BE EG EFEG GH AG GD C.= D.=AB AE BC CF FH EH CF AD 3.(2018浙江杭州)如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,DE ∥BC,与边AC 交于点E,连接BE.记△ADE,△BCE 的面积分别为S 1,S 2( )A.若2AD>AB,则3S 1>2S 2B.若2AD>AB,则3S 1<2S 2C.若2AD<AB,则3S 1>2S 2D.若2AD<AB,则3S 1<2S 24.(2018河南周口一模)如图,△ABC 中,AD 是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC 的长为( )A.4B.42C.6D.435.(2017河南郑州一模)如图,点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上,射线CF 交DA 的延长线于点E,在不添加辅助线的情况下,与△AEF 相似的三角形有( )A.0个B.1个C.2个D.3个6.(2017山东东营)如图,把△ABC 沿BC 方向平移到△DEF 的位置,它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半,若BC=,则△ABC 移动的距离是( )3A. B.3233C. D.-623627.(2016四川达州)如图,在△ABC 中,BF 平分∠ABC,AF ⊥BF 于点F,D 为AB 的中点,连接DF 并延长交AC 于点E.若AB=10,BC=16,则线段EF 的长为( )A.2B.3C.4D.58.(2016四川南充)如图,正五边形的边长为2,连接对角线AD,BE,CE,线段AD 分别与BE 和CE 相交于点M,N.给出下列结论:①∠AME=108°;②AN 2=AM·AD;③MN=3-;④S △EBC =2-1.其中正确结论的个55数是( )A.1B.2C.3D.49.(2018重庆B 卷)制作一块3 m×2 m 长方形广告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是( )A.360元B.720元C.1 080元D.2 160元二、填空题10.(2017河南开封一模)如图,在△ABC 中,=,DE ∥AC,则DE ∶AC= . BC EC 8311.(2017山东潍坊)如图,在△ABC 中,AB≠AC,D 、E 分别为边AB 、AC 上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F 为BC 边上一点,添加一个条件: ,可以使得△FDB 与△ADE 相似.(只需写出一个)12.(2017广东深圳)如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt △MPN 中,∠MPN=90°,点P 在AC 上,PM 交AB 于点E,PN 交BC 于点F,当PE=2PF 时,AP= .三、解答题13.(2017浙江杭州)如图,在锐角三角形ABC 中,点D,E 分别在边AC,AB上,AG ⊥BC 于点G,AF ⊥DE 于点F,∠EAF=∠GAC.(1)求证:△ADE ∽△ABC;(2)若AD=3,AB=5,求的值.AF AGB组　提升题组解答题1.(2016湖北武汉)在△ABC中,P为边AB上一点.(1)如图1,若∠ACP=∠B,求证:AC2=AP·AB;(2)若M为CP的中点,AC=2.①如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长;②如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长.图1图2图32.(2016浙江宁波)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线;(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数;2(3)如图2,在△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形.求完美分割线CD的长.3.(2017湖南岳阳)问题背景:已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上(不与A,B重合),DE交AC所在直线于点M,DF交BC所在直线于点N,记△ADM的面积为S1,△BND的面积为S2.(1)初步尝试:如图1,当△ABC是等边三角形,AB=6,∠EDF=∠A,且DE∥BC,AD=2时,则S1S2= ;(2)类比探究:在(1)的条件下,先将点D沿AB平移,使AD=4,再将∠EDF绕点D旋转至如图2所示位置,求S1S2的值;(3)延伸拓展:当△ABC是等腰三角形时,设∠B=∠A=∠EDF=α.(i)如图3,当点D在线段AB上运动时,设AD=a,BD=b,求S1S2的表达式(结果用a,b和α的三角函数表示);(ii)如图4,当点D在BA的延长线上运动时,设AD=a,BD=b,直接写出S1S2的表达式,不必写出解答过程.答案精解精析A 组　基础题组一、选择题1.A 相似三角形对应高的比等于相似比,所以选A.2.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BF,BE ∥DC,AD=BC,∴=,=,==,EA BE EG EF EG GH AG GD HF EH FC BC CF AD 故选C.3.D 由平行线分线段成比例知=,AE EC AD DB 当AD=BD 时,AE=EC,则DE 为△ABC 的中位线,此时=,即3S 1=S 四边形BDEC ,S △ADE S 四边形BDEC 13∵DE 为△ABC 的中位线,∴E 为AC 的中点,易得S △BEC =S △BAE ,∴2S 2=S △ABC ,∴2S 2>3S 1.∴当2AD<AB 时,AE<CE,S 1变小,S 2变大,一定有2S 2>3S 1;当2AD>AB 时,AE>CE,S 1变大,S 2变小,不能确定2S 2<3S 1,故选D.4.B ∵AD 是中线,BC=8,∴CD=BC=4.12在△CBA 和△CAD 中,∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,∴△CBA ∽△CAD,∴=,AC BC CD AC 即=,AC 84AC ∴AC 2=4×8=32,∴AC=4.故选B.25.C ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC,AB ∥DC,∴△AEF ∽△BCF,△AEF ∽△DEC,∴与△AEF 相似的三角形有2个,故选C.6.D ∵△ABC 沿BC 方向平移到△DEF 的位置,∴AB ∥DE,∴△ABC ∽△HEC.∴==.S △HEC S △ABC (EC BC)212∴EC ∶BC=1∶,2∵BC=,∴EC=,362∴BE=BC-EC=-.故选D.367.B ∵AF ⊥BF,∴∠AFB=90°,∵AB=10,D 为AB 的中点,∴DF=AB=AD=BD=5.12∴∠ABF=∠BFD.又∵BF 平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.∴∠CBF=∠DFB,∴DE ∥BC,∴△ADE ∽△ABC,∴=,即=,DE BC AD AB DE 16510解得DE=8.∴EF=DE-DF=3,故选B.8.C 如图,∵五边形ABCDE 是正五边形,∴AB=EA=DE,∠EAB=∠DEA=108°,∴△EAB ≌△DEA,∴∠2=∠5,∵∠AME=∠MED+∠5,∴∠AME=∠MED+∠2=∠DEA=108°,故①正确;易得∠1=∠2=∠4=∠5=36°,∴∠3=36°,∴∠6=∠AEN=72°,∴AE=AN,∵∠1=∠1,∠AME=∠AED=108°,∴△AEM ∽△ADE,∴=,∴AE 2=AM·AD,AE AD AM AE ∴AN 2=AM·AD,故②正确;设AM=x,则AD=AM+MD=x+2,由②得22=x(x+2),解得x 1=-1,x 2=--1(不符合题意,舍去),∴AD=-1+2=+1,5555∴MN=AN-AM=3-,故③正确;5作EH ⊥BC 于点H,则BH=BC=1,EB=AD=+1,125∴EH==,BE 2-B H 25+25∴S △EBC =BC·EH=×2×=,故④错误.故选C.12125+255+259.C ∵3 m×2 m=6 m 2,∴长方形广告牌的成本单价是120÷6=20元/m 2.又由题意可知扩大后的长方形广告牌与原广告牌是相似图形且四边都扩大为原来的3倍,∴扩大后长方形广告牌的成本是6×32×20=1 080元.故选C.二、填空题10.答案　5∶8解析　在△ABC 中,DE ∥AC,∴△BDE ∽△BAC,∴=.BE BC DEAC ∵=,∴=,∴=.BC EC 83BE BC 58DE AC 5811.答案　∠A=∠BDF ∠A=∠BFD 或∠ADE=∠BFD 或∠ADE=∠BDF 或DF ∥AC 或=或=BD AE BF ED BD DE BF AE解析　∵AC=3AD,AB=3AE,∴==,又AD AC AE AB 13∵∠A=∠A,∴△ADE ∽△ACB,∴∠AED=∠B.故要使△FDB 与△ADE 相似,只需再添加一组对应角相等,或夹角的两边成比例即可.12.答案　3解析　如图,作PQ ⊥AB 于Q,PR ⊥BC 于R.∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°,∴四边形PQBR 是矩形,∴∠QPR=90°=∠MPN.∴∠QPE=∠RPF.∴△QPE ∽△RPF.∴==2.∴PQ=2PR=2BQ.PQ PR PE PF ∵PQ ∥BC,∴AQ ∶QP ∶AP=AB ∶BC ∶AC=3∶4∶5.设PQ=4x(x>0),则AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,∴2x+3x=3,∴x=,∴AP=5x=3.故答案为353.三、解答题13.解析　(1)证明:因为AF ⊥DE,AG ⊥BC,所以∠AFE=90°,∠AGC=90°,所以∠AEF=90°-∠EAF,∠C=90°-∠GAC,又因为∠EAF=∠GAC,所以∠AEF=∠C,又因为∠DAE=∠BAC,所以△ADE ∽△ABC.(2)因为△ADE ∽△ABC,所以∠ADE=∠B,又因为∠AFD=∠AGB=90°,所以△AFD ∽△AGB,所以=,AF AG AD AB 又因为AD=3,AB=5,所以=.AF AG 35B 组　提升题组解答题1.解析　(1)证明:∵∠ACP=∠B,∠A=∠A,∴△ACP ∽△ABC.∴=,∴AC 2=AP·AB.AC AP AB AC (2)①延长PB 至点D,使BD=PB,连接CD.∵M 为CP 中点,∴CD ∥MB.∴∠D=∠PBM,∵∠PBM=∠ACP,∴∠D=∠PBM=∠ACP.∴△ACP ∽△ADC,∴AC 2=AP·AD.设BP=x,则22=(3-x)(3+x).解得x=(舍去负根),即BP=.552.解析　(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC 不是等腰三角形,∵CD 平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°.12∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD 为等腰三角形.∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD ∽△BAC.∴CD 是△ABC 的完美分割线.(2)当AD=CD 时(如图1),∠ACD=∠A=48°.∵△BDC ∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.当AD=AC 时(如图2),∠ACD=∠ADC==66°.180°-48°2∵△BDC ∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.当AC=CD 时(如图3),∠ADC=∠A=48°.∵△BDC ∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ADC=∠BCD,其与∠ADC>∠BCD 矛盾,舍去.∴∠ACB=96°或114°.(3)由题意知AC=AD=2,∵△BCD ∽△BAC,∴=,BC BA BD BC 设BD=x,∴()2=x·(x+2),2解得x=-1±,3∵x>0,∴x=-1.3∵△BCD ∽△BAC,∴==,CD AC BD BC 3-12∴CD=×2=×(-1)=-.3-1223623.解析　(1)12.∵△ABC 是等边三角形,∴AB=CB=AC=6,∠A=∠B=60°.∵DE ∥BC,∠EDF=∠A=60°,∴∠BND=∠EDF=60°.∴∠BDN=∠ADM=60°.∴△ADM,△BDN 都是等边三角形,∴S 1=×22=,S 2=×42=4.3333∴S 1S 2=12.(2)设AM=x,BN=y.∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD,∠MDN=∠A,∴∠AMD=∠NDB.∵∠A=∠B,∴△AMD ∽△BDN.∴=.AM BD AD BN ∴=.∴xy=8.x 24y ∵S 1=AD·AMsin 60°=x,S 2=DB·BNsin 60°=y,∴S 1S 2=x·y=xy=12.1231233332(3)(i)设AM=x,BN=y.易证△AMD ∽△BDN,可得xy=ab.∵S 1=AD·AMsin α=axsin α,1212S 2=DB·BNsin α=bysin α,1212∴S 1S 2=(ab)2sin 2α.14(ii)S 1S 2=(ab)2sin 2α.14。

2024年九年级数学中考必刷题：二次函数中的相似三角形问题专项特训(含答案)

2024年九年级数学中考必刷题：二次函数中的相似三角形问题专项特训(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线交轴于点，点为线段下方抛物线上的一点，过点作轴交直线于点，在直线上取点，连接，使得的最大值及此时点的坐标；(3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后新抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，连接，直接写出所有使得的点的横坐标．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接，在y 轴的负半轴是否存在点Q ，使得？若存在，求Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．CD x ()2,0D P AC PH y ∥CD H CD Q PQ HQ PQ =524PQ PH -P BC 214y x bx c =++BC 25M MN x N AM AMN ABC ∽ M AC 12OQC OAC ∠∠=(1)如图1，当，时，求的值；(2)如图2，当时，过点作直线的垂线交轴于点，求坐标；(3)如图3，当时，平移直线，使之与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，求证：．4．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴分别交于(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接交于点E ，求(3)如图2，连接，过点O 作直线，点P ，Q 分别为直线点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线1a =1k =b 12a =A l y T T 1k =l C M N ，P y Q MQP NQP ∠=∠xOy 23y ax ax c =-+(1,0)A -AD BC ，AC BC ，l BC ∥PQB CAB ∽()1,2A ()5,0B 22y ax =-(1)求点C 的坐标和直线的表达式；(2)设抛物线分别交边①若与相似，求抛物线表达式；②若是等腰三角形，则a 的值为6．如图，抛物线经过(1)求抛物线的解析式：(2)点为第四象限抛物线上一动点，点横坐标为．①如图1，若时，求的值：②如图2，直线与抛物线交于点，连接(1)求抛物线的解析式；AB 22(0)y ax ax a =->CDB △BOA △OAE △2y x mx n =++C C BC 90ACB ∠=︒t BD E(1)若，．①如图1，求点A 、B 、C 和点P 的坐标；②如图2，当时，求点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为，且，当标．(1)求点、、的坐标；(2)连接，抛物线的对称轴、为顶点的三角形与理由．2b =3c =3105MN =,03c ⎛⎫- ⎪⎝⎭PM BC ∥93102AN MN +=A B C BC C D(1)求抛物线的解析式及点C 的坐标；(2)求证：是直角三角形；(3)若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作轴与抛物线交于点M ，则是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P 在抛物线上．(1)求a 的值；(2)直线与抛物线，分别交于点A ，B ，若的最大值为3，请求出m 的值；(3)Q 是x 轴的正半轴上一点，且的中点M 恰好在抛物线上．试探究：此时无论m 为何负值，在y 轴的负半轴上是否存在定点G ，使总为直角？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，二次函数经过点、，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线分别交抛物线和直线于点E 和点F ．设点P 的横坐标为m ．ABC MN x ⊥O M N ，，ABC xOy ()()221:20C y x m m m =--+<22:C y ax =()x t t m =>1C 2C AB PQ 2C PQG ∠2y x bx c =-++()40A ，()02B ，AB(1)求二次函数的表达式；(2)若E 、F 、P 三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求m 的值．(3)点P 在线段上时，若以B 、E 、F 为顶点的三角形与相似，求m 的值．13．如图，已知二次函数的图象经过，两点．(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与轴的另一个交点为，它的顶点为，连接，，，．请你判断与是否相似，并说明理由；(3)当时，求此二次函数的最大值和最小值．14．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，．OA FPA V 2y x bx c =-++()1,0A -()0,3B 2y x bx c =-++x C D AB BC BD CD BCD △OBA △03x ≤≤y 21:3C y ax bx =++x ,A B y C 3OB OC OA ==(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，，求点的坐标；(3)如图3，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，点在抛物线上，过点作分别交抛物线于两点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．15．在平面直角坐标系中，点B 从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向运动．是等腰直角三角形，其中，，点C 在第一象限，过C 作轴，垂足为D ，连接交于E ，设运动时间为秒．(1)证明：≌；(2)当与相似时，求t 的值；(3)在（2）条件下，抛物线m 经过A ，B ，D 三点，请问在抛物线m 上否存在点P ，使得面积与的面积相等？若存在，请求出．1C P 1C Q ()1,045POC OCQ ∠+∠=︒P 1C 2C ()1,1T -2C T TM TN ⊥2C ,M N MN ABC 90ABC ∠=︒()0,2A CD x ⊥AD BC (0)t t >AOB BDC AEC △BED ADP △ABD △参考答案：。

2024中考备考重难点重难点相似三角形模型及其综合题综合训练(11大题型+满分技巧+限时分层检测)

重难点02 相似三角形模型及其综合题综合训练中考数学中《相似三角形模型及其综合题综合训练》部分主要考向分为五类：一、K型相似二、8字图相似三、A字图相似四、母子型相似五、手拉手相似相似三角形的综合题中各种相似模型的掌握是解决对应压轴题的便捷方法，所以本专题是专门针对相似三角形模型压轴题的，对提高类型的学生可以自主训练。

考向一：K型相似1．（2023•锡山区校级四模）如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界），则AP的取值范围是，连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当∠ABM＝2∠ADG时，AP的长是．2．（2023•福田区模拟）综合与探究在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．（1）如图①，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；（2）如图②，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求EF的长；（3）如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，请直接写出的值．3．（2023•桐柏县一模）【初步探究】（1）把矩形纸片ABCD如图①折叠，当点B的对应点B'在MN的中点时，填空：△EB'M△B'AN （“≌”或“∽”）．【类比探究】（2）如图②，当点B的对应点B'为MN上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．【问题解决】（3）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△BPE沿PE折叠得到△B'PE，连接DE，DB'，当△EB'D为直角三角形时，BP的长为．考向二：8字图相似1．（2023•海州区校级二模）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……【问题提出】（1）如图①，PC是△P AB的角平分线，求证：．小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥P A，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥P A交P A于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．【理解应用】（2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，使点C恰好落在边AB上的E点处，落AC＝1，AB＝2，则DE的长为．【深度思考】（3）如图③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的角平分线．AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，连接AF，当BD＝3时，AF的长为．【拓展升华】（4）如图④，PC是△P AB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△P AB的面积最大值是．2．（2023•衢州二模）如图1，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，连接AE，将△ABE沿着AE折叠得到△AFE，延长EF交CD于点G．（1）求证：DG＝FG；（2）如图2，当点E是BC中点时，求tan∠CGE的值；（3）如图3，当时，连接CF并延长交AB于点H，求的值．考向三：A字图相似1．（2023•宿城区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，再将△AB'C沿翻折到△AB'C'处，延长CD交AC′于点M，则DM的长为．2．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABC中，D在AB上，E在BC上，∠AED＝∠ABC，F在AE上，EF＝DE．（1）如图1，若CE＝BD，求证：BE＝CF；（2）如图2，若CE＝AD，G在DE上，∠EFG＝∠EFC，求证：CF＝2GF；（3）如图3，若CE＝AD，EF＝2，∠ABC＝30°，当△CEF周长最小时，请直接写出△BCF的面积．3．（2023•中山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点P为射线AO上的一个动点，过点P作PQ⊥AB于点Q，将沿PQ翻折得到R．设△PQR与△AOB重合部分的面积为S，点P的坐标为（m，0）．（1）求AR的长．（用含m的代数式表示）（2）求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．考向四：母子型相似1．（2023•樊城区模拟）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF ＝6，AD＝9，求CE的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，连接DE、DF分别交AC于M，N，∠EDF＝∠BAD，DF＝AE，若MN＝18，求EF的值．2．（2023•润州区二模）如图1，在△ABC中，点D在边AB上，点P在边AC上，若满足∠BPD＝∠BAC，则称点P是点D的“和谐点”．（1）如图2，∠BDP+∠BPC＝180°．①求证：点P是点D的“和谐点”；②在边AC上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点Q的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹）（2）如图3，以点A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系，已知点B（6，0），C（2，4），点P在线段AC上，且点P是点D的“和谐点”．①若AD＝1，求出点P的坐标；②若满足条件的点P恰有2个，直接写出AD长的取值范围是．考向五：手拉手相似1．（2023•宝安区校级三模）【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC，则△ABC∽△ADE，把△ADE绕着A逆时针方向旋转，连接BD和CE．①如图2，找出图中的另外一组相似三角形；②若AB＝4，AC＝3，BD＝2，则CE＝；【迁移应用】在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，D、E，M分别是AB、AC、BC中点，连接DE和CM．①如图3，写出CE和BD的数量关系；②如图4，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，当D落在AM上时，连接CD和CE，取CD中点N，连接MN，若，求MN的长．【创新应用】如图5：，BC＝4，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，tan∠ADE＝2，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点，，连接CF，请直接写出CF的取值范围．2．（2023•东港市二模）（1）问题发现：如图1，已知正方形ABCD，点E为对角线AC上一动点，将BE绕点B顺时针旋转90°到BF处，得到△BEF，连接CF．填空：①＝；②∠ACF的度数为；（2）类比探究：如图2，在矩形ABCD和Rt△BEF中，∠EBF＝90°，∠ACB＝∠EFB＝60°，连接CF，请分别求出的值及∠ACF的度数；（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线AC上一动点，其余条件不变，取线段EF 的中点M，连接BM，CM，若，则当△CBM是直角三角形时，请直接写出线段CF的长．3．（2023•晋中模拟）综合与实践问题情境：（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE．如图2，将△ABC绕顶点A按逆时针方向旋转15°得到△AB'C'，连接B′D，C′E，求证：B′D＝C′E．深入研究：（2）①如图3，在正方形ABCD和正方形CEFG中，已知点B，C，E在同一直线上，连接DE，AF，交于点P，求AF：DE的值；②如图4，若将正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转一定角度，AF：DE的值变化吗？请说明理由．拓展应用：（3）如图5，若把正方形ABCD和正方形CEFG分别换成矩形ABCD和矩形CEFG，且AD：AB＝CG：CE＝k，请直接写出此时AF：DE的值．（建议用时：150分钟）1．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．2．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接P A，PC，求P A+PC的最小值．3．（2023•武汉）问题提出如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．4．（2023•内蒙古）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．（1）如图1，连接BE，DE．求证：△ABE≌△ADE；（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE．判断△FBG的形状并说明理由；（3）在第（2）题的条件下，BE＝BF＝2．求的值．5．（2023•湖州）【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延长线于点M．求证：△DAP≌△DCM．【变式求异】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点P在边AB的延长线上，连结PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC＝8，AC＝10，AD ＝2DB，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C重合），连结PQ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．6．（2023•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AD，过点D在AD左侧作DE⊥AD，使AD＝kDE，连接AE，点F，G分别是AE，BD的中点，连接DF，FG，BE．（1）如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当α＝90°，k＝1时，AB与BE的位置关系是，＝．（2）如图2，点D在线段BC上，当α＝60°，k＝时，求证：BC+CD＝2FG．（3）当α＝60°，k＝时，直线CE与直线AB交于点N，若BC＝6，CD＝5，请直接写出线段CN的长．7．（2023•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC，GB．（1）求证：△ADE≌△A′DG；（2）求证：AF•GB＝AG•FC；（3）若AC＝8，tan A＝，当A′G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．8．（2023•福建）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO ⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M．（1）求证：△ADE∽△FMC；（2）求∠ABF的度数；（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．9．（2022•湖北）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．尝试证明：（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：＝；应用拓展：（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）．10．（2022•宁波）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．【拓展提高】（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．11．（2023•广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线．（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，连接BD，CE．①求证：△ABD～△ACE；②若tan∠BAC＝，求cos∠DCE的值．。

2021年春河南省数学中考专题训练相似三角形(含位似)

相似三角形(含位似)一、选择题1．(2019·青海)如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为（）A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.2第1题图第2题图2．(2020·绍兴)如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板的一边长为8 cm.则投影三角板的对应边长为（）A．20 cm B．10 cm C．8 cm D．3.2 cm3．(2020·内江)如图，在△AB C中，D，E分别是AB和AC 的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（）A．30 B．25 C．22.5 D．20第3题图第4题图4．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD交于点F，DE∶AB＝2∶5，则DF∶BF等于（）A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶25．(2020·遂宁)如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF＝2FD ，则BE EG的值为（） A ．12 B ．13 C ．23 D ．34第5题图第6题图6．(2019·连云港)在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A ．①处B ．②处C ．③处D ．④处7．(2020·重庆A 卷)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2∶1，则线段DF 的长度为（）A ． 5B ．2C ．4D ．2 58．(2020·牡丹江)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5第8题图第9题图9．(2020·潍坊)如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DE AE ＝12，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（）A．21 B．28 C．34 D．4210．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若BD＝1，CF＝3，则AB的长是（）A．6 B．72C．3 D．4第10题图第11题图11．(2020·福建)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1 B．12C．13D．1412．(2020·舟山)如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，则点C坐标（）A．(－1，－1) B．(－43，－1)C．(－1，－43) D．(－2，－1)13．(北师九上P43T12改编)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为（）A．2 B．433 C．2 3 D．4 3 第13题图第14题图14．(北师九上P112T7改编)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若S△ADE∶S△BDE＝1∶2，则S△ADE∶S△BEC＝（）A．1∶4 B．1∶6 C．1∶8 D．1∶915．(2019·绍兴)如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为（）A ．245B ．325C ．123417D ．203417二、填空题16．(2020·娄底)若b a ＝d c ＝12 (a≠c)，则b －d a －c＝ .17．(北师九上P108T4改编)在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠CAB ＝∠CBD，若BC ＝3，则AC·CE ＝．18．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ∶EC ＝3∶1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为__ ．第18题图第19题图19．(2020·盐城)如图，BC ∥DE ，且BC ＜DE ，AD ＝BC ＝4，AB ＋DE ＝10.则AE AC 的值为_ ．20．(2020·临沂)如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，H 为AF 与DG 的交点．若AC ＝6，则DH ＝．21．如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出△AOB 的位似△CDE，则位似中心的坐标为 .第21题图第22题图22．(2019·青海)如图是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10 cm ，已知AC 与BC 之比为5∶1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压 cm.23．(2020·乐山)把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F.则AF AC＝_ .三、解答题24．小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的周围是片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量路灯的高度AB，但是他没有带任何测量工具．于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同，小明测出离路灯较近的网杆在路灯AB下的影长DF为2步，离路灯较远的网杆在路灯AB下的影长EC为5步，回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高DM＝NE＝1.55米，网长MN＝61米，同时测得1步≈1米，求路灯的高度(结果保留一位小数).25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，1)，B(4，3)，C(2，4).(1)请作出△ABC绕O点逆时针旋转90°的△A1B1C1；(2)以点O为位似中心，将△ABC扩大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在y轴的左侧画出△A2B2C2；(3)请直接写出∠ABC的正弦值．26．(2020·南京)如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，ADAB＝A′D′A′B′.(1)当CDC′D′＝ACA′C′＝ABA′B′时，求证△ABC∽△A′B′C′.证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．(2)当CDC′D′＝ACA′C′＝BCB′C′时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．能力提升1．(2020·遵义)如图，△ABO的顶点A在函数y＝kx(x＞0)的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M，N分别作x轴的平行线交AB于点P，Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（）A．9 B．12 C．15 D．182．(2020·无锡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB ＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积的最大值为_相似三角形(含位似)一、选择题1．(2019·青海)如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为(B)A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.2第1题图第2题图2．(2020·绍兴)如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板的一边长为8 cm.则投影三角板的对应边长为(A)A．20 cm B．10 cm C．8 cm D．3.2 cm3．(2020·内江)如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC 的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（ D ）A．30 B．25 C．22.5 D．20第3题图第4题图4．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD ，且AE ，BD 交于点F ，DE ∶AB ＝2∶5，则DF ∶BF 等于(A)A ．2∶5B ．2∶3 C．3∶5 D．3∶25．(2020·遂宁)如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF＝2FD ，则BE EG的值为(C) A ．12 B ．13 C ．23 D ．34第5题图第6题图6．(2019·连云港)在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似(B)A ．①处B ．②处C ．③处D ．④处7．(2020·重庆A 卷)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2∶1，则线段DF 的长度为（ D ）A． 5 B．2 C．4 D．2 58．(2020·牡丹江)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则线段EF的长为(B)A．2 B．3 C．4 D．5第8题图第9题图9．(2020·潍坊)如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DE AE ＝12，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为(C)A．21 B．28 C．34 D．4210．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若BD＝2，CF＝4，则AB的长是（ C ）A．6 B．72C．3 D．4第10题图第11题图11．(2020·福建)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（ D ）A．1 B．12C．13D．1412．(2020·舟山)如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，则点C坐标(B)A．(－1，－1) B．(－43，－1)C．(－1，－43) D．(－2，－1)13．(北师九上P43T12改编)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为(B)A．2 B．433 C．2 3 D．4 3 第13题图第14题图14．(北师九上P112T7改编)如图，在△A BC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若S△ADE∶S△BDE＝1∶2，则S△ADE∶S△BEC＝(B)A．1∶4 B．1∶6 C．1∶8 D．1∶915．(2019·绍兴)如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为(A)A ．245B ．325C ．123417D ．203417二、填空题16．(2020·娄底)若b a ＝d c ＝12 (a≠c)，则b －d a －c ＝__12__.17．(北师九上P108T4改编)在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠CAB ＝∠CBD，若BC ＝3，则AC·CE＝__9__．18．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ∶EC ＝3∶1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为__9∶16__．第18题图第19题图19．(2020·盐城)如图，BC ∥DE ，且BC ＜DE ，AD ＝BC ＝4，AB ＋DE ＝10.则AE AC 的值为__2__．20．(2020·临沂)如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，H 为AF 与DG 的交点．若AC ＝6，则DH ＝__1__．21．如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出△AOB 的位似△CDE，则位似中心的坐标为__(2，2)__.第21题图第22题图22．(2019·青海)如图是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10 cm ，已知AC 与BC 之比为5∶1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压__50__cm.23．(2020·乐山)把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F.则AF AC＝__35 __. 三、解答题24．小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的周围是片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量路灯的高度AB ，但是他没有带任何测量工具．于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同，小明测出离路灯较近的网杆在路灯AB 下的影长DF 为2步，离路灯较远的网杆在路灯AB 下的影长EC 为5步，回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高DM ＝NE ＝1.55米，网长MN ＝61米，同时测得1步≈1米，求路灯的高度(结果保留一位小数).解：设AB ＝x 米，BD ＝y 米，∵AB ⊥BC ，DM ⊥BC ，EN⊥BC，∴DM ∥AB ∥NE ，∴△FDM ∽△FBA ，△CEN ∽△CBA ，∴DM AB ＝DF BF ，CE BC ＝NE AB， ∴1.55x ＝22＋y ，561＋5＋y ＝1.55x，解得：x≈33.1，∴路灯的高度约为33.1米．25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A(1，1)，B(4，3)，C(2，4).(1)请作出△ABC 绕O 点逆时针旋转90°的△A 1B 1C 1；(2)以点O 为位似中心，将△ABC 扩大为原来的2倍，得到△A 2B 2C 2，请在y 轴的左侧画出△A 2B 2C 2；(3)请直接写出∠ABC 的正弦值．解：(1)如解图所示，△A 1B 1C 1即为所求；(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求； (3)76565； [解法提示]过点C 作CH⊥AB，垂足为点H ，S △ABC ＝12AB·CH ＝3×3－12 ×1×2－12 ×1×3－12 ×2×3＝72，∵AB ＝13 ，∴CH ＝71313，∵BC ＝ 5 ，故∠ABC 的正弦值为：sin ∠ABC ＝CH BC ＝76565. 26．(2020·南京)如图，在△ABC 和△A′B′C′中，D ，D ′分别是AB ，A ′B ′上一点，AD AB ＝A′D′A′B′.(1)当CD C′D′ ＝AC A′C′ ＝AB A′B′时，求证△ABC∽△A′B′C′.证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．(2)当CD C′D′ ＝AC A′C′ ＝BC B′C′时，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由．解：(1)CD C′D′ ＝AC A′C′ ＝AD A′D′，∠A ＝∠A′. (2)如解图，过点D ，D ′分别作DE∥BC，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于点E ，D ′E ′交A′C′于点E′.∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC ＝AE AC ，同理A′D′A′B′＝D′E′B′C′ ＝A′E′A′C′ .又AD AB ＝A′D′A′B′， ∴DE BC ＝D′E′B′C′ ∴DE D′E′ ＝BC B′C′ ，同理AE AC ＝A′E′A′C′ ， ∴AC －AE AC ＝A′C′－A′E′A′C′ ，即EC AC ＝E′C′A′C′ ，∴EC E′C′＝ACA′C′.又CDC′D′＝ACA′C′＝BCB′C′，∴CDC′D′＝DE D′E′＝ECE′C′，∴△DCE∽△D′C′E′，∴∠CED＝∠C′E′D′.∵DE∥BC，∴∠CED＋∠ACB＝180°，同理∠C′E′D′＋∠A′C′B′＝180°，∴∠ACB＝∠A′C′B′，又ACA′C′＝CBC′B′，∴△ABC∽△A′B′C′.能力提升1．(2020·遵义)如图，△ABO的顶点A在函数y＝kx(x＞0)的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M，N分别作x轴的平行线交AB于点P，Q.若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（）A．9 B．12 C．15 D．182．(2020·无锡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB ＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积的最大值为__83__．．。

2024河南中考数学专题复习第四章第五节全等、相似三角形的常考模型课件

模型链接
一线三等角模型[模型应用]、[模型构造]、[综合提升]见重难题型突破微专题3
例1 如图，已知线段AB上有一点P，C，D为线段AB外两点，连接AC， BD，CP，PD.若∠1＝∠2＝∠3， (1)请证明：△ACP∽△BPD，并写出依据；证明：∵∠APC＋∠2＋∠BPD＝180°(依据：平角是180°)， ∠APC＋∠1＋∠ACP＝180°(依据：_三__角__形__内__角__和__是__1_8_0_°__)， ∠1＝∠2(已知)， ∴∠BPD＝∠ACP， ∵∠1＝∠3(已知)， ∴△ACP∽△BPD(依据：_两__角__分__别__相__等__的__两__个__三__角__形__相__似__) 例1题图
2019 22 解答题 10
二、手拉手模型(9年6考)
背景等腰直角三
角形正方形
等腰三角形
旋转方式结合知识点
设问
旋转线段勾股定理
角度为90°时求线段长
逆时针旋转线段
相似
(1)判断三角形形状，求线段比值；(2)证明(1)中的结论；(3) 平行四边形存在时求线段比值
(1)60°时线段比值和两条直线
三角形全等)(答案不唯一).
二阶模型应用
1．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC.点D，E分别
在边BC，AC上，连接AD，DE，且∠ADE＝45°.
(1)求证：△BDA∽△CED；
证明：(1)∵在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠BDA＋∠ADE＋∠EDC＝180°，
三角形绕全等，相似的度数；(2)直角三角形时线段
顶点旋转，勾股定理比值和角的度数；(3)两点重合

2024年中考数学复习(全国版)重难点09 相似三角形8种模型(解析版)

∴△ 퐶퐴 ∽△ 퐶 ，
∴ ∠퐶퐴 = ∠퐶 ，
∵ ∠퐶퐴 = ∠퐶퐵 ，
∴ ∠퐶 퐵 = ∠퐶퐵 ，
∴ 퐵퐶 = 퐶，
∴ 퐶 = 퐶퐵， ∴ ∠퐵 퐶 = ∠퐵퐴 ，
∴ 퐶//퐴 ，
∴
푃퐶 퐶
=
푃 퐴
=
2� �
=
2，
∴ 푃퐶 = 2퐶 = 4 2，
∵ ∠푃퐶퐵 = ∠푃퐴 ，∠퐶푃퐵 = ∠퐴푃 ，
．
【答案】2 【分析】过 D 作垂直퐴퐶于 H 点，过 D 作 ∥퐴 交 BC 于 G 点，先利用解直角三角形求出퐶 的长，其次利用△ 퐶 ∽△ 퐶퐵 ，求出퐶 的长，得出퐵 的长，最后利用△ 퐵 ∽△ 퐵퐴 ，求出퐵 的长，最后得出答案．【详解】解：如图：过 D 作垂直퐴퐶于 H 点，过 D 作 ∥퐴 交퐵퐶于 G 点，
∴퐴
= 퐴�，即
퐴 �+
�
=
� 퐴
∴2
2+
�
=
� 2
解得 � = 5 − 1 或 � =− 5 − 1 < 0（不符题意，舍去）
则퐵 = � = 5 − 1
故答案为：2， 5 − 1．【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键． 3．（2020·山东济宁·中考真题）如图,在四边形 ABCD 中，以 AB 为直径的半圆 O 经过点 C,D．AC 与 BD 相
BC=DC，证明
OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到퐶푃퐶
=
푃 퐴
=
2，则푃퐶
=
2퐶
= 4 2，然后证

2020年九年级数学中考专题复习过关检测——图形的相似(Word版附答案)

《图形的相似》一、选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分)1.已知xy =52,则x-yy的值为()A.32 B.2 C.-32D.-22.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C,直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F,AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则DEEF的值为()A.12 B.2 C.25D.35第2题图第3题图第4题图3.如图,为估算某河的宽度(河两岸平行),在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上,若测得BE=20 m,CE=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于()A.60 mB.40 mC.30 mD.20 m4.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA,则△ABC与△DEF 的面积之比为()A.1∶2B.1∶4C.1∶5D.1∶65.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,点F在BC的延长线上,连接EF,分别交AD,CD于点G,H,连接AC,则下列结论错误的是()A.EABE =EGEFB.EGGH=AGGDC.ABAE=BCCFD.FHEH =CF AD6.△ABC如图所示,则下列四个选项中的三角形与△ABC相似的是(网格均由边长为1的小正方形组成)()A B C D7.如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()A B C D8.如果五边形ABCDE∽五边形PQGMN,且周长之比为3∶2,那么五边形ABCDE和五边形PQGMN的面积之比是() A.2∶3 B.3∶2 C.6∶4 D.9∶4第8题图第9题图第10题图CD,连接9.如图所示,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF=14AE,AF,EF.给出下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE∽△AEF,③AE⊥EF,④△ADF∽△ECF.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.410.如图所示,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的顶点E,F在△ABC内,顶点D,G分别在AB,AC上,AD=AG,DG=6,则点F到BC的距离为()A.1B.2C.12√2-6D.6√2-6二、填空题(本大题共8小题,每题4分,共32分)11.若一个三角形的三边之比为3∶5∶7,与它相似的三角形的最长边的长为21,则最短边的长为.12.如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,0),D(3,0),△ABC与△DEF位似,原点O是位似中心,若AB=2,则DE= .第12题图第13题图第14题图13.如图,已知有两堵墙AB,CD,AB墙高2米,两墙之间的距离BC为 8米,小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时,木梯有很多露出墙外.将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时,木梯刚好达到墙的顶端,则墙CD的高为米.14.如图,已知点C是线段AB的黄金分割点,且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形BCED的面积,S2表示长为AG、宽为AC的矩形ACFG的面积,其中AG=AB.则S1与S2的大小关系为.15.在△ABC中,∠B=25°,AD是BC边上的高,且AD2=BD·DC,则∠BCA的度数为.16.如图,已知AB∥EF∥CD,若AB=6 cm,CD=9 cm,则EF= .第16题图第17题图第18题图17.如图,在矩形ABCD中,AD=2,AB=5,P为CD边上的动点,当△ADP与△BCP相似时,DP= .18.如图,正三角形ABC的边长为2,以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1,△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1,再以正三角形AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2,△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2……以此类推,则S n= .(用含n的式子表示,n为正整数)三、解答题(本大题共5小题,共58分)19.(10分)如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB 的中点,连接CE,DE,AC与DE相交于点F.(1)求证:△ADF∽△CEF;的值.(2)若AD=4,AB=6,求ACAF20.(10分)如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1.(顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形)(1)在图1中,请判断△ABC与△DEF是否相似,并说明理由;(2)在图2中,以O为位似中心,再画一个格点三角形,使它与△ABC的相似比为2∶1;(3)在图3中,请画出所有与△ABC相似,且有一条公共边和一个公共角的格点三角形.图1图2图321.(12分)如图,在△ABC中,BA=BC=20 cm,AC=30 cm,点P从点A出发,沿着AB 边以4 cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点C出发,沿CA边以3 cm/s的速度向点A运动,当点P到达点B时停止运动,Q点随之停止运动.设运动的时间为x s.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能,请说明理由.22.(12分)雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度,他们的测量方案如下:当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时,笑笑在地面上找到一点G,使得点G、雯雯的头顶C及旗杆的顶部A三点在同一直线上,并测得DG=2.8 m;然后雯雯向前移动1.5 m到达点F处,笑笑同样在地面上找到一点H,使得点H、雯雯的头顶E及旗杆的顶部A三点在同一直线上,并测得GH=1.7 m.已知图中的所有点均在同一平面内,且点B,D,F,G,H均在同一直线上,AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH,雯雯的身高CD=EF=1.6 m.请你根据以上测量数据,求该校旗杆的高度AB.23.(14分)如图1所示,在等边三角形ABC 中,线段AD 为其内角平分线,过点D 的直线B 1C 1⊥AC 于点C 1,交AB 的延长线于点B 1. (1)请你探究:AC AB =CD DB ,AC 1AB 1=DC 1DB 1是否都成立?(2)请你继续探究:若△ABC 为任意三角形,线段AD 为其内角平分线,AC AB =CD DB一定成立吗?并证明你的判断.(3)如图2所示,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,AB=403,E 为AB 上一点且AE=5,CE 交内角平分线AD 于点F.试求DFFA 的值.图1 图2参考答案题号12345678910答案 A D B B C B C D B D11.9 12.6 13.7.5 14.S 1=S 2 15.65°或115° 16.185cm 17.1或4或2.5 18.√32×(34)n19. (1)∵∠ACB=90°,E 为AB 的中点,∴AE=CE ,∴∠EAC=∠ACE. ∵AC 平分∠DAB ,∴∠DAC=∠CAB ,∴∠DAC=∠ACE,又∵∠AFD=∠CFE,∴△ADF∽△CEF.(2)由(1)知△ADF∽△CEF,∴ADCE =AF CF.∵CE=12AB=3,AD=4,∴AFCF =ADCE=43,∴ACAF=74.20. (1)△ABC与△DEF相似.理由如下:∵AB=1,BC=√5,AC=2 √2,DE=√2,EF=√10,DF=4,∴ABDE =BCEF=ACDF=√2=√22,∴△ABC∽△DEF.(2)如图所示,△A'B'C'即所求.(3)如图所示,△ADC,△CEB和△AFB即所求.21. (1)由题意得AP=4x cm,CQ=3x cm,AQ=(30-3x)cm,0≤x≤5.当PQ∥BC时,有APAB =AQAC,即4x20=30−3x30,解得x=103,∴当x=103时,PQ∥BC.(2)能.∵AB=CB ,∴∠A=∠C.分两种情况讨论.①若△APQ ∽△CBQ ,则AP CB =AQ CQ ,即4x 20=30−3x3x,解得x=5或x=-10(舍去),此时AP=20 cm .②若△APQ ∽△CQB ,则AP CQ =AQCB ,即4x 3x =30−3x20,解得x=109或x=0(舍去),此时AP=409cm.综上,当AP=20 cm 或409cm 时,△APQ 与△CQB 相似. 22. 由题意知,FH=2.8-1.5+1.7=3(m). 由AB ⊥BH ,CD ⊥BH ,EF ⊥BH , 可得△CDG ∽△ABG ,△EFH ∽△ABH ,∴CD AB =DG BG ,EF AB =FHBH ,∴DG BG =FHBH ,即 2.8BD+2.8=3BD+2.8+1.7,解得BD=21 m,∴1.6AB = 2.821+2.8,解得AB=13.6 m .即该校旗杆的高度AB 为13.6 m . 23. (1)两个等式都成立.理由如下:∵△ABC 为等边三角形,AD 为其内角平分线, ∴∠CAD=∠BAD=30°,AB=AC ,DB=CD , ∴AC AB =CDDB .∵∠C 1AB 1=60°,B 1C 1⊥AC ,∴∠B1=30°,∴AB1=2AC1.∵∠DAB1=∠B1=30°,∴DA=DB1, 而DA=2DC1,∴DB1=2DC1,∴AC1AB1=DC1 DB1.(2)一定成立.证明如下:如图,△ABC为任意三角形,过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E, ∴∠E=∠CAD=∠BAD,∴BE=AB.由BE∥AC,可得△EBD∽△ACD,∴ACBE =CD DB.又∵BE=AB,∴ACAB =CD DB.(3)如图,连接DE,∵AD为△ABC的内角平分线,∴由(2)知,在△ABC中,CDDB =ACAB=35,在△ACE中,EFFC=AEAC=58.∵AEEB =AEAB-AE=5403-5=35,∴CDDB=AEEB,又∵∠DFE=∠AFC,∴△DEF∽△ACF,∴DFFA =EFCF=58.。

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４３２＝，解得ＣＤ＝．２ＣＤ３９ＢＣＡＢＡＣＢＣ７．㊀【解析】由已知得△ＡＢＣＥＦ，则＝＝，又ȵ ＝ ∽△Ｄ２ＥＦＤＥＤＦＥＦ９ＡＢ２２，则＝，又ȵＡＢ＝３， ʑＤＥ＝．３ＤＥ３２ＡＥＡＤ８．∠Ｂ＝（或∠Ｃ＝＝）㊀【解析】 ∠Ｅ ∠Ｄ或 ① 两边及其夹角法：ＡＢＡＣ两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； ② 两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，据此作答即可．可添加条ＡＥＡＤ件：＝． ∠Ｂ＝ ∠Ｅ或∠Ｃ＝ ∠Ｄ或ＡＢＡＣ９．９ ʒ １㊀【解析】先根据相似三角形的性质求出其相似比，再根据面积 ȵ △ＡＢＣＥＦ，ＢＣ的比等于相似比的平方进行解答即可． ∽ △Ｄ △Ａ的周长为３，ＥＦ的周长为１， ʑ三角形的相似比是３ ʒ １， ʑ △ＡＢＣ △Ｄ与△ＤＥＦ的面积之比为９ ʒ １．１０．１㊀【解析】本题考查了相似三角形的简单应用．先求出乙的影长，ＢＣ６ＥＢＣ， ʑ ＝，解得ＡＤ＝５，于是ＣＤ＝６－５＝１（米）．由于Ｄ ∥ ＥＤＡＤ１１．证明：在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＤ， ʑＡＤＣ， ȵＣＥＢ， ⊥Ｂ ⊥Ａ ʑ∠ＡＤＢ＝ＥＢ＝９０ ʎ ， ∠Ｃ又ȵ∠ＡＢＤ＝ＢＥ， ∠Ｃ ʑ△ＡＢＤＢＥ． ∽△Ｃ
１．若
ａ－ｂ２ａ＝，则＝ｂ３ｂ
ＥＦ，ＢＣ ʒ ＥＦ＝２ ʒ ３，若ＡＢ＝３，则ＤＥ＝㊀㊀㊀㊀． ∽△Ｄ考点三．如图，已知：ＡＣ＝∠ＥＡＢ，如果要使 △ＡＢＣ ∠Ｄ ∽ ８ＥＤ，那么还要补充一个条件㊀㊀㊀㊀．考点三 △Ａ㊀㊀㊀第８题图第１０题图９．已知△ＡＢＣＥＦ，ＢＣ的周长为３，ＥＦ的周 ∽△Ｄ △Ａ △Ｄ，则△ＡＢＣ与△ＤＥＦ的面积之比为㊀㊀㊀㊀．长为１考点三１０．如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在Ｃ、Ｄ的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里．８米，乙身高１．５米，甲的影长边，已知甲身高１考点三则甲、乙同学相距㊀㊀㊀㊀米．ห้องสมุดไป่ตู้是６米，１．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＤ，ＣＥＢ于 ⊥Ａ１Ｅ．求证：ＢＤＢＥ． △Ａ ∽△Ｃ考点三第１１题图
ａ－ｂ＋ｂ２＋３ａ５．Ｄ㊀【解析】由比例的性质可得＝，即＝．１ｂ３ｂ３２．Ｄ㊀【解析】 ȵＡＢ∥ ＣＤ， ʑ △ＡＯＢ∽ △ＤＯＣ， ȵＯＡ ʒ ＯＤ＝２ ʒ ３， ʑ△ＡＯＢ与△ＣＯＤ的周长比为２ ʒ ３．３．Ｃ㊀【解析】根据两个相似多边形的面积比为９ ʒ ４，面积之比等于相９３根据题意得＝．似比的平方．４２４．Ａ㊀【解析】本题考查平行线分线段成比例定理．由ＡＢＤＦ得 ∥Ｃ ∥ＥＡＤＢＣ＝，选项Ｂ中ＢＣ和ＤＦ的对应关系出错，选项Ｃ中ＥＦ和ＢＥＤＦＣＥ对应关系出错，选项Ｄ中ＣＤ和ＡＤ对应关系出错．５．Ｂ㊀【解析】（１） ȵ ∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＣ＝９０ ʎ ，， ʑ △ＡＢＣ ∠Ａ＝∠Ａ ∽ △ＡＣＤ；（２） ȵ∠ＡＣＢ＝ＤＢ＝９０ ʎ ，， ʑ △ＡＢＣＢＤ； ∠Ｃ ∠Ｂ＝ ∠Ｂ ∽△Ｃ（３） ȵ△ＡＢＣＣＤ，ＢＣＢＤ， ʑ △ＡＣＤＢＤ，因此有 ∽△Ａ △Ａ ∽△Ｃ ∽△Ｃ三对．６．Ｂ㊀【解析】本题考查相似三角形的判定与性质． ȵ ∠ＡＢＤ＝ＤＣ＝ ∠Ｂ９ＡＢＢＤ ʎ ，ＢＤ，ＡＢ＝３，ＢＤ＝２， ʑ △ＡＢＤＤＣ， ʑ ＝，即０ ∠Ａ＝ ∠Ｃ ∽△ＢＢＤＣＤ
（㊀㊀）１２４５考点二Ａ．㊀㊀Ｂ．㊀㊀Ｃ．㊀㊀Ｄ．３３３３ＡＯ２２．如图，ＡＢＤ，＝，则 △ＡＯＢ的周长与 △ＤＯＣ ∥ＣＯＤ３的周长比是（㊀㊀）２３Ａ．Ｂ．５２４２Ｃ．．考点三Ｄ９３第２题图３．如果两个相似多边形的面积比为９ ʒ ４，那么这两个㊀㊀）相似多边形的相似比为（Ａ．９ ʒ ４Ｂ．２ ʒ ３Ｃ．３ ʒ ２Ｄ．８１ ʒ １６考点四４．（新人教九下Ｐ习题第１题改编）如图，已知ＡＢ ∥ ３１ＣＤＦ，那么下列结论正确的是（㊀㊀） ∥ＥＡＤＢＣＢＣＤＦＡ．＝Ｂ．＝ＤＦＣＥＣＥＡＤＣＤＢＣＣＤＡＤ考点一Ｃ．＝Ｄ．＝ＥＦＢＥＥＦＥＦ㊀㊀㊀㊀第４题图第５题图５．（新人教九下Ｐ习题第２题改编）如图，在 △ＡＢＣ３６中，ＣＢ＝９０ ʎ ，ＣＤ是ＡＢ边上的高线，图中相似 ∠Ａ三角形共有（㊀㊀）Ａ．４对Ｂ．３对Ｃ．２对Ｄ．１对考点三６．如图，ＢＤ＝ＤＣ＝９０ ʎ ，ＢＤ，ＡＢ＝３， ∠Ａ ∠Ｂ ∠Ａ＝ ∠ＣＢＤ＝２，则ＣＤ的长为（㊀㊀）３４考点三Ａ．Ｂ．Ｃ．２Ｄ．３４３㊀第６题图第７题图７．（新人教九下Ｐ习题第２题改编）如图，已知△ＡＢＣ３４